5.3正方形-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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5.3正方形 同步分层作业
基础过关
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．邻边相等
2．正方形有而矩形不一定有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为BE的中点，G为ED的中点，则GF的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
4．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　）
A．四个角相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断菱形ABCD是正方形的为（　　）
A．∠AOB＝∠AOD B．∠ABO＝∠ADO C．∠BAO＝∠DAO D．∠ABC＝∠BCD
6．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD
7．下列说法：（1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．（2）对角线互相垂直的四边形是菱形．（3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．（4）有两条互相垂直的对称轴的四边形是菱形．（5）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．（6）四个内角相等，两条对角线互相垂直的四边形是正方形．错误的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知矩形ABCD，请添加一个条件：　 　，使得矩形ABCD成为正方形．
9．如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　 　，可使它成为正方形．
10．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　　．
11．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．
12．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
13．如图：已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△ADE．
（2）若∠DFE＝105°，求∠BED的度数．
能力提升
14．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，则（　　）
A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°
15．如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（　　）
A． B．2 C． D．
17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，过D作DE⊥AM于点E，过B作BF⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
19．如图，以正方形ABCD的边CD为腰在CD右侧作等腰三角形DCE，其中DE＝DC，连接AE，若∠CDE＝40°，则∠AEC的度数为 　　．
20．在正方形ABCD中，边长为6，点Q为BC的中点，点P在正方形的一边上，且AP＝2，连接PQ，则PQ的长为 　 　．
21.如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．
（1）求证：PD＝EF；
（2）若正方形ABCD的边长为3，∠ADP：∠PDC＝1：3．求PA的长．
22.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接AG，求证：
（1）CE⊥DF．
（2）∠AGE＝∠CDF．
23.如图，四边形ABCD是正方形，M是边BC上一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．
求证：（1）∠AMB＝2∠MAE；
（2）AM＝AD+MC；
（3）若AD＝5，求AM的长．
培优拔尖
24．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+，其中正确的序号是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
25．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
26．在边长为3的正方形ABCD中，点E、F在正方形不同的边上，且与点A构成等腰三角形．若等腰三角形AEF的底边长为2，则等腰三角形AEF的腰长是　 　．
27．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为 　　．
28.问题背景：如图，在正方形ABCD中，边长为4．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O．
（1）探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）拓展提高：延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长．
29.综合与实践
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1．已知矩形纸片ABCD，其中AB＝6，AD＝11．（1）操作判断
将矩形纸片ABCD按图1折叠，使点B落在AD边上的点E处，可得到一个45°的角，请你写出一个45°的角．
（2）探究发现
将图1的纸片展平，把四边形EFCD剪下来如图2，取FC边的中点M，将△EFM沿EM折叠得到△EF′M，延长EF′交CD于点N，求△EDN的周长．
（3）拓展应用：
改变图2中点M的位置，令点M为射线FC上一动点，按照（2）中方式将△EFM沿EM折叠得到△EF′M，EF′所在直线交CD于点N，若点N为CD的三分点，请直接写出此时NF′的长．
30．如图，在正方形ABCD中，点Q在射线DC上（不与C，D重合），点P为直线BC上一点，∠DAQ＝∠PAQ．
（1）如图①，若∠DAQ＝30°，AB＝3，DQ的长是 　　，AP的长是 　　；
（2）如图②，当Q在线段DC上时，猜想AP，BP，DQ之间的数量关系并证明；
（3）当Q在线段DC的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，请探究AP，BP，DQ之间的数量关系．
答案与解析
基础过关
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．邻边相等
【点拨】根据菱形、矩形和正方形性质之间的关系问题可解
