5.2菱形-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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5.2菱形 同步分层作业
基础过关
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
2．下列选项中，菱形不具有的性质是（　　）
A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
3．菱形和矩形一定都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相平分且相等
4．菱形的周长为16，且有一个内角为120°，则此菱形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
5．下列条件能判定四边形是菱形的是（　　）
A．对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形
6．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　）
A．B． C． D．
7．菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形的边长是 　　，高是 　　．
8．在菱形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠C＝　　．
9．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，要使 ABCD成为菱形，还需添加的一个条件是 　　．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，现有以下三个条件：①AD＝BC，②OA＝OC，③AB＝CD．若从中选取一个，可以判定四边形ABCD为菱形，则可以选取的条件序号是 　　（写出一种即可）．
11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形．
小王同学写了以下证明：
第一行∵AC⊥BD，OB＝OD，
第二行∴AC垂直平分BD．
第三行∴AB＝AD，CB＝CD，
第四行∴四边形ABCD是菱形．
对于这个题目及证明，有以下结论；
①推理严谨，证明正确；②证明时，第三行出错；
③证明时，第四行出错；④题目缺少条件，需要补充条件才能证明其中，正确的结论是 　③④　.（填序号）
12．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
13.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 　　（填写满足要求的所有条件的序号）．
14.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于G，交AD于F，DE⊥AB于E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的理由．
15.如图，△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC
于点E、F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，CG＝10，求BG的长．
能力提升
16．如图，在菱形ABCD中，E，F分别在AB，BC上，BE＝BF，AD＝DE．若∠B＝110°，则∠EDF的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
17．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　）
A． B． C． D．
18．将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（　　）
A．45°+α B．45°+α C．90°﹣α D．90°﹣α
19．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝84°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数是（　　）
A．42° B．48° C．54° D．60°
20．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．
（1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
21.如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（　　）
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
22.如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　 　．（提示：根据轴对称的性质）
23.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　 　．
24.已知菱形ABCD，∠ADC＝100°，E为对角线AC上一点（点E不与A、C重合），若△ABE是等腰三角形，则∠AEB的度数为 　　度．
25.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长；
（3）在（2）的条件下，已知点M是线段AC上一点，且，则CM的长为 　 　．
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．
（1）求证：CG＝CE；
（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；
（3）若BF＝2AF，AC＝3cm，求线段DG的长度．
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27．如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
28．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．给出下列结论：
①四边形ABCD的面积大小等于EF DB；②四边形BFDE也是菱形；③∠ABE＝∠CBF；
④∠ADE＝∠EDO；⑤S△ADE＝S△BOF．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
29.如图，若菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠ADE＝2∠EAO，AE＝4，则线段OE的长为 　　．
30.如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 　　．
31.如图，已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD＝4，点E，F分别在菱形的边AD，CD上滑动（点E，F均不与点A，C，D重合），且满足AE+CF＝4．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）试探索在点E，F滑动过程中，△DEF的面积是否存在最大值？如果存在，求出这个值，如果不存在，说明理由．
32．如图1，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE；
（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN（如图2）．求证：∠EAF＝2∠BAE．
答案与解析
基础过关
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
【点拨】由菱形的性质和平行四边形的性质对边对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解析】解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故C选项符合题意；
