6．2 线段、射线和直线
1．下列各直线的表示方法中，正确的是(D)
2．下列说法错误的是(C)
A．两点确定一条直线
B．线段是直线的一部分
C．同时过三个已知点一定可以画出直线
D．把线段向两边无限延长即是直线
3．如图，A，B，C是同一直线上的顺次三点，下列说法正确的是(C)
(第3题)
A．射线AB与射线BA是同一条射线
B．射线AB与射线BC是同一条射线
C．射线AB与射线AC是同一条射线
D．射线BA与射线BC是同一条射线
4．有A，B，C三点，过其中两点画直线，可以画出直线(C)
A．1条 B．2条
C．1条或3条 D．无法确定
5．如图，直线l，线段a及射线OA，能相交的图形是(C)
(第5题)
A．①③④ B．①④⑥
C．①④⑤ D．②③⑥
6．根据“反向延长线段MN”这句话，下列选项中正确的是(A)
7．下列说法错误的是(B)
A．线段AB与线段BA是同一条线段
B．射线AB与射线BA是同一条射线
C．直线AB与直线BA是同一条直线
D．射线OA与射线OB的端点相同
8．如图，射线AD上有B，C，D三点，则图中有(C)
(第8题)
A．1条射线和3条线段
B．4条射线和3条线段
C．4条射线和6条线段
D．7条线段和6条线段
9．由河源到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：河源—惠州—东莞—广州，那么要为这次列车制作的火车票有(C)
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
10．经过一点能画无数条直线，经过两点能画__1__条直线，经过不在同一条直线上的三点中的两点能画__3__条直线．
11．建筑工人砌墙时，先要在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，其道理是两点确定一条直线．
(第12题)
12．某宾馆在重新装修后， ( http: / / www.21cnjy.com )准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯．已知这种地毯每平方米售价40元，主楼道宽2 m，其侧面如图．则购买这种地毯至少要720元．
【解】 至少需要40×2×(4＋5)＝720(元)．
13．如图，数轴上点O表示原点，点A表示－2，点B表示1，点C表示2.
(第13题)
(1)数轴可以看做是什么图形？
(2)数轴上原点及原点左边的部分是什么图形？应怎样表示？
(3)射线AB和射线BA有什么不同？
(4)数轴上表示绝对值不大于2的部分是什么图形？这个图形怎样表示？
【解】 (1)直线．(2)射线；射线OA.(3)①端点不同；②方向不同．(4)线段；线段AC.
14．画出下列语句表达的图形：
(1)点A在直线a上，点B在直线a外；
(2)取不在同一直线上的三点A，B，C，画直线AB，线段BC，射线CA；
(3)直线a，b，c交于点M；
(4)直线a，b交于点A，直线b，c交于点B，直线a，c交于点C.
【解】 如解图所示．
(第14题解)
15．如图①，当线段上有3个点时，线段共有2＋1＝3(条)；
如图②，当线段上有4个点时，线段共有3＋2＋1＝6(条)；
如图③，当线段上有5个点时，线段共有4＋3＋2＋1＝10(条)；
如图④，当线段上有6个点时，线段共有__15__条．
根据以上求线段总条数的规律可得：当线段上共有n个点时，线段共有____条．
利用以上规律解答：如果10位同学聚会，每两人握手1次，共需握手__45__次．
(第15题)
【解】 图④中线段共有5 ( http: / / www.21cnjy.com )＋4＋3＋2＋1＝15(条)．根据以上求线段总条数的规律可得：当线段上共有n个点时，线段共有(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝(条).10位同学聚会，每两人握手1次，共需握手＝45(次)．6．6 角的大小比较
1．如果∠A＝60°24′，∠B＝60.24°，∠C＝60°23′24″，那么下列关系中正确的是(C)
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠B＝∠C＞∠A
2．钝角减去锐角所得的差是(D)
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．以上三种都有可能
3．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在(A)
A．∠AOB>∠AOC B．∠AOC>∠BOC
C．∠BOC<∠AOC D．∠AOC＝∠BOC
4．下列说法中正确的个数是(B)
①直线MN是平角
②两个锐角的和不一定大于90°
③两个钝角的和不一定大于180°
A．0 B．1
C．2 D．3
5．一条射线绕它的端点先按逆时针方向旋转75.5°，再按顺时针方向旋转15°30′，则射线后来位置与原来位置所成角的度数是(C)
A．90.8° B．90°35′
C．60° D．60.2°
6．若α是锐角，β是钝角，γ是直角，则α，β，γ的大小关系是(D)
A．α>β>γ B．β>α>γ
C．γ>β>α D．β>γ>α
7．下列说法正确的是(A)
A．小于直角的角叫做锐角
B．小于钝角的角是锐角
C．大于平角的角叫做钝角
D．大于直角的角叫做钝角
8．若两个角的和为180°，则下列说法正确的是(C)
A．这两个角都是锐角
B．这两个角都是钝角
C．一个角是钝角，一个角是锐角或两个角都是直角
D．以上说法都有可能
(第9题)
9．如图，∠AOB是直角，∠AOC＝38°，∠COD∶∠COB＝1∶2，则∠BOD等于(C)
A．38° B．52°
C．26° D．64°
10．下列四个图形中，能判断∠1>∠2的是(D)
11．下列各角中，属于锐角的是(C)
A.周角 B.平角
C.直角 D.平角
12．用一副三角尺画角，则这个角的度数不可能是(B)
A．15° B．55°
C．75° D．135°
13．如图，已知∠AOB＝∠BOC＝∠CO ( http: / / www.21cnjy.com )D＝∠DOE，则∠AOD＝__3__∠AOB，∠AOE＝__2__∠AOC，∠AOD＝____∠AOE.
(第13题)
(第14题)
14．如图，射线OB，OD都在∠AOC内，试 ( http: / / www.21cnjy.com )比较下列每组角的大小关系：∠AOB__>__∠AOD，∠COD__>__∠DOB，∠AOC__>__∠BOD，∠AOC__>__∠AOB.
15．如图，长方体纸箱的表面有__24__个角，它们都是__直__角，以A为顶点的角有__3__个，以AB为边的角有__4__个．
(第15题)
(第16题)
16．如图，OC⊥OD，∠1＝35°，则∠2＝__55°__．
17．已知O是直角∠AOB的顶点，OC是一条射线，则∠AOC与∠BOC的关系是(D)
A．∠AOC一定大于∠BOC
B．∠AOC一定小于∠BOC
C．∠AOC一定等于∠BOC
D．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC
18．已知∠ABC是平角，过点B任意作一条射线BD，将∠ABC分成∠DBA与∠DBC两个角．
(1)当∠DBA是什么角时，∠DBA>∠DBC
(2)当∠DBA是什么角时，∠DBA＝∠DBC
(3)当∠DBA是什么角时，∠DBA<∠DBC
【解】 (1)当∠DBA是钝角时，∠DBA>∠DBC.
(2)当∠DBA是直角时，∠DBA＝∠DBC.
(3)当∠DBA是锐角时，∠DBA<∠DBC.
19．已知α，β都是钝角，甲、乙、丙、丁计算 ( http: / / www.21cnjy.com )(α＋β)的结果依次为26°，50°，72°，89°，其中包含正确的结果，那么你认为正确的结果可能会是谁给出的？说出你的理由．
【解】 乙的结果正确，因为α，β都是钝角，故180°＜(α＋β)＜360°，于是可知30°＜(α＋β)＜60°.
