浙教版八年级下册数学第五章 特殊平行四边形单元检测 含解析

浙教版八年级下册数学第五章单元检测
考试时间：90分钟 满分：120分
题号 一 二 三 总分
评分
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分） 下列命题是假命题的是（　　）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
2．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
3．（3分）菱形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
4．（3分）关于矩形的性质、下面说法错误的是（　　）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行
D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
5．（3分）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（　　）
A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶1
6．（3分）如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：这个四边形可能是正方形这个四边形一定是菱形这个四边形不可能是矩形这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在Rt中，4，点是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16，则（　　）
A． B． C．12 D．16
8．（3分）如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结．若要求正方形的面积，则只需要知道
A． 的面积 B． 的面积
C． 的周长 D． 的周长
9．（3分）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接，有如下结论：；；；．上述结论中，正确的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题(共6题；共24分)
11．（4分）已知黄金矩形的宽为﹣2，则这个黄金矩形的面积是　 　．（注：宽∶长＝的矩形为黄金矩形）
12．（4分）已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，则该菱形的面积是　 　．
13．（4分） 如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为　 　．
14．（4分）矩形中，E是的中点，将折叠后得到，延长交于点F，，，则的长为　 　．
15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　．
16．（4分） 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则　 　．
三、解答题(共8题；共66分)
17．（5分）如图，四边形是菱形，对角线与相交于，，，求菱形的面积.
18．（5分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，且若，求的度数．
19．（5分）如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，CE=BC，求证：∠AFE是直角.
20．（8分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作于点H，过点F作于点G．
（1）（3分）请你添加一个条件： ▲，使四边形EGFH为矩形，并给出证明．
（2）（5分）在（1）的条件下，若，，，求AG的长．
21．（8分）如图，在菱形中，，，为正三角形，点E，F分别在菱形的边．上滑动，且点E、F不与点A，B，C重合，与交于点G．
（1）（3分）证明：当点E，F在边上滑动时，总有．
（2）（5分）当时，求的长．
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连结DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE ，EF为邻边作矩形DEFG，连结AG．
（1）（3分）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）（3分）求AG+AE的值；
（3）（4分）若F恰为AB的中点，请求出AE的长．
23．（10分）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
（1）（3分）求证：；
（2）（3分）连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）（4分）当时，求的度数．
24．（15分）如图，矩形中，，，的角平分线交边于点，点在射线上以每秒个单位长度的速度沿射线方向从点开始运动，过点作于点，以为边向右作平行四边形，点在射线上，且，设点运动时间为秒.
（1）（3分）　 　（用含的代数式表示）；
（2）（5分）当点落在上时，求的值；
（3）（7分）设平行四边形与矩形重合部分面积为，当点在线段上运动时，求与的函数关系式.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；
B、 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；
C、 有三个角是直角的四边形是矩形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；
D、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，是假命题，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形及菱形的判定方法逐项判断可得答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、菱形是特殊的平行四边形，其对角是相等的，故此选项不符合题意；
B、菱形是特殊的平行四边形，其对边是互相平行的，故此选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，故此选项不符合题意；
D、菱形的对角线只是互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，不一定相等，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，据此逐项判断即可得解．
4．【答案】D
【解析】【解答】A、∵矩形的四个角都是直角，∴A正确，不符合题意；
B、∵矩形的两组对边分别相等，∴B正确，不符合题意；
C、∵矩形的两组对边分别平行，∴C正确，不符合题意；
D、∵矩形的对角线互相平分且相等但不垂直，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故答案为：B．
【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义及特殊锐角三角函数值得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作与E，,由题意可得则四边形ABCD为平行四边形，又∵是两把完全相同的直尺，∴又∵平行四边形ABCD的面积,∴，则平行四边形ABCD为菱形，故当是菱形ABCD为正方形，故这个四边形一定是轴对称图形，综上所述可知正确的论断有：①②④.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、矩形、菱形、正方形的判定、轴对称图形的判定.过点D作与E，根据题意可得则四边形ABCD为平行四边形，然后再通过等面积法求得即可判定四边形为菱形，在结合正方形和矩形的判定即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，S正方形AMEF＝16，
∴AM2＝16，
∴AM＝4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴，
即BC＝2AM＝8，
在Rt△ABC中，AB＝4，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，在Rt△ABC中通过勾股定理求出AC的长，最后利用直角三角形的面积公式可求出△ABC的面积即可解答．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：在CD上取一点H，使，连接EH，FH，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
即要求正方形的面积，则只需要知道的周长，
故答案为：C.
【分析】在CD上取一点H，使，先证，得出，，再证，于是得出，从而得出CD的长，即可进行判断.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
的面积的面积，
四边形FNCM的面积=△ABC的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
，
，
，
，
，
，
由①×+②得，
（舍去负值）．
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质得AB=AF，∠BAN=∠F=90°，由同角的余角相等得∠ABN=∠MAF，从而根据ASA判断出△BAN≌△AFM，得S△BAN=S△AFM，推出S四边形FNCM=S△ABC，S空白部分=S正方形ABGF-2S△ABC，据此得AB2-2×AC×BC=10①，由AC+BC=7并结合勾股定理可得AB2+2AC×BC=49②，①×2+②可得AB2=23，再求其算术平方根即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
作 于，设，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵，，
∴
∵，
∴，故正确；
设的面积为，
∵，
∴，，
∴的面积为，的面积为，
∴的面积的面积，
∴，故错误；
综上正确，共个，
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质结合题意对①②③④逐一判断，进而即可求解。
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵黄金矩形的宽为﹣2
∴黄金矩形的长=（﹣2）÷ （）=
∴个黄金矩形的面积 =（﹣2）×==
故答案为：.