D、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
2．下列选项中，菱形不具有的性质是（　　）
A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
【点拨】根据菱形的性质可判断．
【解析】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
3．菱形和矩形一定都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相平分且相等
【点拨】菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．
【解析】解：菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．故本题选C．
【点睛】熟悉菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．
4．菱形的周长为16，且有一个内角为120°，则此菱形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
【点拨】作出图形，先求出菱形的边长，再求出∠B＝60°，然后求出菱形的高，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．
【解析】解：如图，∵菱形的周长为16，
∴菱形的边长AB＝BC＝16÷4＝4，
∵有一个内角为120°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
过点A作AE⊥BC于E，
则AE＝4×＝2，
所以，菱形的面积＝4×2＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记性质并求出菱形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
5．下列条件能判定四边形是菱形的是（　　）
A．对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形
【点拨】根据菱形的判定定理可直接选出答案．
【解析】解：根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形可直接选出答案，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
6．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　）
A．B． C． D．
【点拨】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可．
【解析】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是解题的关键．
7．菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形的边长是 　5　，高是 　　．
【点拨】由菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，即可求得OA与OB的长，然后由勾股定理求得菱形的边长；依据菱形的面积计算出菱形的高即可．
【解析】解：如图，AH为菱形的高，
∵四边形ABCD是菱形，且AC＝6，BD＝8，
∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝5．
∵菱形的面积＝AC BD＝BC AH，BC＝AB，
∴AH＝ ＝ ＝．
故答案为：5；．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
8．在菱形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠C＝　70°　．
【点拨】由菱形的对角相等，再结合条件可求得答案．
【解析】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴2∠C＝140°，解得∠C＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角相等是解题的关键．
9．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，要使 ABCD成为菱形，还需添加的一个条件是 　AB＝AD（答案不唯一）　．
【点拨】根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB＝AD．
【解析】解：添加AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴ ABCD成为菱形．
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，现有以下三个条件：①AD＝BC，②OA＝OC，③AB＝CD．若从中选取一个，可以判定四边形ABCD为菱形，则可以选取的条件序号是 　①　（写出一种即可）．
【点拨】根据平行四边形的性质得到四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解析】解：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：①．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定定理是解题的关键．
11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形．
小王同学写了以下证明：
第一行∵AC⊥BD，OB＝OD，
第二行∴AC垂直平分BD．
第三行∴AB＝AD，CB＝CD，
第四行∴四边形ABCD是菱形．
对于这个题目及证明，有以下结论；
①推理严谨，证明正确；②证明时，第三行出错；
③证明时，第四行出错；④题目缺少条件，需要补充条件才能证明其中，正确的结论是 　③④　.（填序号）
【点拨】由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，BC＝DC，即可求解．
【解析】解：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，CB＝CD，
由题目条件无法证明四边形ABCD是菱形，
①推理严谨，证明正确；说法错误；
②证明时，第三行出错；说法错误；
③证明时，第四行出错；说法正确；
④题目缺少条件，需要补充条件才能证明其中，说法正确；
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
12．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
【点拨】（1）由平行线的性质得出∠OAF＝∠OCE．证出AO＝CO．由ASA证明△AOF≌△COE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，证出四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠OAE＝∠OCF．
∵O是AC中点，∴AO＝CO．
在△AOE和△COF中，
．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
（2）四边形AFCE为菱形，理由如下：
∵△AOF≌△COE，
∴AF＝CE．
又AF∥CE，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
13.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 　①②　（填写满足要求的所有条件的序号）．
【点拨】（1）根据全等三角形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的判定解答即可．
【解析】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABC＝∠ADC，AB＝AD．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADC＝180°．