20．回答下列关于钟表上时针与分针所成角的问题：
(1)上午7时整，时针与分针成几度角？
(2)当时间为2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？
(3)一天中有多少次时针与分针成直角？
【解】 (1)上午7时整，时针与分针成30°×5＝150°角．
(2)在2点32分时，时针与 ( http: / / www.21cnjy.com )12点构成的角度是2×30°＋32×0.5°＝76°，分针与12点构成的角度是32×6°＝192°，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°－76°＝116°.
(3)一天24 h中时针转2圈， ( http: / / www.21cnjy.com )分针转24圈，所以分针要超过时针24－2＝22(圈)．分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，∴一天中有22×2＝44(次)时针与分针成直角．6．3 线段的长短比较
1．下列图形能比较大小的是(C)
A．直线与线段 B．直线与射线
C．两条线段 D．射线与线段
2．如图，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是(B)
(第2题)
A．AC＞BD B．AC＝BD
C．AC＜BD D．不能确定
3．平面上A，B两点间的距离是指(D)
A．经过A，B两点的直线
B．射线AB
C．A，B两点间的线段
D．A，B两点间线段的长度
4．已知A，B是数轴上的两点，AB＝3，点B表示的数为－2，则点A表示的数是(C)
A．1 B．－5
C．－5或1 D．无法确定
(第5题)
5．如图，从A地到B地，最短的路线是(D)
A．A→C→G→E→B
B．A→C→E→B
C．A→D→G→E→B
D．A→F→E→B
6．有A，B，C三座城市，已知A，B两市间的距离为50 km，B，C两市间的距离是30 km，那么A，C两市间的距离是(D)
A．80 km B．20 km
C．40 km D．20～80 km
7．甲地离学校4 km，乙地离学校1 km，记甲、乙两地之间的距离为d(km)，则d的取值是(D)
A．3 B．5 C．3或5 D．3～5
8．下列说法错误的是(D)
A．任何线段都能度量长度
B．因为线段有长度，所以它们之间能判断大小
C．利用圆规配合直尺，也能比较线段的大小
D．两条直线也能进行度量长度和比较大小
9．下列说法正确的是(D)
A．两点之间的连线的长度，叫做两点间的距离
B．连结两点的线段，叫做两点之间的距离
C．两点之间的线段就是两点之间的距离
D．两点之间的距离是连结两点的线段的长度
10．有下列生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽量沿着线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象有(D)
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
(第11题)
11．如图，从甲地到乙地有4条路，其中最近的是__③__，这是因为__两点之间线段最短__．
12．用“>”“<”或“＝”填空：
(1)如果点C在线段AB上，那么AC__<__AB，AB__>__BC；
(2)如果点D在线段AB的延长线上，那么AD__>__AB，BD__<__AD；
13．把两地间一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是__两点之间线段最短__．
14．如图，某班50名同学分别站在公路的 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B两点处，A，B两点相距1000 m，A处有30人，B处有20人．要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在A处．
(第14题)
【解】 设A处学生走的路程为x(m)，则B处学生走(1000－x)m.
所有同学走的路程总和：
L＝30x＋20(1000－x)＝10x＋20000.
∵要使L最小，∴x＝0，
∴集合地点应选在A处．
15．已知A，B，C三点位于同一条直线上，线段AB＝8，BC＝5，则AC的长是(C)
A．13 B．3
C．13或3 D．以上都不对
【解】 当点C在线段AB上时，AC＝AB－BC＝8－5＝3；
当点C在线段AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝8＋5＝13.∴选C.
16．如图，线l表示一条小河，点A，点B表示两个村庄，在何处架桥才能使A村到B村的路程最短？
(第16题)
【解】 连结AB，线段AB与线l的交点P就是架桥之处．
17．如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼，其中BC＝DE＝2AB＝2CD.某大桶水经销商统计各居民每周所需大桶水的数量如下表：
(第17题)
楼号 A B C D E
大桶水数/桶 38 55 50 72 85
他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立供水点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，则选择的地点应在(C)
A．B楼 B．C楼
C．D楼 D．E楼
【解】 设AB＝a，则BC＝2a，CD＝a，DE＝2a.
若供水点在A楼，则55a＋50(a＋2a)＋72(a＋2a＋a)＋85(a＋2a＋a＋2a)＝1003a；
若供水点在B楼，则38a＋50×2a＋72(2a＋a)＋85(2a＋a＋2a)＝779a；
若供水点在C楼，则38(a＋2a)＋55×2a＋72a＋85(a＋2a)＝551a；
若供水点在D楼，则38(a＋2a＋a)＋55(2a＋a)＋50a＋85×2a＝537a；
若供水点在E楼，则38(a＋2a＋a＋2a)＋55(2a＋a＋2a)＋50(a＋2a)＋72×2a＝797a.
∴桶装水供应点设在D楼时总路程最小．6．1 几何图形
1．下列物体的形状类似于球的是(C)
A．茶杯 B．羽毛球
C．乒乓球 D．灯泡
2．一辆满载沙子的卡车，运到工地后把它卸到地上，沙子的形状将会是(A)
A．圆锥 B．圆柱
C．球 D．长方形
3．下列图形中，不是立体图形的是(B)
A．正方体 B．圆
C．棱柱 D．圆锥
4．下列各几何体的表面中，没有曲面的是(C)
A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．球
5．下列几何体中，与其他三个明显不同的一个是(C)
A．三棱柱 B．正方体
C．球体 D．圆柱
(第6题)
6．如图所示的螺丝可以看成是(B)
A．圆柱和圆锥的组合体
B．圆柱和棱柱的组合体
C．圆锥和棱柱的组合体
D．棱柱和棱锥的组合体
7．下列所画的图形中，表示圆锥的是(C)
8．圆柱是由__3__个面组成的，其中__2__个平面，__1__个曲面．圆锥是由__2__个面组成的．
9．一个立方体由__6__个面围成，有12条棱(面与面的交线叫做棱)，有__8__个顶点(棱与棱的交点叫做顶点)．
10．如图，这些图形中是平面图形的是①③④，是立体图形的是②⑤⑥．
(第10题)
11．观察下列图形的排列规律(其中△是三角形，□是正方形，○是圆)：○△□□○△□○△□□○△
□○△□□○△□…按照以上排列规律，则第2015个图形是三角形(填图形名称)．
12．观察下列图形：
(第12题)
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有__28__个★.
13．一只蚂蚁从如图所示的正方体的顶点A沿着棱爬向顶点B，只能经过三条棱，其走法有(B)
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
【解】 走法有：①A→C→D→B；
②A→C→H→B；
③A→E→F→B；
④A→E→D→B；
⑤A→G→F→B；
⑥A→G→H→B.
共6种．
,(第13题)) ,(第14题))
14．王叔叔买了四盒同样的长方体的礼品( ( http: / / www.21cnjy.com )如图)，长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm，王叔叔想把它们包装成一个大长方体，并使包装表面积最小，则表面积的最小值为128 cm2.
【解】 摆法如解图所示．
(第14题解)
表面积的最小值为：(4×6＋4×4＋6×4)×2＝128(cm)2.
15．某棱柱有m个面，n个顶点，l条棱，则m＋n－l＝__2__．
【解】 n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n＋2)个面，故m＋n－l＝2.
