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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，是矩形 B．当时，是菱形
C．当是正方形时， D．当是菱形时，
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，B的对应点为E，AE与CD相交于点F.若∠FCE=40°，则∠CAB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
3．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知菱形的边与轴重合，点，，B(-3，0)若固定点，，将菱形沿箭头方向推，当点落在轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，：：，且，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
6．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB>1，点G在DC上，AG平分∠BAD，分别过点B，C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG交AG的延长线于点F，则AEGF的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．如图，菱形 ABCD的边长为 13，对角线AC=24，E，F分别是边 CD，BC 的中点，连结EF 并延长，与AB的延长线相交于点G，则 EG 的长为（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
9．如图，矩形 中，E，F是 上的两个点， ， ，垂足分别为G，H，若 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
10．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交DC于点F，交AB于点E，G是AE的中点，且∠AOG=30°，有下列结论：①DC=3OG；②OG=BC；③连结AF，CE，四边形AECF为菱形；④其中正确的是（ ）
A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为 ．
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF，AD=10，EF=4，则BG的长为 .
14．如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，AC=16cm，E，F分别是CD和BC的中点，连结EP并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为 cm
15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(点A，C都落在点G处).若GF=4，EG=6，则DG的长为 .
（第15题） （第16题）
16．正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且BE=EF=FD，∠E=∠F=90°，则BE的长为 ；如图2，点G，H，I，J，K，L均在正方形内部，且BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD，∠G=∠H=∠I=∠J=∠K=∠L=90°，则BG的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F.
（1）求证：四边形ADBF是菱形.
（2）若AB=8，四边形ADBF的面积为40，求AC的长.
18．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，且AO=BO，∠ADB的平分线交AB于点E.
（1）求证： ABCD是矩形.
（2）若AB=8，OC=5，求AE的长.
19．如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD相交于点C，过点G作GE⊥BC于点E，∠ADB=∠FCB．求证：
（1）AB=2BE；
（2）DG=CF+GE．
20．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，点D重合)，连结BE，作 AG⊥BE于点F，交边 CD于点G，连结 CF.
（1）求证：BE=AG.
（2）已知E 是边AD 的中点，AD=10.
①分别求AF，BF的长.
②求证：CB=CF.
21．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连结AE交BD于点M，过点B作BF⊥AE于点P，交AC于点G，交CD于点F.
（1）求证：△ABE≌△BCF.
（2）求证：OM=OG.
（3）若AE平分∠BAC，求证：BM2=2OM2.
22．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E.
（1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长.
（2）过点A作AF⊥CD于点F，连结EF，BD，求证：EF∥BD.
（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S 和S ，求的值.
23．如图1，在正方形ABCD中，点E 是对角线AC上任意一点，连结 DE，BE.
（1）求证：DE=BE.
（2）当AE=AB时，求∠BED的度数.
（3）如图2，过点E作EF⊥DE，交 AB 于点F，若BE=BF，AB=+.求AF的长.
24．在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．
（1）求证：；
（2）当点是边的中点时，求的长；
（3）当时，求的长．
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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，是矩形
B．当时，是菱形
C．当是正方形时，
D．当是菱形时，
【答案】D
【解析】A、∵四边形是平行四边形，当时，∴是矩形，∴A正确，不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，当时，∴是菱形，∴B正确，不符合题意；
C、∵当是正方形时，，∴C正确，不符合题意；
D、∵当是菱形时，无法证出，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
2．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，B的对应点为E，AE与CD相交于点F.若∠FCE=40°，则∠CAB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
【答案】C
【解析】由折叠的性质得： ∠ACE=∠ACB，
∵∠FCE=40°，∠DCB=90°，∴∠ECB=∠FCE+∠DCB=130°，
∴，∴∠CAB =90°-∠ACB=90°-65°=25°.
故答案为：C.
3．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故答案为：B．
4．如图，已知菱形的边与轴重合，点，，B(-3，0)若固定点，，将菱形沿箭头方向推，当点落在轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=AD=BC=5，
∵，，B(-3，0) ，
∴点C的坐标为（-7，3），
∴当点C落在y轴上时，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（5，3），
故答案为：B.