∴∠C+∠ABC＝180°．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD．
∵①∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD．
连接BD，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
又∵②AB＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：①②．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于G，交AD于F，DE⊥AB于E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的理由．
【点拨】根据菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．先证四边形CDEF是平行四边形，再证CD＝DE，即证四边形CDEF是菱形．
【解析】解：四边形CDEF是菱形，理由如下：
∵CG⊥AB，DE⊥AB，
∴CG∥DE，∠4+∠5＝90°．
∵∠ACB＝90度．
∴∠2+∠3＝90°，DC⊥AC．
又∵AD平分∠BAC，
∴∠3＝∠4，CD＝DE．
又∵∠4+∠5＝90°，
∴∠2＝∠5．
而∠1＝∠5，
∴∠1＝∠2．
∴CF＝CD．
∴CF＝DE，
∴CF平行且等于DE．
∴四边形CDEF是平行四边形．
又∵CD＝DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∴四边形CDEF是菱形．
【点睛】本题利用了：1、角的平分线的性质；2、等角对等边；3、平行四边形的判定；4、菱形的判定．
15.如图，△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC
于点E、F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，CG＝10，求BG的长．
【点拨】（1）由角平分线的性质和中垂线性质可得∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，DE＝EC，可证四边形DGCE是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC，由锐角三角函数可求DH的长，GH的长，BH的长，即可求BG的长．
【解析】解：（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCG
∵EG垂直平分CD，
∴DG＝GC，DE＝EC
∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC
∴CE∥DG，DE∥GC
∴四边形DECG是平行四边形
又∵DE＝EC
∴四边形DGCE是菱形
（2）如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形DGCE是菱形，
∴DE＝DG＝GC＝10，DG∥EC
∴∠ACB＝∠DGB＝30°，且DH⊥BC
∴DH＝5，HG＝DH＝5
∵∠B＝45°，DH⊥BC
∴∠B＝∠BDH＝45°
∴BH＝DH＝5
∴BG＝BH+HG＝5+5
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是关键．
能力提升
16．如图，在菱形ABCD中，E，F分别在AB，BC上，BE＝BF，AD＝DE．若∠B＝110°，则∠EDF的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【点拨】利用菱形的性质求出∠ADC，∠A的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ADE的度数，证明△ADE≌△CDF可求出∠CDF的度数，最后利用角的和差关系求解即可．
【解析】解：∵菱形ABCD，∠B＝110°，
∴AB＝CB＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝110°，AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A＝180°﹣∠ABC＝70°，
∵AD＝DE，
∴∠AED＝∠A＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝40°，
∵AB＝CB，BE＝BF，
∴AB﹣BE＝CB﹣BF，即AE＝CF，
又∠A＝∠C，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF＝40°，
∴∠EDF＝∠ADC﹣∠ADE﹣∠CDF＝30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
17．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可．
【解析】解：如图，连接PD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴AO＝OC＝4，BO＝DO＝3，
∴，
∵S△ACD＝S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴＝+，
∴8×3＝5（PM+PN），
∴PM+PN＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
18．将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（　　）
A．45°+α B．45°+α C．90°﹣α D．90°﹣α
【点拨】由菱形的性质得∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝β+α，再由等腰三角形的性质得∠ADB＝∠ABD＝β+α，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝β+α，
∴∠ADB＝∠ABD＝β+α，
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD＝180°，
∴α+β+α+β+α＝180°，
∴β＝90°﹣α，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理得知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
19．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝84°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数是（　　）
A．42° B．48° C．54° D．60°
【点拨】连接BD、BF，由菱形的性质得AB∥CD，AC⊥BD，AC垂直平分BD，∠FAD＝42°，再证AF＝DF，则∠FAD＝∠FDA＝42°，即可解决问题．
【解析】解：如图，连接BD、BF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝84°，
∴AB∥CD，AC⊥BD，AC垂直平分BD，∠FAD＝∠BAD＝42°，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，BF＝DF，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣84°＝96°，
又∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA＝42°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠FDA＝96°﹣42°＝54°，
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
20．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．
（1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