(第16题)
16．两个完全相同的长方体(如图)的长、宽 ( http: / / www.21cnjy.com )、高分别为5 cm，4 cm，3 cm.把它们叠放在一起组成一个新长方体．在这个新长方体中，表面积最大是多少？
【解】 按如解图方式摆放．
(第16题解)
则其表面积为(10×4＋4×3＋10×3)×2＝164(cm2)．
17．将一个圆柱体的面包切3刀，能将面包分成6块吗？能将面包分成7块吗？能将面包分成8块吗？如果能，请画图说明．
【解】 能，如解图所示．
(第17题解)
18．女主人把一只山羊带入牧场，在彼此相距 ( http: / / www.21cnjy.com )10 m处打下两个小木桩，在小木桩之间系紧一条带一个环的绳子，环能从一根小木桩滑向另一根小木桩，用一条5米长的绳子把山羊系在环上，请画出山羊最大的活动范围的示意图．
【解】 如解图所示．
(第18题解)
19．用六根长度相等的火柴搭等边三角形，最多能搭成__4__个．
(第19题解)
【解】 如解图，用六根长度相等的火柴棒搭成三棱锥，最多能搭成4个等边三角形．6．9 直线的相交(2)
1．过线段AB的中点画直线l⊥AB.若AB＝2 cm，则点A到直线l的距离是(A)
A．1 cm B．2 cm
C．4 cm D．无法计算
(第2题)
2．如图，能表示点到直线(线段)的距离的线段有(D)
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
3．下列叙述正确的是(C)
A．作已知直线的垂线能且只能作一条
B．过一点只能画一条直线垂直于已知直线
C．过任意一点都可引已知直线的垂线
D．已知线段的垂线有且只有一条
4．直线l1，l2交于点O，点P在直线l1，l2外，分别画出点P到直线l1，l2的垂线段PM，PN.下列四个图形中画得正确的是(A)
(第5题)
5．如图，直线l1与l2交于点O，OM⊥l1.若α＝46°，则β＝(D)
A．56° B．54°
C．46° D．44°
(第6题)
6．如图，ON⊥l，OM⊥l，则直线OM与ON重合的理由是(C)
A．过两点只有一条直线
B．经过一点只有一条直线垂直于已知直线
C．在同一平面内，过一点只能作一条垂直于已知直线的直线
D．垂线段最短
7．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离为(D)
A．4 cm B．2 cm
C．小于2 cm D．不大于2 cm
8．如图①②分别是铅球和立定跳远场地的示意图，点E，B为相应的落地点，则铅球和立定跳远的成绩分别对应的是线段(D)
(第8题)
A．OE和AB的长 B．DE和AB的长
C．OE和BC的长 D．EF和BC的长
9．如图，当∠1与∠2满足条件__∠1＋∠2＝90°__时，OA⊥OB.
,(第9题)) ,(第10题))
10．如图，OC⊥AE，OB⊥OD，则图中互余的角有__4__对．
11．如图，OD⊥AB，垂足为O，∠DOC∶∠AOC＝2∶1，则∠BOC＝__150°__．
,(第11题)) ,(第12题))
12．如图，根据图形填空：
(1)直线AD与直线CD交于点__D__；
(2)__BE__⊥AD，垂足为__E__；AC⊥__CD__，垂足为__C__；
(3)点B到直线AD的距离是线段__BE__的__长度__，点D到直线AB的距离是线段__DC__的__长度__；
(4)若AB＝2 cm，BC＝1.5 cm，则点A到直线CD的距离为__3.5__cm.
(第13题)
13．如图，AB，CD交于点E，EF⊥CD.若EB平分∠DEF，求∠AEF的度数．
【解】 ∵EF⊥CD，
∴∠DEF＝90°.
又∵EB平分∠DEF，
∴∠BEF＝∠DEF＝45°.
又∵∠AEF＋∠BEF＝180°，
∴∠AEF＝180°－45°＝135°.
14．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的有(C)
①点B到AC的垂线段是线段AB ②线段AC是点C到AB的垂线段 ③线段AD是点D到BC的垂线段 ④线段BD是点B到AD的垂线段
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解】 正确的结论是①②④.
,(第14题)) ,(第15题))
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，则点C到AB的距离为(A)
A．2.4 B．3
C．4 D．无法确定
【解】 设点C到AB的距离为h，
则＝，
解得h＝2.4，故选A.
(第16题)
16．如图，直线AB，CD交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．
【解】 (1)∵OM⊥AB，∠1＝∠2，
∴∠1＋∠AOC＝∠2＋∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°.
又∵∠CON＋∠NOD＝180°，
∴∠NOD＝90°.
(2)∵OM⊥AB，∠1＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°，∠1＝30°.
又∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝60°.
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠MOD＝∠MOB＋∠BOD＝∠MOB＋∠AOC＝150°.6．7 角的和差
1．点P在∠MAN内，现有如下等式 ( http: / / www.21cnjy.com )：①∠PAM＝∠MAN；②∠PAN＝∠MAN；③∠PAM＝∠PAN；④∠MAN＝2∠PAN.其中能表示AP是角平分线的等式有(D)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如图，一副三角尺(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于(A)
A．30° B．45°
C．50° D．60°
,(第2题)) ,(第3题))
3．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，下列结论中正确的个数是(C)
①∠AOB＝∠COD ②∠AOD＝3∠BOC
③∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠BOD
A．0 B．1
C．2 D．3
4．如图，OD是∠AOC的平分线，OC是∠BOD的平分线，且∠COD＝40°，则∠AOB＝(C)
A．80° B．100°
C．120° D．160°
(第4题)
(第5题)
5．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝(A)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
(第6题)
6．如图，已知∠BOD＝2∠AOB， ( http: / / www.21cnjy.com )OC是∠AOD的平分线，则下列四个结论：①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠BOC＝∠AOB；④∠DOC＝3∠BOC.其中正确的是(B)
A．①② B．③④
C．②③ D．①④
7．如图，∠AOB和∠COD都是直角，则∠AOD＋∠BOC＝180°．
,(第7题)) ,(第8题))
8．如图，点O是直线AB上一点，已知∠BOD＝30°，OE平分∠AOD，那么∠AOE的度数是__75°__．
9．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则图中与∠AOD相等的角有__3__个，与∠AOC相等的角有__2__个．
,(第9题)) ,(第10题))
10．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)如果∠AOC＝80°，那么∠BOC＝40°；
(2)如果∠AOC＝80°，∠COE＝50°，那么∠BOD＝__65°__．
(第11题)
11．如图，直线AB，CD交于点O，OB平分∠DOE.如果∠COE＝80°，求∠EOB与∠AOC的度数．
【解】 ∵∠COE＝80°，AB，CD交于点O，
∴∠EOD＝180°－∠COE＝100°.
∵OB平分∠EOD，
∴∠EOB＝∠BOD＝∠EOD＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°.
12．如图，已知∠AOC＝90°，∠COB＝α，OD平分∠AOB，则∠COD等于(B)
A. B．45°－
C．45°－α D．90°－α
(第12题)
【解】 ∵∠AOB＝∠AOC＋∠COB＝90°＋α，
又∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOB＝45°＋，
∴∠COD＝∠BOD－∠COB＝45°＋－α＝
45°－.
13．如图，在2×2的方格中，连结AB，AC，AD，则∠2＝45°，∠1＋∠2＋∠3＝135°．
【解】 ∵∠1＋∠3＝90°，∠2＝45°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝90°＋45°＝135°.