【分析】根据宽与长的等量关系，列代数式，求出黄金矩形的长；
根据矩形的面积=长×宽，列代数式求出矩形的面积；
根据二次根式的化简求值，求出代数式的值即可.
12．【答案】24
【解析】【解答】解：∵
∴该菱形的对角线长分别为6或8,
∴菱形的面积
故答案为：24.
【分析】根据一元二次方程的解即可求出对角线的长，然后利用菱形的面积公式即可求出答案。
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知，随着点F的移动，点G也随着移动；
∵点F在线，段AB上运动
∴点G也在直线上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，可得△EBF≌△EHG；
∴△EBH是等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，作EP⊥CM，如下图，点CM即为CG的最小值：
∵△EBH是等边三角形
∴BE=HE=1
∵CM⊥HN，EP⊥CM
∴四边形HEPM是矩形
∴CM=MP+CP=HE+EC
∴CM=1+=
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质，构造等边三角形，可得BE=HE；根据点与线之间垂线段最短，作CM⊥HN，可得CG的最小值；根据矩形的判定定理和性质即可求出CG的最小值.
16．【答案】30
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得：，
八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
故答案为：30．
【分析】在Rt△CFG中，由勾股定理得CG2+CF2=GF2=10，由全等三角形的性质得CG=FM=NG，CF=FN=DG，由正方形面积公式得，，，然后结合GF的长度可求出S1+S2+S3.
17．【答案】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴
∵在中，，，，
∴
∴，
∴
【解析】【分析】利用菱形对角线相互垂直的性质以及勾股定理可得AC、BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求出 菱形的面积.
18．【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
.
【解析】【分析】根据矩形的性质求出∠DAB=90°，代入∠OAB=∠DAB-∠OAD求出即可∠OAB的度数.
19．【答案】证明：连接AE，
设CE=a，则BC=4a，DF=2a，BE=3a，
由勾股定理可得，
AF2=AD2+DF2=20a2，EF2=FC2+EC2=5a2，AE2=AB2+BE2=25a2，
∴AE2=AF2+EF2，
∴△AEF为直角三角形且∠AFE是直角.
【解析】【分析】连接AE，设CE=a，在直角三角形ADF、直角三角形EFC、直角三角形ABE中，用勾股定理可将AF2、EF2、AE2用含a的代数式表示出来，根据表示的结果并结合勾股定理的逆定理可判断△AEF为直角三角形且∠AFE是直角.
20．【答案】（1）解：添加的条件：（答案不唯一）．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴．
∵，∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴，∴．
∵，，∴，
∴四边形EGFH为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
（2）解：设．∵，∴，
∴在Rt△AGF中，，∴．
∵，∴．
∵，∴，解得，∴AG的长为1．
【解析】【分析】（1）添加的条件：（答案不唯一），根据平行四边形的判定与性质证明四边形AECF是平行四边形，进而根据平行线的性质得到，再结合题意运用矩形的判定即可求解；
（2）设，先根据锐角三角函数的定义得到．进而即可得到，再结合题意即可求解。
21．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，平分，
，
，
是等边三角形
，，
为正三角形，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，
，
，，
．
又∵，
，
，即，
．
【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△BDF，可得AE=BF；
（2）通过证明△ADE∽△BEG，可列出比例式求解．
22．【答案】（1）证明：如图，作EM⊥AD于点M， EN⊥AB于点N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD=∠EAB，∴ EM=EN．∵∠EMA=∠ENA= ∠DAB=90°
∴四边形ANEM是矩形．
∵EF⊥DE，∴∠MEN= ∠ DEF=90°，
∴∠DEM= ∠ FEN，
∵∠EMD=∠ENF=90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED=EF．
∵四边形DEFG是矩形，矩形DEFG是正方形．
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG=DE ， DC=DA=AB=4，∠ GDE=∠ADC= 90°，
∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE，
∴AG=CE ， ∴AG+AE = EC+AE =AC=AD=4．
（3）解：连结DF，如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=4，AB∥ CD．
∵F是AB的中点，AF=FB=2．∵四边形DEFG是正方形，
设DE=EF=x，∵DF2 = AD2 +AF2 = DE2+EF2，∴42+22 =x2+x2 ，
解得×=(负值舍去)，即EF=，由(1)得EM= EN=AN，设EN=y，则FN=y-2．∴y2+(y-2)2=( )2 ，解得y=3(负值舍去)，即EN=EM=AN=3， ∴AE=
【解析】【分析】（1）邻边相等的矩形为正方形，所以只需要证出ED=EF．通过证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）可将AG和AE转移至同一条线上，通过证明△ADG≌△CDE，得AG=EC，所以 AG+AE =EC+AE=AC；
（3）通过两种求DF长的方式可算出DE的长度，再在三角形EFN中，通过勾股定理求出EN的长度，从而可得出答案．
23．【答案】（1）证明：如图，作，．
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
的面积
（3）解：如图，当点在线段上时，
四边形是正方形，
，
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上，的度数为或．
【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定及性质.
（1）作，，结合题意可证得四边形是矩形，然后运用矩形和正方形的性质可得到≌，进而得到答案；
（2）根据矩形和正方形的性质运用等量代换的方法可证得：≌，得到，进而表示出的面积y的表达式;
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行求解即可.
24．【答案】（1）x
（2）解：四边形是平行四边形，
，
点在上，（如图①）
，
，
，
在中，，
，
；
（3）解：当时，如图②
；
当时，如图③
；
当时，如图④
.
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