【点拨】由作图得AB＝AD＝CB＝CD，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，于是得到问题的答案．
【解析】解：由作图得AB＝AD，CB＝CD＝AD，
∴AB＝AD＝CB＝CD，
∵四条边相等的四边形是菱形，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：D．
【点睛】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识，根据“四条边相等的四边形是菱形“证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
21.如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（　　）
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【点拨】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．
【解析】解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，
∴AB＝AF，AB＝BE，
∴AF＝BE
∵AF∥BE，且AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
22.如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　　．（提示：根据轴对称的性质）
【点拨】首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【解析】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD＝FB，
∴FE+FB＝FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴AE＝AD＝1，DE＝＝，
∴EF+BF的最小值为．
【点睛】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方是对点F的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使EF+BF成为最小值．
23.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　10°或80°　．
【点拨】根据菱形的性质可得∠DAC＝20°，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC的度数．
【解析】解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示，
在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAB＝40°，
∴∠DAC＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，
∵AE′＝AC，
∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，
综上所述，∠AEC的度数是10°或80°，
故答案为：10°或80°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
24.已知菱形ABCD，∠ADC＝100°，E为对角线AC上一点（点E不与A、C重合），若△ABE是等腰三角形，则∠AEB的度数为 　100或70　度．
【点拨】根据菱形的性质易得∠BAC＝40°，再分AB＝AE，AE＝BE两种情况，作出图形，结合等腰三角形的性质求解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD菱形，
∴CD∥AB，
∵∠ADC＝100°，
∴∠BAD＝80°，∠BAC＝40°，
当AB＝AE时，如图，
则∠AEB＝∠ABE＝＝＝70°；
当AE＝BE时，如图（图中虚线部分），
则∠AEB＝180°﹣2∠BAE＝180°﹣2×40°＝100°．
综上，∠AEB的度数为100度或70度．
故答案为：100或70．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
25.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长；
（3）在（2）的条件下，已知点M是线段AC上一点，且，则CM的长为 　3或1　．
【点拨】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出OM，再结合图形即可求出CM．
【解析】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB＝1，
∴，
∴OE＝OA＝2．
（3）解：如图，
在（2）的条件下，，OA＝OC＝2
∵，
∴，
∴CM＝OA+OM＝2+1＝3CM＝OA﹣OM＝2﹣1＝1
故答案为：3或1．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．
（1）求证：CG＝CE；
（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；
（3）若BF＝2AF，AC＝3cm，求线段DG的长度．
【点拨】（1）由角平分线的性质和余角的性质可得∠CEG＝∠AGD＝∠CGE，可得CG＝CE；
（2）由“ASA”可证△AGC≌△AGF，可得CG＝FG，由菱形的判定可得结论；
（3）由题意可求AB＝9cm，由勾股定理可求BC＝6cm，CE＝CG＝cm，由三角形的面积公式可求CD的值，即可求DG的长．
【解析】证明：（1）∵AE平分∠CAB
∴∠CAE＝∠BAE
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90°
∴∠CEG＝∠AGD＝∠CGE
∴CG＝CE
（2）四边形CGFE是菱形
理由如下：
∵GF∥BC
∴∠AEC＝∠EGF＝∠CGE
∴∠AGC＝∠AGF
又∵∠CAE＝∠BAE，AG＝AG
∴△AGC≌△AGF（ASA）
∴CG＝FG
∴CE∥FG且CE＝FG
∴四边形CEFG是平行四边形
又∵CG＝CE，
∴四边形CEFG是菱形．
（3）∵△AGC≌△AGF
∴AC＝AF＝3cm，
∴BF＝2AF＝6cm，AB＝9cm，
∴BC＝＝6cm
∵四边形CGFE是菱形
∴EF∥CG，且CD⊥AB
∴EF⊥AB，
设CE＝EF＝x，
在Rt△EFB中，EF2+BF2＝BE2，
∴x2+36＝（6﹣x）2，
解得x＝
∴CE＝CG＝cm
又∵∠ACB＝90°，且CD⊥AB，
∵S△ABC＝×AC×BC＝AB×CD
∴CD＝＝2cm
∴DG＝CD﹣CG＝2﹣＝cm
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求出CG的长是本题的关键．
培优拔尖
27．如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
【点拨】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，利用平行四边形的面积求解DM的长，再利用三角形的中位线定理可求解PG的长，进而可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四边形OCFD为菱形，
∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．
过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥MD，
∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，
∴2×AC DM＝12，
即2××6 DM＝12，
解得DM＝2，
∵G为CD的中点，
∴GP为△DMC的中位线，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值为1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，找准PG有最小值时的P点位置是解题的关键．