,(第13题)) ,(第14题))
14．如图，将书页斜折过去，使顶角A落 ( http: / / www.21cnjy.com )在A′处，BC为折痕，然后把BE边折过去，使BE与A′B边重合，折痕为BD，那么两折痕BC，BD间的夹角度数为__90°__．
【解】 由题意，可得BC，BD分别为∠ABA′，∠EBE′的平分线，
∴∠CBA′＝∠ABA′，∠E′BD＝∠EBE′，
∴∠CBA′＋∠E′BD＝∠ABA′＋∠EBE′
＝(∠ABA′＋∠EBE′)
＝×180°＝90°，
即∠CBD＝90°.
(第15题)
15．如图，∠COD是平角，∠AOC＝40°，∠BOD＝50°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，求∠MON的度数．
【解】 ∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC＝∠AOC＝×40°＝20°，
∠NOD＝∠BOD＝×50°＝25°.
又∵∠COD是平角，
∴∠MOC＋∠MON＋∠NOD＝180°，
∴20°＋∠MON＋25°＝180°，
∴∠MON＝135°.
16．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．
(第16题)
【解】 (1)∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°.
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝×120°＝60°，
∠NOC＝∠BOC＝×30°＝15°.
∴ ∠MON＝∠ MOC－∠NOC＝ 60°－15°＝45°.
(2)∵∠AOB＝α ，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝α＋30°.
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝，
∠NOC＝∠BOC＝15°.
∴∠MON＝∠ MOC－∠NOC＝－15°＝.第6章复习课
1．下列说法中正确的是(C)
A．直线的一半是射线
B．直线上两点间的部分叫做线段
C．线段AB的长度就是A，B两点间的距离
D．若点P使PA＝PB，则P是AB的中点
2．钟表在5点半时，它的时针和分针所成的锐角是(A)
A．15° B．70°
C．75° D．85°
3．线段AB＝5 cm，BC＝4 cm，那么A，C两点间的距离是(D)
A．1 cm B．9 cm
C．1 cm或9 cm D．以上结果都不对
4．如图，点C到直线AB的垂线段是指线段(B)
A．AC B．CD
C．BC D．BD
,(第4题))
5．平面上有三点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，则(A)
A．点C在线段AB上
B．点C在线段AB的延长线上
C．点C在直线AB外
D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
6．已知∠AOB＝30°，OC⊥AO，OD⊥OB，则∠COD＝(D)
A．30° B．90°
C．150° D．30°或150°
7．用度表示：6000″＝__°__，
12°15′36″＝__12.26°__．
8．手电筒发出的光束以及舞台上的光都是射线．
9．已知∠1是∠2的对顶角，且∠1＝63°，则∠2的度数为__63°__.
10．已知M是线段AB的中点，且AB＝4 cm，那么AM＝__2__ cm.
11．如图，三条直线l1，l2，l3交于一点O.若∠1＝∠2＝42°，则∠3的度数为__110°__.
,(第11题)) ,(第12题))
12．如图，直线AB，CD交于点O，EO⊥CD于点O，则图中相等的角有__3__对(不含平角)．
13．如图，B，C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点．若MN＝a，BC＝b，则线段AD的长是__2a－b__.
,(第13题))
14．A，B，C是数轴上的三个点，且BC＝2AB，已知点A表示的数是－1，点B表示的数是3，则点C表示的数是__11或－5__．
15．计算：
(1)150.6°－(30°26′＋59°48′)；
(2)38°24′×4.
【解】 (1)原式＝150.6°－90°14′＝150°36′－90°14′＝60°22′.
(2)原式＝152°96′＝153°36′.
16．已知∠1与∠2互为补角，且∠2的2倍比∠1大30°，求∠1的度数．
【解】 设∠2＝x，则∠1＝2x－30°.
∵∠1与∠2互为补角，
∴∠1＋∠2＝180°.
∴x＋2x－30°＝180°，
解得x＝70°.
∴∠1＝2×70°－30°＝110°.
(第17题)
17．如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1)画直线AB；
(2)作射线BC；
(3)画线段CD；
(4)连结AD，并将其反向延长至点E，使DE＝2AD；
(5)找到一点F，使点F到A，B，C，D四点的距离和最短．
【解】 如图所示．
18．已知∠AOB的度数为7 ( http: / / www.21cnjy.com )5°，在∠AOB的内部有一条射线OC，满足∠AOC＝∠COB，在∠AOB所在平面上另有一条射线OD，满足∠BOD＝∠AOC，请画出示意图，并求∠COD的度数．
(第18题解①)
【解】 情况一：如解图①.
设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x.
∵∠AOB＝75°，
∴∠AOC＋∠BOC＝75°.
∴x＋2x＝75°，
解得x＝25°.
∴∠AOC＝25°，∠BOC＝50°.
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝°＝12.5°.
(第18题解②)
∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝50°－12.5°＝37.5°.
情况二：如解图②.
由(1)知∠BOD＝12.5°，∠BOC＝50°，
∴∠COD＝∠BOD＋∠BOC＝12.5°＋50°＝62.5°.
19．如图，∠AOB＝∠COD＝∠AOD.已知∠BOC＝80°，求∠AOB和∠AOD的度数．
(第19题)
【解】 ∵∠AOB＝∠COD＝∠AOD，设∠AOB＝x，则∠COD＝x，∠AOD＝6x.
∵∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，∠BOC＝80°，
∴∠BOC＝6x－x－x＝4x，即4x＝80°，
∴x＝20°，6x＝120°.
∴∠AOB＝20°，∠AOD＝120°.
20．如图，直线EF，CD交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE＝n°，求∠BOD的度数．
(第20题)
【解】 解法一：∵∠AOF＋∠AOE＝180°，
∴∠AOF＝180°－∠AOE＝180°－n°.
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝∠AOF＝90°－n°.
又∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°.
∴∠BOD＝180°－∠AOB－∠AOC＝180°－90°－＝n°.
解法二：画OH平分∠AOE(如图)，则OH⊥OC.
∵OA⊥OB，
∴∠DOH＝∠BOA＝90°，
∴∠BOD＝∠AOH＝∠AOE＝n°.
21．如图，将一张长方形纸片分别沿着EP，FP对折，使点B落在B′处，点C落在C′处．
(1)若点P，B′，C′在同一直线上(如图①)，求两条折痕的夹角∠EPF的度数；
(2)若点P，B′，C′不在同一直线上(如图②)，且∠B′PC′＝10°，求∠EPF的度数．
(第21题)
【解】 (1)由折叠知：∠BPE＝∠B′PE，∠CPF＝∠C′PF.
∵∠BPE＋∠B′PE＋∠CPF＋∠C′PF＝180°，
∴∠EPF＝90°.
(2)由折叠知：∠BPE＝∠B′PE，∠CPF＝∠C′PF.