【解析】解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形．因此，正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形、矩形和正方形的性质之间的相互关系，涉及到了上述图形的性质．
2．正方形有而矩形不一定有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【点拨】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
B、正方形和矩形的对角线相等，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，熟记性质并正确区分是解题的关键．
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为BE的中点，G为ED的中点，则GF的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【点拨】根据正方形的性质得出AB＝AD＝2，∠A＝90°，由勾股定理求出BD的长，再根据已知条件证得GF为△EBD的中位线，即可求出GF的长．
【解析】解：连接BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝2，∠A＝90°，
由勾股定理得，
∵F为BE的中点，G为ED的中点，
∴FG为△EBD的中位线，
∴GF＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，求出BD的长是解题的关键．
4．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　）
A．四个角相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【点拨】根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．
【解析】解：对于选项A，矩形、正方形具有四个角相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，长方形形、正方形具有对角线平分对角，而菱形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断菱形ABCD是正方形的为（　　）
A．∠AOB＝∠AOD B．∠ABO＝∠ADO C．∠BAO＝∠DAO D．∠ABC＝∠BCD
【点拨】根据菱形 到现在和正方形 的判定定理即可得到结论．
【解析】解：A、∵∠AOB＝∠AOD，∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，故不能判断菱形ABCD是正方形；故A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC，∠ABD＝∠ADB＝，
故不能判断菱形ABCD是正方形；故B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AO⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO，
故不能判断菱形ABCD是正方形；故A不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
6．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD
【点拨】先判断四边形ABCD是矩形，由正方形的判定可直接判断D正确．
【解析】解：在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定等．
7．下列说法：（1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．（2）对角线互相垂直的四边形是菱形．（3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．（4）有两条互相垂直的对称轴的四边形是菱形．（5）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．（6）四个内角相等，两条对角线互相垂直的四边形是正方形．错误的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定即可求解．
【解析】解：（1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形是正确的．
（2）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，原来的说法错误．
（3）对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原来的说法错误．
（4）有两条互相垂直的对称轴的四边形不一定是菱形，原来的说法错误．
（5）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形是正确的．
（6）四个内角相等，两条对角线互相垂直的四边形是正方形是正确的．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，关键是熟练掌握各种特殊四边形的判定方法．
8．已知矩形ABCD，请添加一个条件：　AB＝BC（答案不唯一）　，使得矩形ABCD成为正方形．
【点拨】根据正方形的判定添加条件即可．
【解析】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD．
9．如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　∠BAD＝90°（答案不唯一）　，可使它成为正方形．
【点拨】根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件．
【解析】解：由于四边形ABCD是菱形，
如果∠BAD＝90°，
那么四边形ABCD是正方形．
故答案为：∠BAD＝90°．
【点睛】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．
10．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　5　．
【点拨】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6
∴BF＝＝10
∴GH＝5
故答案为：5
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
11．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．
【点拨】由三角形中位线定理可得GF∥EC，FH∥BE，可证四边形EGFH是平行四边形，再由正方形的判定方法可得结论．
【解析】证明：连接GH，
∵G、F分别是BE、BC的中点，
∴GF∥EC，
同理FH∥BE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵G、H分别是BE，CE的中点，
∴GH∥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥GH，
又∵四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形，
∵BE⊥EC，
∴菱形EGFH是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
12．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
【点拨】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；
（2）根据AO＝CO，EO＝FO可得四边形AECF平行四边形，再证明∠ECF＝90°利用矩形的判定得出即可；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB＝90°，四边形AECF为正方形，首先证明为矩形，再证明AC⊥EF根据对角线互相垂直的矩形是正方形可得结论．
【解析】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：如图1，当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB＝90°，四边形AECF为正方形．
证明：如图2，由（2）可得点O在边AC上运动到AC中点时平行四边形AECF是矩形，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＝45°，
∵平行四边形AECF是矩形，
∴EO＝CO，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠MOC＝90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【点睛】此题主要考查了矩形和正方形的判定，关键是掌握矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
13．如图：已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△ADE．
（2）若∠DFE＝105°，求∠BED的度数．
【点拨】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）利用正方形的性质和四边形的内角和解答即可．
【解析】证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
在△ABE与△ADE中，
∴△ABE≌△ADE（SAS）；
（2）∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵∠DFE＝105°，
∴∠FBC＝360°﹣90°﹣90°﹣105°＝75°，
∵正方形ABCD，
∴∠BCE＝∠DCE＝45°，
∴∠BEC＝∠DEC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠BED＝120°．
法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABE＝∠DFE﹣∠BAD＝15°，
由（1）知△ABE≌△ADE，
∴∠ADE＝∠ABE＝15°，
∴∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝45°+15°＝60°，
同理可得∠DEC＝60°，
∴∠BED＝∠BEC+∠DEC＝120°．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定解答．
能力提升
14．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，则（　　）
A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°
【点拨】根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，根据全等三角形的性质得到AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α，根据等腰三角形的性质得到∠EFC＝∠ECF＝α，求得∠AFE＝180°﹣α﹣β，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α，
∵EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF＝α，
∵∠AFB＝β，
∴∠AFE＝180°﹣α﹣β，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣β，
∵AE＝CE，EF＝CE，
∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴α﹣（90°﹣β）＝180°﹣α﹣β，
∴α+β＝135°，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
15．如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】先利用ASA证明△BEO≌△CFO，故得BE＝FC，进而得出AE＝BF，在Rt△BEF中利用勾股定理即可解得EF的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，
∴∠EOB＝∠COF，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
∴BE＝CF＝3，
又∵AB＝BC，
∴AE＝BF＝4，
∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（　　）
A． B．2 C． D．
【点拨】先证四边形AEPF是矩形，可得PE＝AF，∠PFD＝90°，由等腰直角三角形的性质可得PF＝DF，可求AF，DF的长，由勾股定理可求AP的长，由“SAS”可证△ABP≌△CBP，可得AP＝PC＝．
【解析】解：连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，∠ADB＝45°，
∵PF⊥AD，PE⊥AB，∠BAD＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴PE＝AF，∠PFD＝90°，
∴△PFD是等腰直角三角形，
∴PF＝DF，
∵PE：PF＝1：2，
∴AF：DF＝1：2，
∴AF＝1，DF＝2＝PF，
∴AP＝＝＝，
∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD＝∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④错误，进而得到正确说法的个数．
【解析】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC＝90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
又DE∥CA，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④错误，
则其中正确的个数有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质．