28．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．给出下列结论：
①四边形ABCD的面积大小等于EF DB；
②四边形BFDE也是菱形；
③∠ABE＝∠CBF；
④∠ADE＝∠EDO；
⑤S△ADE＝S△BOF．
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】①根据菱形的面积公式即可求证；
②根据菱形的定义判断即可得出答案；
③根据菱形的性质即可判断；
④根据等腰三角形的性质即可判断正误；
⑤根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的面积为．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴，
∴四边形ABCD的面积大小等于EF DB，故①正确；
②∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴，
∴OE＝OF．
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形BFDE是菱形，故②正确；
③∵四边形ABCD是菱形，四边形BFDE也是菱形，
∴∠ABO＝∠CBO，∠EBO＝∠FBO，
∴∠ABE＝∠CBF，故③正确；
④∵E为AO中点，而AD与DO不一定相等，
∴无法证明∠ADE＝∠EDO，故④错误；
⑤∵四边形ABCD是菱形，四边形BFDE也是菱形，
∴OE＝OF，OB＝OD
∵E为AO中点，
∴AE＝OE，
∴AE＝OF．
∴S△ADE＝S△BOF，故⑤正确；
综上，正确的有①②③⑤，共4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，三角形的性质以及菱形的面积公式，掌握这些性质和判定是关键．
29.如图，若菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠ADE＝2∠EAO，AE＝4，则线段OE的长为 　　．
【点拨】设BE＝x，则CD＝2x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝2x，OE＝x，然后利用勾股定理求出x，再计算OE的长．
【解析】解：设BE＝x，则CD＝2x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，
设∠EAO＝α，则∠ADE＝2α，
∵AC⊥BD，
∴∠EAO+∠AED＝90°，∠DAO+∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣α，∠DAO＝90°﹣2α，
∵∠DAE＝∠EAO+∠DAO＝α+90°﹣2α＝90°﹣α＝∠AED，
∴DE＝DA＝2x，
∴BD＝DE+BE＝3x，
∴OB＝OD＝x，
∵OE+BE＝BO，
∴OE＝x，
在Rt△AOB中，OA＝＝＝x，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝x，
∵AE＝4，
∴x＝2，
∴OE＝x＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了菱形的性质，熟记菱形的性质是解题的关键．
30.如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 　菱形　．
【点拨】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．
【解析】解：过点D分别作DM⊥BC于点M，DN⊥AB于点N，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAN＝∠DCM，
∵纸条宽度相等，
∴DN＝DM，
∴在△ADN和△CDM中，
，
∴△ADN≌△CDM（AAS），
∴AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法．
31.如图，已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD＝4，点E，F分别在菱形的边AD，CD上滑动（点E，F均不与点A，C，D重合），且满足AE+CF＝4．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）试探索在点E，F滑动过程中，△DEF的面积是否存在最大值？如果存在，求出这个值，如果不存在，说明理由．
【点拨】（1）由菱形的性质得DA＝DC＝AB＝BC＝4，加上BD＝4，则可判断△ABD和△BDC都是等边三角形，所以∠EDB＝∠C＝60°，再利用AE+CF＝4可得DE＝CF，于是根据“SAS”可判断△BDE≌△BCF；
（2）根据全等三角形的性质得BE＝BF，∠DBE＝∠FBC，由于∠DBF+∠FBC＝∠DBC＝60°，所以∠DBF+∠DBE＝60°，于是可判断△BEF为等边三角形；
（3）利用△BDE≌△BCF得到S四边形DEBF＝S△BCD，则S△DEF＝S△BDC﹣S△BEF＝4﹣BE2，当BE最小时，S△DEF的面积最大，此时BE⊥AD，可求出BE＝2，然后计算△DEF的最大值．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴DA＝DC＝AB＝BC＝4，
而BD＝4，
∴△ABD和△BDC都是等边三角形，
∴∠EDB＝∠C＝60°，
∵AE+CF＝4，
而AE+DE＝AD＝4，
∴DE＝CF，
在△BDE和△BCF中
，
∴△BDE≌△BCF；
（2）解：△BEF为等边三角形．理由如下：
∵△BDE≌△BCF，
∴BE＝BF，∠DBE＝∠FBC，
∵∠DBF+∠FBC＝∠DBC＝60°，
∴∠DBF+∠DBE＝60°，
∴△BEF为等边三角形；
（3）解：存在．
∵△BDE≌△BCF，
∴S△BDE＝S△BCF，
∴S四边形DEBF＝S△BCD，
∴S△DEF＝S△BDC﹣S△BEF＝4﹣BE2，
当BE最小时，S△DEF的面积最大，此时BE⊥AD，BE＝2，
∴△DEF的最大值为4﹣×（2）2＝，
∴当E、F分别为AD和CD的中点时，△DEF的面积有最大值．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形全等的判定与性质．
32．如图1，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE；
（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN（如图2）．求证：∠EAF＝2∠BAE．
【点拨】（1）根据菱形的性质，由AAS证明△ABE≌△ADF；
（2）欲证AE＝BE，可以通过证明∠B＝45°＝∠BAE，根据等腰直角三角形的性质得出；
（3）由于∠BAN＝90°，通过证明△AMN是等边三角形，得出∠MAN＝60°，则有∠MAB＝30°，从而证明∠EAF＝2∠BAE．
【解析】解：（1）∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF．
（2）∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，
又∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，又∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝45°，∠AEB＝90°，
∴∠B＝45°＝∠BAE，
∴AE＝BE．
（3）∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，
∴∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN．
∴AM＝AN，
又∵∠BAN＝90°，BM＝MN，
∴AM＝MN＝AN，
∴∠MAN＝60°，
∴∠MAB＝30°，
∴∠EAF＝2∠BAE．
【点睛】本题是推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形和等边三角形的性质．
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