∵∠BPE＋∠B′PE＋∠CPF＋∠C′PF＝180°＋10°＝190°，
∴∠BPE＋∠CPF＝95°，
∴∠EPF＝85°.6．5 角与角的度量
1．一个角的两条边是(B)
A．直线 B．射线
C．线段 D．以上三种都有可能
2．下列说法中正确的个数是(B)
①由两条射线组成的图形叫做角
②角的大小与边的长短无关，只与两边张开的角度有关
③角的两边是两条射线
④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍
A．1 B．2
C．3 D．4
3．下列说法正确的是(D)
A．两条直线相交，组成的图形叫做角
B．两条有公共端点的线段组成的图形叫做角
C．两条有公共点的射线组成的图形叫做角
D．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角
(第4题)
4．如图，A，O，E三点在同一条直线上，则图中的角共有(D)
A．4个
B．8个
C．9个
D．10个
5．下列选项中，能用∠1，∠O，∠AOB三种方法表示同一个角的是(D)
6．如图，下列表示角的方法中错误的是(B)
(第6题)
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．β表示的是∠BOC
7．三点半时，钟表的时针和分针所夹锐角的度数是(B)
A．70° B．75° C．85° D．90°
8．75°＝____直角，平角＝__40°__，135°＝____周角．
(第9题)
9．如图，把一根小棒OA的一端钉在点O ( http: / / www.21cnjy.com )，旋转小木棒，使它落在不同的位置上，其中∠AOC为锐角，∠AOD为直角，∠AOE为钝角，木棒转到OB时形成的角为平角．(填“锐角”“直角”“钝角”或“平角”．)
10．回答下列时间时，时针和分针所成的角的度数：
(1)上午8：00时，时针与分针所成的角度是120°；
(2)下午3：00时，时针与分针所成的角度是90°；
(3)下午6：30时，时针与分针所成的角度是15°.
11．(1)用度、分、秒表示：
①123.38°＝123°22′48″；
②°＝15°45′；
(2)用度表示：
①51°25′48″＝51.43°；
②128°20′42″＝128.345°．
12．计算：
(1)36.6°＋54°42′＝91°18′；
(2)90°－23°26′＝66°34′；
(3)180°－15°24′－150°18′＝14°18′．
13．钟表上12时15分时，时针与分针的夹角为(B)
A．90° B．82.5°
C．67.5° D．60°
14．正方形的玻璃被截去一个角后，剩下的角的个数是(D)
A．3 B．3或4
C．4或5 D．3或4或5
【解】 如解图所示．
(第14题解)
15．如图，各角分别表示成∠A，∠B，∠C，∠D，其中表示正确的个数为(C)
(第15题)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解】 表示正确的角为∠A，∠B，∠C.
16．如图，在∠AOB内，以点O为顶点引射线，完成下表．
∠AOB内射
线的条数 1 2 3 4 … 99 … n
角的总个数 3 6 10 15 … 5050 …
,(第16题))
17．计算(结果化为度、分、秒的形式)：
(1)36°24′36″×3； (2)22.38°÷4.
【解】 (1)36°24′36″×3＝109°13′48″.
(2)22.38°÷4＝5°35′42″.
18．小明傍晚6点多出去散步 ( http: / / www.21cnjy.com )，此时分针与时针的夹角为110°，散步回来到家时新闻联播还没有开始，此时分针与时针的夹角还是110°，则小明出去散步花了几分钟？
【解】 设小明散步花了x(min)，
则(6－0.5)·x＝110＋110，
解得x＝40.
答：小明出去散步花了40 min.第6章自我评价
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列选项中，∠1与∠2是对顶角的是(C)
2．下列四个图中的线段(或直线、射线)能相交的是(A)
3．如图，OC⊥OA，∠BOC＝36°，那么∠AOB等于(B)
A．64° B．54° C．62° D．90°
,(第3题)) ,(第4题))
4．如图，图中线段、射线、直线的条数分别为(B)
A．5，4，1 B．8，12，1
C．5，12，3 D．8，10，3
5．如图，点A到BC的距离是(A)
A．线段AD的长度 B．线段AE的长度
C．线段BE的长度 D．线段CE的长度
,(第5题)) ,(第6题))
6．如图，由A点测B点的方向是(C)
A．南偏东25° B．北偏西25°
C．南偏东65° D．北偏西65°
7．如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角是它的补角的(B)
A．2倍 B. C．5倍 D.
【解】 设这个角的度数为x，则x＝2(90°－x)，
解得x＝60°.
60°÷(180°－60°)＝.
8．A，B是平面上两点，AB＝10 cm，P为平面上一点，若PA＋PB＝20 cm，则点P一定(D)
A．在直线AB外 B．在直线AB上
C．不在直线AB上 D．不在线段AB上
9．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a，BC＝b，则BD的取值范围为(D)
A．BD>a
B．BD>b
C．BD>a或BD
D．b(第9题)
(第10题)
10．如图，已知点A是射线BE上一点，过点A ( http: / / www.21cnjy.com )作CA⊥BE，交射线BF于点C，AD⊥BF交射线BF于点D，给出下列结论：①∠1是∠B的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠ACF；④与∠ADB互补的角共有3个．其中正确结论的序号是(D)
A．①②④ B．②③
C．④ D．①④
【解】 图中互余的角共有4 ( http: / / www.21cnjy.com )对，∠1与∠CAD，∠1与∠B，∠B与∠BAD，∠BAD与∠CAD，故②错误；∠1的补角有∠ACF和∠DAE，故③错误；①④均正确．
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．已知M是线段AB的中点，如果AM＝4 cm，那么AB＝__8__cm.
(第12题)
12．如图，AB＋BC＞AC，其理由是两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)．
13．已知α＝23°38′，则α的余角的度数是__66°22′__．
(第14题)
14．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥CD于点O.若∠1＝55°，则∠2的度数是__35°__．
15．一个角的余角等于它的补角的，则这个角是__67.5°__．
16．在同一平面内，已知∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数为100°或60°．
17．数轴上的点A，B分别表示数－2和1，点C是AB的中点，则点C所表示的数是－0.5．
18．下午2：20时，钟面上的时针与分针的夹角的度数为50°．
(第19题)
19．已知直线l⊥n于点O ( http: / / www.21cnjy.com )，作直线AB交这两条直线于点A，B.若OA＝2，OB＝mOA，且三角形OAB的面积为6，如图是其中的一种情形，则符合条件的直线AB最多可作__8__条．
【解】 当点A在直线n上且在点O的左 ( http: / / www.21cnjy.com )边时，点B的位置有两个，一个在点O的上方，一个在点O的下方. 同理，当点A在直线n上且在点O的右边时，也有两种情况．同理，当点A在直线l上时，有4种情况．故直线AB最多可作8条．
20．A是直线l外一点，B，C是直线l上 ( http: / / www.21cnjy.com )两点，过点A作直线l的垂线，垂足为D，其中BD＝2，CD＝4，AD＝4，那么△ABC的面积是4或12．
【解】 提示：分两种情况讨论：①点B，C均在点D的同一侧；②点B，C在点D的两侧．
三、解答题(共40分)
21．(6分)计算(结果用度、分、秒表示)：
(1)11°22′47″＋48°39′35″；
(2)105°27′8″－60.72°.
【解】 (1)原式＝59°61′82″＝60°2′22″.
(2)原式＝105°27′8″－60°43′12″＝44°43′56″.
22．(6分)如图，AD＝BD，E是BC的中点，BE＝AC＝2.求线段DE的长．
(第22题)
【解】 ∵BE＝AC＝2，
∴AC＝10.
又∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE＝4，
∴AB＝10－4＝6.
设AD＝x，则BD＝2x.
∵AB＋BD＝AB＝6，
∴x＋2x＝6，解得x＝2.
∴BD＝2x＝4.
∴DE＝BD＋BE＝4＋2＝6.
(第23题)
23．(6分)如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．
【解】 ∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝150°.
∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝75°.
同理，∠EOC＝∠AOC＝30°.
∴∠DOE＝∠DOC－∠EOC＝75°－30°＝45°.
24．(6分)画图：已知线段a，b(a>b)，求作线段a－b.
(第24题)
【解】 如解图所示，线段OA＝a－b.