18．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，过D作DE⊥AM于点E，过B作BF⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【点拨】证明△ABF≌△DAE得BF＝AF，AF＝DE，进而由已知四边形的面积列出BF的方程进行解答便可．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵BF⊥AM，
∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵DE⊥AM，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE＝1，
设BF＝AE＝x，则EF＝x﹣1，
∵四边形ABED的面积为6，
∴，即，
解得：x＝﹣4（舍）或x＝3，
∴BF＝3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．
19．如图，以正方形ABCD的边CD为腰在CD右侧作等腰三角形DCE，其中DE＝DC，连接AE，若∠CDE＝40°，则∠AEC的度数为 　45°　．
【点拨】过E作EF⊥CD交CD于F，可证∠EAD＝∠AEF，可求∠DCE＝∠DEC＝70°，从而可求∠CEF＝20°，，即可求解．
【解析】解：过E作EF⊥CD交CD于F，
∴∠EFD＝∠EFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴EF∥AD，
∴∠EAD＝∠AEF，
∵DE＝DC，∠CDE＝40°，
∴AD＝DE，
，
∴∠EAD＝∠DEA，
∠CEF＝90°﹣∠DCE＝20°，
∴∠AEF＝∠EDA，
∠DEF＝∠DEC﹣∠CEF＝50°，
∴，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF，
＝25°+20°＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握相关的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．
20．在正方形ABCD中，边长为6，点Q为BC的中点，点P在正方形的一边上，且AP＝2，连接PQ，则PQ的长为 　5或　．
【点拨】根据题意将简图画出，分情况讨论点P所在的位置，再利用勾股定理即可得到本题答案．
【解析】解：∵正方形ABCD中，边长为6，点Q为BC的中点，点P在正方形的一边上，且AP＝2，连接PQ，
点P所在位置有两种情况，
①当点P在AB上时，如下图：
∵AP＝2，边长为6，即AB＝BC＝6，
∴PB＝4，
∵点Q为BC的中点，
∴CQ＝BQ＝3，
∴；
②当点P在AD上时，如下图：
，
过点P作PE⊥BC于E，
，
∴PE＝AB＝6，BE＝AP＝2，
∵BQ＝3，AP＝2，
∴QE＝1，
∴，
故答案为：5或．
【点睛】本题考查勾股定理、正方形的性质，利用中点求线段长，线段和差，①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
21.如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．
（1）求证：PD＝EF；
（2）若正方形ABCD的边长为3，∠ADP：∠PDC＝1：3．求PA的长．
【点拨】（1）如图1，连接PB，由正方形的性质得到BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BFPE是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝EF，从而等量代换可证得DP＝EF；如图2，延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB，由△CBP≌△CDP，依据全等三角形对应角相等可得到∠CDP＝∠CBP，由四边形EPFB是矩形可证明∠CBP＝∠FEP，从而得到∠HDP＝∠FEP，由∠DPH+∠PDH＝90°可证明∠EPG+∠PEG＝90°，从而可得到DP⊥EF；
（2）先根据勾股定理计算AC＝＝3，根据∠ADP：∠PDC＝1：3和三角形内角和定理可得∠CPD＝∠CDP，计算AP＝3﹣3．
【解析】（1）证明：如图1所示：连接PB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，
在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS），
∴DP＝BP，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB＝∠ABC＝∠PFB＝90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴BP＝EF，
∴DP＝EF；
如图2所示：延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB．
∵△CBP≌△CDP，
∴∠CDP＝∠CBP，
∵四边形BFPE是矩形，
∴∠CBP＝∠FEP，
∴∠CDP＝∠FEP，
又∵∠EPG＝∠DPH，
∴∠EGP＝∠DHP，
∵PE⊥AB，AB∥DC，
∴PH⊥DC．即∠DHP＝90°，
∴∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴PG⊥EF，即DP⊥EF；
（2）解：在Rt△ADC中，AD＝CD＝3，
∴AC＝＝3，
∵∠ADP：∠PDC＝1：3，∠ADC＝90°，
∴∠CDP＝67.5°，
∵∠DCP＝45°，
∴∠CPD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CPD＝∠CDP，
∴PC＝CD＝3，
∴AP＝3﹣3．
【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，正确作辅助线，构建全等三角形是关键．
22.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接AG，求证：
（1）CE⊥DF．
（2）∠AGE＝∠CDF．
【点拨】（1）由“SAS”可证△CBE≌△DCF，可得∠ECB＝∠CDF，由余角的性质可求解；
（2）由“AAS”可证△AEH≌△BEC，可得BC＝AH＝AD，由直角三角形的性质可得AG＝DH＝AD，由等腰三角形的性质和余角的性质可求解．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF；
（2）延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23.如图，四边形ABCD是正方形，M是边BC上一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．
求证：（1）∠AMB＝2∠MAE；
（2）AM＝AD+MC；
（3）若AD＝5，求AM的长．
【点拨】（1）由AD∥BC，得，∠DAM＝∠AMB；又因AE平分∠DAM，得∠MAE＝∠DAM，等量代换得∠AMB＝2∠MAE；
（2）因AE平分∠DAM，得ED＝EF，AD＝AF，CD的中点，可证明Rt△EFM≌Rt△ECM，易得FM＝CM；即可证明AM＝AD+MC；