(第24题解)
25．(8分)如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)若线段AC＝6，BC＝4，求线段MN的长度；
(2)若AC＋BC＝a，求线段MN的长度；
(3)把题中“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，(1)中的结果会有变化吗？若有，求出MN的长度．
(第25题)
【解】 (1)∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC＝AC，NC＝BC，
∴MN＝MC＋NC＝(AC＋BC)＝×(6＋4)＝5.
(2)同(1)，得MN＝a.
(3)分两种情况(C在线段AB上，C在线段AB外)讨论：
当C在线段AB上时，由(1)得MN＝5；
当C在线段AB外时，
∵AC＝6，BC＝4，且C在直线AB上，
∴C在线段AB的延长线上，
∴MN＝CM－CN＝(AC－BC)＝1，
综上所述，MN的长度为5或1.
(第26题)
26．(8分)某风景区的旅游路线示 ( http: / / www.21cnjy.com )意图如图所示，B，D，C，E为风景点，F为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程(单位：km)，一位同学从A处出发，以3 km/h的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5 h.
(1)当他沿着路线A→D→C→F→E→A游览回到A处时，共用了3.5 h，求路程CF的长；
(2)若此同学打算从A处出发后，步 ( http: / / www.21cnjy.com )行速度与在景点的逗留时间保持不变，游览完B，D，C，E中的任意三个景点后，仍返回A处，使时间小于3.5 h，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由(不考虑其他因素)．
【解】 (1)设CF的长为x(km)，则
2＋1.6＋x＋0.4＋0.8＝3×(3.5－0.5×3)，
解得x＝1.2,
∴路程CF的长为1.2 km.
(2)A→E→F→C→B→F ( http: / / www.21cnjy.com )→E→A，这样的总长为0.8＋0.4＋1.2＋1.5＋0.6＋0.4＋0.8＝5.7(km)．时间为3×0.5＋＝3.4(h)＜3.5 h，符合题意．6．4 线段的和差
1．下列说法不正确的是(A)
A．若点C在线段BA的延长线上，则BA＝AC－BC
B．若点C在线段AB上，则AB＝AC＋BC
C．若AC＋BC>AB，则点C一定在线段AB外
D．若A，B，C三点不在同一条直线上，则AB2．如果线段AB＝13 cm，MA＋MB＝17 cm，那么下列说法正确的是(D)
A．点M在线段AB上
B．点M在直线AB上
C．点M在直线AB外
D．点M可以在直线AB上，也可以在直线AB外
3．把线段AB延长到点C，使BC＝2AB，再延长线段BA到点D，使AD＝3AB，则DC等于AB的(C)
(第3题)
A．4倍 B．5倍
C．6倍 D．7倍
4．已知A，B，C是数轴上的三个点，点B表示4，点C表示－2，AB＝3，则AC的长是(D)
A．3 B．3或6
C．6 D．3或9
5．在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝5 cm，BC＝3 cm，如果O是线段AC的中点，那么线段BO的长度是(A)
A．1 cm B．1.5 cm
C．2 cm D．4 cm
6．如图，C是线段AB的中点，D是线段AC上一点，且DC＝AC，若BC＝4，则DC等于(A)
(第6题)
A．1 B.
C. D．2
7．用10条30 cm长的纸条首尾黏合成一张大纸条，每个黏合部分的长度为1.5 cm，则大纸条的长是(B)
A．288 cm B．286.5 cm
C．285 cm D．283.5 cm
8．下列四个图中，能表示线段x＝a＋c－b的是(D)
9．关于A，B，C三点，有下列几种说法：① ( http: / / www.21cnjy.com )若点C在线段AB上，则AC＋BC＝AB；②若点C在线段AB所在的直线上，则CB>AC；③若AC＋BC>AB，则点C在线段AB外；④若点C是线段AB的中点，则AB＝2BC.其中正确的说法有(C)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．设a，b，c表示三条线段的长，若a∶b∶c＝2∶3∶7，且a＋b＋c＝60 cm，则a＝10cm，b＝15cm，c＝35cm.
11．如图，已知线段AB＝20 cm，C为线段AB上一点，且AC＝4 cm，M，N分别是AC，BC的中点，则MN等于__10__cm.
,(第11题))
12．如图，B，C是AD的三等分点，E是CD的中点，根据图形填空．
,(第12题))
(1)CE＝____AB＝____BC＝____AC；
(2)BE＝____AD，CE＝____AD.
13．已知A，B，C，D是直线l上的顺次四点，且AB∶BC∶CD＝1∶2∶3.若AC＝12 cm，则CD＝12cm.
14．如图，C，D是线段AB上两点，已知AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，M，N分别是AC，DB的中点，且AB＝18 cm，求线段MN的长．
(第14题)
【解】 设AC＝x，则CD＝2x，DB＝3x.
∵AB＝AC＋CD＋DB，
∴x＋2x＋3x＝18，
解得x＝3.
∴AC＝3 cm，CD＝6 cm，DB＝9 cm.
又∵M，N分别是AC，DB的中点，
∴MC＝AC＝cm，DN＝DB＝cm.
∴MN＝MC＋CD＋DN＝＋6＋＝12(cm)．
(第15题)
15．如图，已知线段a，b，c，用直尺和圆规画线段，使得：
(1)AB＝a－b；(2)OF＝a－2b＋c.
【解】 (1)画法：①画射线AM；
②在射线AM上截取AB＝a，在线段AB的反方向截取BC＝b；
线段AC就是所求的线段a－b.如解图①.
(2)画法：①画射线ON；
②在射线ON上依次截取OD＝a，DE＝c；
③在线段OE的反方向截取EF＝2b.
线段OF就是所求的线段a－2b＋c.如解图②.
(第15题解)
16．(1)已知x＝－3是关于x的方程2k－x－k(x＋4)＝5的解，求k的值；
(2)在(1)的条件下，已知线段AB＝12 cm，点C是直线AB上一点，且AC∶BC＝1∶k，若D是AC的中点，求线段CD的长．
【解】 (1)把x＝－3代入2k－x－k(x＋4)＝5，
得2k＋3－k＝5，
解得k＝2.
(2)∵AC∶BC＝1∶k，k＝2，
∴AC∶BC＝1∶2.
有两种情况：①当点C在线段AB上时，如解图①.
(第16题解①)
设AC＝x，则BC＝2x.
∵AB＝12 cm，
∴AB＝AC＋BC＝x＋2x＝3x＝12，
∴x＝4，
∴AC＝4 cm.
又∵D是AC的中点，
∴CD＝AC＝2 cm.
②当点C在线段BA的延长线上时，如解图②.
(第16题解②)
∵AC＝BC＝1∶2，
∴A为BC的中点，
∴AC＝AB＝12 cm.
又∵D为AC的中点，
∴CD＝AC＝6 cm.
综上所述，CD的长为2 cm或6 cm.
17．已知数轴上有A，B，C三点，它们所表示的数分别是2，－4，x.
(1)求线段AB的长度；
(2)若AC＝5，求x的值．
【解】 (1)AB＝2－(－4)＝6.
(2)2－x＝5，x＝－3或x－2＝5，x＝7.
18．已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动(A在B左侧，C在D左侧)，若|m－2n|＝－(6－n)2.
(1)求线段AB，CD的长；
(2)若M，N分别为线段AC，BD的中点，BC＝4，求线段MN的长．
(3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，P是线段AB的延长线上任意一点，有下面两个结论：
①是定值；②是定值．
请选择正确的一个并加以证明．
【解】 (1)∵|m－2n|＝－(6－n)2，
∴m－2n＝0，6－n＝0，
∴n＝6，m＝12，
∴AB＝12，CD＝6.
(2)有两种情况：
①当点C在线段AB的延长线上时，如解图①.
∵M，N分别为线段AC，BD的中点，
∴AM＝AC＝(AB＋BC)＝8，
DN＝BD＝(CD＋BC)＝5，
∴MN＝AD－AM－DN＝12＋4＋6－8－5＝9.
②当点C在线段AB上时，如解图②.
∵M，N分别为线段AC，BD的中点，
∴AM＝AC＝(AB－BC)＝4，
DN＝BD＝(CD－BC)＝1，
∴MN＝AD－AM－DN＝12＋6－4－4－1＝9.
综上所述，MN的长为9.
(第18题解)
(3)②正确．
证明：＝＝＝＝2，
∴是定值．6．8 余角和补角
1．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠AOC＝∠BOD，这是根据(A)
A．同角的余角相等
B．直角都相等
C．同角的补角相等
D．互为余角的两个角相等
,(第1题)) ,(第2题))
2．如图，从点O看点A，下列表示点A位置正确的是(C)
A．北偏西50° B．西偏北40°
C．北偏西40° D．北偏东50°
(第3题)
3．如图，∠AOC＝∠BOC＝90°，∠2＝∠4，则图中互为余角的角共有(C)
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
4．α的补角与β的余角相等，则α与β的关系是(C)
A．互余 B．互补
C．α比β大90° D．β比α大90°
5．若互余的两个角有一条公共边，则这两个角的平分线组成的角(C)
A．等于45° B．小于45°
C．小于或等于45° D．大于或等于45°
6．下列说法正确的是(B)
A．90°的角叫做余角，180°的角叫做补角
B．钝角没有余角，只有补角
C．两个锐角一定互余
D．若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互补
7．若一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角的度数为(B)
A．30° B．40° C．60° D．75°
8．如果∠1和∠2互为补角，且∠1>∠2，那么∠2的余角为(D)
A.(180°－∠1) B.∠1
C.(∠1＋∠2) D.(∠1－∠2)
(第9题)
9．如图，OC是平角∠AOB的平分线，OD，OE是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中和∠COD互余的角有__3__个．
10．56°角的余角等于34°，34°角的补角等于146°.
(第11题)
11．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°.
(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是北偏东70°；
(2)如果OD是OB的反向延长线，那么OD的方向是南偏东40°；
(3)∠BOD可看做是OB绕点O逆时针方向旋转至OD所成的角，作∠BOD的平分线OE，则OE的方向是南偏西50°；
(4)在(1)(2)(3)的条件下，OF是OE的反向延长线，则∠COF＝20°．
12．如图，∠AOB＝160°，∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，求∠COD的度数．
(第12题)
【解】 ∵∠AOB＝160°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝160°－90°＝70°.
又∵∠BOD＝90°，
∴∠COD＋∠BOC＝90°，
∴∠COD＝90°－70°＝20°.
(第13题)
13．如图，已知AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
(1)若∠AOE＝140°，求∠AOC及∠DOE的度数；
(2)若∠EOD∶∠COD＝2∶3，求∠COD及∠BOC的度数．
【解】 (1)∵OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠EOD＋∠COD＝(∠BOD＋∠AOD)＝×180°＝90°，
∴∠AOC＝∠AOE－∠EOC＝140°－90°＝50°，
∴∠AOD＝2∠AOC＝100°，
∴∠DOE＝∠AOE－∠AOD＝40°.
(2)同(1)得∠COD＝54°，∠BOC＝126°.
14．如图，AB，CD交于点O，∠DOE＝90°，∠AOC＝72°，求∠BOE的度数．
(第14题)
【解】 ∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝180°－90°＝90°.
又∵∠AOC＝72°，
∴∠COB＝180°－72°＝108°.
∴∠BOE＝∠COB－∠COE＝108°－90°＝18°.
15．如图，∠AOB－∠BOC＝24°，∠BOC∶∠COD∶∠DOA＝2∶3∶4，求∠COD的度数．
(第15题)
【解】 设∠BOC＝2x，
则∠COD＝3x，∠DOA＝4x.
∵∠AOB－∠BOC＝24°，
∴∠AOB＝2x＋24°.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝360°，
∴2x＋24°＋2x＋3x＋4x＝360°，
解得x＝°.
∴∠COD＝3x＝3×°＝°.
16．已知点O是直线AB上一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．
(1)当点C，E，F在直线AB的同侧(如图①所示)时，试说明∠BOE＝2∠COF；
(2)当点C与点E，F在直线AB的两旁(如图②所示)时，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由；
(3)将图②中的射线OF绕点O顺时 ( http: / / www.21cnjy.com )针旋转m°(0＜m＜180)，得到射线OD，设∠AOC＝n°，若∠BOD＝°，则∠DOE的度数是°或°(用含n的式子表示)．
(第16题)
【解】 (1)设∠COF＝α，
则∠EOF＝90°－α.
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠AOF＝∠EOF＝90°－α，
∴∠AOC＝∠AOF－∠COF＝90°－α－α＝90°－2α，
∴∠BOE＝180°－∠COE－∠AOC＝180°－90°－(90°－2α)＝2α，
∴∠BOE＝2∠COF.
(2)成立．设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，∠AOF＝.
∴∠COF＝＋β＝45°＋＝(90°＋β)．
∵∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，
∴∠BOE＝2∠COF.课题学习 问题解决的基本步骤
1．某幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人分3个，还少3个，如果每人分2个，又多2个，那么共有小朋友(B)
A．4个 B．5个
C．10个 D．12个
2．某产品原来每件700元，降价后为560元，则降低的百分率为(A)
A．20% B．25%
C．75% D．80%
3．有一旅客带了30 kg ( http: / / www.21cnjy.com )的行李乘飞机，按民航规定，旅客最多可免费携带20 kg的行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%支付行李费，现该旅客支付了120元的行李费．则他的飞机票价是(B)
A．600元 B．800元
C．1000元 D．1200元
4．下面是某照相馆的价目表，为迎 ( http: / / www.21cnjy.com )接国庆，该照相馆底片冲洗与照片冲洗皆打九折，小明带了一卷底片去冲洗规格(3×5)的照片若干张，打折后共付了189元，那么小明共冲洗了照片(C)
项目 费用
底片冲洗费 70元/卷
规格(3×5)照片冲洗 4元/张
A.33张 B．34张
C．35张 D．36张
(第5题)
5．如图所示的足球是由32块黑白相 ( http: / / www.21cnjy.com )间的牛皮缝制而成的，黑皮可看做正五边形，白皮可看做正六边形．设白皮有x块，则黑皮有(32－x)块，每块白皮有六条边，共6x条边．因每块白皮有三条边和黑皮连在一起，故黑皮有3x条边，要求出白皮黑皮的块数，列出的方程正确的是(B)
A．3x＝32－x B．3x＝5(32－x)
C．6x＝32－x D．5x＝3(32－x)
6．某市出租车的收费标准是：起步价7 ( http: / / www.21cnjy.com )元(即行驶路程不超过3 km都需付7元车费)，超过3 km以后，每增加1 km，加收2.4元(不足1 km按1 km计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，设此人从甲地到乙地的路程是x(km)，那么x的最大值是(B)
A．11 B．8
C．7 D．5
7．某块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示的时间为10点50分时，准确时间应该是(A)
A．11点10分 B．11点9分
C．11点8分 D．11点7分
8．一个电器商店同时卖出两件电器， ( http: / / www.21cnjy.com )且售价均为1680元，以进货价计算，其中一件获利40%，另一件亏损20%，则这次出售的两件电器共获利__60__元．
9．一个班共有44人，全部报名参加了学 ( http: / / www.21cnjy.com )校组织的兴趣活动小组．参加数学兴趣活动小组的有38人，参加物理兴趣活动小组的有35人，则既参加数学兴趣活动小组又参加物理兴趣活动小组的有__29__人．
10．某地两种移动电话计费方式如下表：
全球通 神州行
月租费 50元/月 0
本地通话费 0.35元/分钟 0.60元/分钟
当一个月累计通话时间为200min时，两种计费方式的收费相同．
11．用内径为18 cm的圆柱形 ( http: / / www.21cnjy.com )玻璃杯(已装满水)向一个底面积为100 cm2，内高为8.1 cm的长方体铁盒内倒水．当铁盒装满水时，玻璃杯中水面的高度下降3.2cm(精确到0.1 cm，π取3.14)．
12．依法纳税是每个公民 ( http: / / www.21cnjy.com )应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定，从2011年5月1日起，公民全月工薪不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按下表分段累进计算．黄先生2014年4月份缴纳了个人所得税金40.5元，那么黄先生该月的工薪是__4850__元.