（3）由（2）和AD＝5，在Rt△ABM中，由勾股定理可求得AM的长．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∵AE平分∠DAM，
∴∠MAE＝∠DAM，
∴∠AMB＝2∠MAE．
（2）证明：如图2所示：
过点E作EF⊥AM交AM于点F，连接EM．
∵AE平分∠DAM，DE⊥AD，DF⊥AM，
∴ED＝EF，
又∵E是CD的中点，
∴ED＝EC，
∴EF＝EC，
在Rt△EFM和Rt△ECM中，
，
∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL），
∴FM＝MC，
同理可求AF＝AD，
又∵AM＝AF+FM，
∴AM＝AD+MC；
（3）解：设MC＝a，则FM＝a，
∵AD＝5，
∴AD＝AF＝AB＝BC＝5，
∴AM＝AF+FM＝5+a，
又∵BC＝BM+MC，
∴BM＝5﹣a，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
AM2＝AB2+BM2，
∴（5+a）2＝（5﹣a）2+52，
解得：a＝，
∴AM＝5+a＝5+＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识的综合运用，重点掌握判定两个三角形全等的方法，难点是作垂线，构建角平分线和两个三角形全等，以及证明不在同一条直线上的两条线段的和等于另一条线段方法是将该两条线段转换到同一条直线上．
培优拔尖
24．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+，其中正确的序号是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
∴①说法正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF＝2，
∴CE＝CF＝，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，
解得a＝，
则a2＝2+，
S正方形ABCD＝2+，
④说法正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
25．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】延长EF交CD于M，连接BM，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠BCD＝90°，由折叠的性质得到∠BFE＝∠BFM＝90°，通过Rt△BFM≌Rt△BCM，于是得到MF＝MC．由等腰三角形的性质得到∠MFC＝∠MCF，由余角的性质得到∠MFD＝∠MDF，于是求得MF＝MD，得MF＝MD＝MC＝1，AE＝EF＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：如图，延长EF交CD于M，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∵将△ABE沿直线BE对折得到△BEF，
∴∠BFE＝∠BFM＝90°，AB＝BF＝BC
在Rt△BFM与Rt△BCM中，
，
∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL），
∴MF＝MC，
∴∠MFC＝∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM＝90°，∠MCF+∠FDM＝90°，
∴∠MFD＝∠MDF，
∴MD＝MF＝MC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴MF＝MC＝DM＝1，
设AE＝EF＝x，
∵DE2+DM2＝EM2，
即（2﹣x）2+12＝（x+1）2，
解得：x＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换﹣折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．在边长为3的正方形ABCD中，点E、F在正方形不同的边上，且与点A构成等腰三角形．若等腰三角形AEF的底边长为2，则等腰三角形AEF的腰长是　2或或　．
【点拨】分三种情讨论即可①如图1中，当AE＝AF，EF＝2时．②如图2中，当AE＝AF，EF＝2时．③如图3中，当FA＝EF，AE＝2时．
【解析】解：①如图1中，当AE＝AF，EF＝2时，易知AE＝AF＝2．
②如图2中，当AE＝AF，EF＝2时，CE＝CF＝2，BE＝DF＝1，AE＝AF＝＝．
③如图3中，当FA＝EF，AE＝2时，作FG⊥AE于G，则四边形AGFD是矩形，AD＝FG＝3，
∵FA＝FE，FG⊥AE，
∴AG＝，
在Rt△AFG中，AF＝EF＝＝，
综上所述，腰三角形AEF的腰长是2或或．
故答案为2或或．
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
27．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为 　　．
【点拨】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，L利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可得出结论．
【解析】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AE∥GC，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
设MF＝MC＝x，则AM＝5+x，DM＝5﹣x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
52+（5﹣x）2＝（5+x）2，
解得：x＝，
∴CM＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
28.问题背景：如图，在正方形ABCD中，边长为4．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O．
（1）探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）拓展提高：延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长．
【点拨】（1）证△BCM≌△CDN（SAS），得出CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，再证∠CDN+∠MCD＝90°即可；
（2）连CE并延长交AD于G，求出GM长，再根据中位线的性质求出EF即可；
（3）过点B作BH⊥CM于点H，根据勾股定理求出，，即可．
【解析】解：（1）CM＝DN，且DN⊥CM，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠CDN+∠MCD＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴DN⊥CM，
∴线段CM和DN的关系为：CM＝DN，且DN⊥CM；