全月应纳税所得税额 税率
不超过1500元的部分 3%
超过1500元至4000元的部分 10%
…… ……
13.2014年，某地开始实施农村义务教 ( http: / / www.21cnjy.com )育学校营养计划——“蛋奶工程”．该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300 g，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋，已知牛奶的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量为60 g.
(1)一个鸡蛋中蛋白质的质量为多少克？
(2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？
【解】 (1)60×15%＝9(g)，
∴一个鸡蛋中蛋白质的质量为9 g.
(2)设每份营养餐中牛奶的质量为x(g), 则饼干的质量为(300－60－x)g，根据题意，得
5%x＋12.5%(300－60－x)＋60×15%＝300×8%，
解得x＝200.
∴饼干的质量为300－60－x＝40(g)．
答：每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为200 g和40 g.
14．某电视台的黄金时段的2 m ( http: / / www.21cnjy.com )in广告时间内，计划插播长度为15 s和30 s的两种广告.15 s广告每播1次收费0.6万元，30 s广告每播1次收费1万元．若要求每种广告播放不少于2次，问：
(1)两种广告的播放次数有几种安排方式？
(2)电视台选择哪种方式播放收益较大？
【解】 (1)设15 s广告播放x次，30 s广告播放y次．根据题意，得15x＋30y＝120，则x＝8－2y.
∵x，y为不小于2的正整数，∴当y＝2时，x＝8－2×2＝4；当y＝3时，x＝8－2×3＝2.
∴有两种播放方式，即15 s广告播放4次，30 s广告播放2次；或15 s广告播放2次，30 s广告播放3次．
(2)当x＝4，y＝2时，收益为0.6×4＋1×2＝4.4(万元)；
当x＝2，y＝3时，收益为0.6×2＋1×3＝4.2(万元)．
∴电视台选择15 s广告播放4次，30 s广告播放2次的方式收益较大．
15．有一个只许单向通过的窄道口 ( http: / / www.21cnjy.com )，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能通过3人，此时，他前面还有36人等待通过(假定先到先过，王老师过道口的时间忽略不计)．通过道口后，王老师还需7 min才能到达学校．
(1)此时若绕道而行，王老师要15 min才能到达学校，从节省时间考虑，王老师应该选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
(2)若在王老师等人的指 ( http: / / www.21cnjy.com )挥下，几分钟后，秩序恢复了正常(维持秩序期间，每分钟仍只有3人通过道口)，结果王老师比拥挤的情况下提前了6 min通过道口，问：维持秩序的时间是多久？
【解】 (1)36÷3＝12，
∴通过道口后再去学校共需：12＋7＝19(min)．
∵19>15，
∴王老师应该选择绕道去学校．
(2)设维持秩序的时间为x(min)，
则3x＋9(12－6－x)＝36，
解得x＝3.
答：维持秩序的时间是3 min.6．9 直线的相交(1)
1．下列选项中，∠1与∠2是对顶角的是(C)
2．如图，三条直线AB，CD，EF交于点O，则∠AOE＋∠DOB＋∠COF等于(B)
A．150° B．180° C．210° D．120°
,(第2题)) ,(第3题))
3．如图，直线AB，CD交于点O，则图中共有对顶角(B)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．下列说法中正确的是(A)
A．若两个角是对顶角，则这两个角相等
B．若两个角相等，则这两个角是对顶角
C．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等
D．以上说法都不正确
5．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC.若∠BOD＝76°，则∠BOM等于(C)
A．38° B．104° C．142° D．144°
,(第5题)) ,(第6题))
6．如图，当剪刀口∠AOB增大15°时，∠COD增大__15°__．
7．若∠1的对顶角是∠2，∠2的补角是∠3，且∠3＝54°，则∠1＝__126°__．
8．如图，两直线AB，CD交于点O，∠EOD＝90°，且∠BOE＝∠BOC，则∠AOC的度数为__45°__．
,(第8题)) ,(第9题))
9．如图，直线AB，CD，EF交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，且∠EOD＝90°.若∠COA＝28°，则∠AOF，∠BOC和∠EOA的度数分别是62°，152°，118°．
10．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠COD，∠BOE＝68°，则∠AOC＝22°．
,(第10题)) ,(第11题))
11．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.已知∠AOF＝160°，那么∠COE＝__110°__．
12．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠AOD－80°，求∠AOE的度数．
(第12题)
【解】 ∵∠AOD＝180°－∠AOC(平角的定义)，
∠AOC＝∠AOD－80°(已知)，
∴∠AOC＝180°－∠AOC－80°.
∴∠AOC＝50°，∠AOD＝130°.
∴∠BOD＝∠AOC＝50°(对顶角相等)．
∵OE平分∠BOD(已知)，
∴∠DOE＝∠BOD＝25°(角平分线的意义)．
∴∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝130°＋25°＝155°.
(第13题)
13．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝70°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．
【解】 (1)∵OE平分∠BOD，∠BOD＝∠AOC＝70°，
∴∠DOE＝∠BOD＝35°.
∴∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝90°－35°＝55°.
(2)设∠AOC＝x，则∠BOD＝x.
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠EOB＝∠BOD＝.
∴∠COE＝180°－∠DOE＝180°－.
∵∠EOF＝∠EOB＋∠BOF，
∴∠EOF＝＋15°.
∵OF平分∠COE，
∴∠COE＝2∠EOF.
∴180°－＝2，
解得x＝100°，即∠AOC＝100°.
14．如图，直线AB，CD交于点M，MN是∠BMC的平分线，∠AMN＝136°，求∠AMD的度数．
(第14题)
【解】 ∵∠AMN＝136°，
∴∠BMN＝44°.
又∵MN是∠BMC的平分线，
∴∠AMD＝∠BMC＝2∠BMN＝88°.
15．如图，已知直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠AOB.
(1)若∠BOE＝40°，求∠AOF与∠COF的度数；
(2)若∠BOE＝x(x＜45°)，请用含x的代数式表示∠COF的度数．
(第15题)
【解】 (1)∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD.
∵∠BOE＝40°，
∴∠BOD＝80°，
∴∠BOC＝100°.
∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF＝∠BOF＝90°，
∴∠COF＝100°－90°＝10°.
(2)∠COF＝180°－2x－90°＝90°－2x.