（2）连接CE并延长交AD于G，连接GM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝90°，BC∥AD，
∴∠ENC＝∠EDG，
∴在△CNE和△GDE中，
，
∴△CNE≌△GDE（ASA），
∴CE＝EG，GD＝CN＝1，
又∵MF＝CF，
∴，
∵正方形的边长为4，BM＝DG＝1，
∴AM＝AG＝3，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2+AG2＝GM2，
∴32+32＝GM2，
∴，
∴；
（3）如图3，过点B作BH⊥CM于点H，
∵CM2＝BC2+BM2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠BPC＝45°，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形CGM从而使用中位线定理、作BH⊥CM构造直角三角形PHB．
29.综合与实践
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1．已知矩形纸片ABCD，其中AB＝6，AD＝11．（1）操作判断
将矩形纸片ABCD按图1折叠，使点B落在AD边上的点E处，可得到一个45°的角，请你写出一个45°的角．
（2）探究发现
将图1的纸片展平，把四边形EFCD剪下来如图2，取FC边的中点M，将△EFM沿EM折叠得到△EF′M，延长EF′交CD于点N，求△EDN的周长．
（3）拓展应用：
改变图2中点M的位置，令点M为射线FC上一动点，按照（2）中方式将△EFM沿EM折叠得到△EF′M，EF′所在直线交CD于点N，若点N为CD的三分点，请直接写出此时NF′的长．
【点拨】（1）利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形AEFB是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论；
（2）周长为定值．连结MN，先证明四边形CDEF是矩形，可得EF＝CD＝6，FC＝ED＝5，由折叠性质并结合M为FC的中点可得到MF'＝MC，EF'＝EF，∠MF'N＝∠MF'E＝90°，然后证明Rt△MF'N≌Rt△MCN（HL）可得到F'N＝CN，最后计算DE+EN+ND可知是一常数，结论得证；
（3）分两种情况计算：①当点N为CD的三分点且靠近点C时，②当点N为CD的三分点且靠近点D时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAE＝90°，
∵将矩形纸片ABCD按图1折叠，使点B落在AD边上的点E处，
∴AB＝AE，∠B＝∠AEF＝90°，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∵AB＝AE，
∴四边形AEFB是正方形，
∴∠BAF＝∠EAF＝∠BFA＝∠EFA＝45°，
∴45°的角有∠BAF（或∠EAF或∠BFA或∠EFA）；
（2）连结MN，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝11，CD＝AB＝6，∠C＝∠D＝90°，
∵四边形AEFB是正方形，
∴EF＝AB＝6，∠FED＝∠FEA＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠C＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝6，FC＝ED＝AD﹣AE＝11﹣6＝5，
由折叠性质得：MF'＝MF，EF'＝EF，∠MF'N＝∠MF'E＝90°，
∵M为FC的中点，
∴MF＝MC，
∴MF′＝MC，
在Rt△MF′N与Rt△MCN中，
，
∴Rt△MF′N≌Rt△MCN（HL），
∴F′N＝CN，
∴△EDN的周长为：DE+EN+ND＝DE+EF'+F'N+ND＝DE+EF+（CN+ND）＝DE+EF+CD＝5+6+6＝17；
（3）①如图3，当点N为CD的三分点且靠近点C时，连接MN，
∴，
∴DN＝CD﹣CN＝6﹣2＝4，
在Rt△DNE中，EN＝＝＝，
∴NF'＝EN﹣EF'＝﹣6；
②如图4，当点N为CD的三分点且靠近点D时，连接MN，
∴，
在Rt△DNE中，，
∴；
综上所述，NF'的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
30．如图，在正方形ABCD中，点Q在射线DC上（不与C，D重合），点P为直线BC上一点，∠DAQ＝∠PAQ．
（1）如图①，若∠DAQ＝30°，AB＝3，DQ的长是 　　，AP的长是 　2　；
（2）如图②，当Q在线段DC上时，猜想AP，BP，DQ之间的数量关系并证明；
（3）当Q在线段DC的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，请探究AP，BP，DQ之间的数量关系．
【点拨】（1）由正方形的性质得∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝3，再由锐角三角函数定义求出DQ、AP的长即可；
（2）延长CD至E，使DE＝BP，连接AE，证△ABP≌△ADE（SAS），得AP＝AE，∠BAP＝∠DAE，再证∠EAQ＝∠EQA，得QE＝AE，则AP＝QE，然后由QE＝DE+DQ＝BP+DQ，即可得出结论；
（3）在DQ上截取DE＝BP，连接AE，同（2）得△ABP≌△ADE（SAS），则AP＝AE，∠BAP＝∠DAE，再证∠EAQ＝∠EQA，得QE＝AE，则AP＝QE，然后由QE＝DQ﹣DE＝DQ﹣BP，即可得出结论．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝3，
∵∠DAQ＝30°，
∴tan∠DAQ＝＝tan30°＝，
∴DQ＝AD＝×3＝，
∵∠DAQ＝∠PAQ＝30°，
∴∠BAP＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴cos∠BAP＝＝cos30°＝，
即＝，
∴AP＝2，
故答案为：，2；
（2）AP＝BP+DQ，证明如下：
如图②，延长CD至E，使DE＝BP，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABP和△ADE中，
，
∴△ABP≌△ADE（SAS），
∴AP＝AE，∠BAP＝∠DAE，
∵AB∥CD，
∴∠BAQ＝∠EQA，
∵∠DAQ＝∠PAQ，
∴∠DAQ+∠DAE＝∠PAQ+∠BAP，
即∠EAQ＝∠BAQ，
∴∠EAQ＝∠EQA，
∴QE＝AE，
∴AP＝QE，
∵QE＝DE+DQ＝BP+DQ，
∴AP＝BP+DQ；
（3）第（2）问中的结论不成立，AP＝DQ﹣BP，理由如下：
如图③，在DQ上截取DE＝BP，连接AE，
同（2）得：△ABP≌△ADE（SAS），
∴AP＝AE，∠BAP＝∠DAE，
∵AB∥CD，
∴∠BAQ＝∠EQA，
∵∠DAQ＝∠PAQ，
∴∠DAQ﹣∠DAE＝∠PAQ﹣∠BAP，
即∠EAQ＝∠BAQ，
∴∠EAQ＝∠EQA，
∴QE＝AE，
∴AP＝QE，
∵QE＝DQ﹣DE＝DQ﹣BP，
∴AP＝DQ﹣BP．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
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