5．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，：：，且，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OD=OC，∠ADC=
∵：：
∴∠EDC+∠EDA=3∠EDC=
∴∠EDC=
又∵DEAC
∴∠ECD=
∵OD=OC，∠ECD=
∴是等边三角形
∴OC=2EC
设EC=x，则在含角得直角三角线中，DC=2x；
∴=，解得x=2
∴AC=2OC=4EC=8
故答案为：C.
6．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵BE：EC=2：1，BE+EC=9∴EC=3；
∵正方形 ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，
∴∠C=90°，DH=EH，设CH=x，则DH=EH=9-x，
在Rt△ECH中
CH2+CE2=EH2即x2+9=（9-x）2
解之：x=4，
∴CH的长为4.
故答案为：B.
7．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB>1，点G在DC上，AG平分∠BAD，分别过点B，C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG交AG的延长线于点F，则AEGF的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】设AE=x，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，CD=AB，
∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=∠BAD=45°，
∴△DAG是等腰直角三角形，∴DG=AD=1，
，
同理可证AE=BE，FG=CF，∴AE=BE=x，则，
，，
∴
故答案为：B.
8．如图，菱形 ABCD的边长为 13，对角线AC=24，E，F分别是边 CD，BC 的中点，连结EF 并延长，与AB的延长线相交于点G，则 EG 的长为（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
【答案】B
【解析】如图：
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，AC=24，
∴AC⊥BD，DC//AB，AO=CO=12.
∴∠ECF=∠GBF，∠CEF=∠BGF.
∵E，F分别是边 CD，BC 的中点，
∴EF是三角形BCD的中位线，CF=BF.
∴.
∵∠ECF=∠GBF，∠CEF=∠BGF，CF=BF，
∴△ECF≌△GBF（AAS）.
∴EF=FG.
∴GE=2EF=BD.
∵Rt△DCO中，DC=13，CO=12，
∴DO=5.
∴GE=BD=2DO=10.
故答案为：B.
9．如图，矩形 中，E，F是 上的两个点， ， ，垂足分别为G，H，若 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形.
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ= ，
即EG+QG=EG+FH= ，
故答案为：B.
10．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交DC于点F，交AB于点E，G是AE的中点，且∠AOG=30°，有下列结论：①DC=3OG；②OG=BC；③连结AF，CE，四边形AECF为菱形；④其中正确的是（ ）
A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【解析】∵EF⊥AC，G是AE的中点，
∴AG=OG=GE，
∴∠OAE=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=AC=OC，
设BC=a，AC=2a，
在中，由勾股定理得：，
在直角△AOE中，∠EAO=30°，AO=OC=a，
解三角形得：OE=，AE=，
∴OG=，
∴CD=AB=3OG，故①正确；
OG=≠a=BC，故②错误；
连接AF、CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△FOC与△EOA中，
，
∴△FOC△EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵=，=a a=，
∴=，故④正确，
综上所述，结论正确的是①③④.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为 ．
【答案】12
【解析】四边形是矩形，，
，
是翻折而成，
，，是直角三角形，
，
在中，，
设，
在中，，即，
解得，则．
故答案为：．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则 ．
【答案】
【解析】∵ 四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8， ∴AC⊥BD，，，
在中，根据勾股定理得，，
∵S菱形ABCD =AC×BD=BC×AE，
即S菱形ABCD =×6×8=5×AE，∴AE=.
故答案为：.
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF，AD=10，EF=4，则BG的长为 .
【答案】2
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE=AB，且OE=AE=AD=5，
∴OE∥FG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∴FG=OE=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∵AE=5，EF=4，
∴AF=3，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2，
故答案为2．
14．如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，AC=16cm，E，F分别是CD和BC的中点，连结EP并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为 cm
【答案】12
【解析】如图，连接AC，交BD于点O：
根据题意可知AD∥BC，AB=BC=CD=DA=10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，∴EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=16，∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=8，
又∵AB∥CD，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在Rt△AOB中，AB=10，OA=8，
∴OB=OD=6，
∴BD=2OB=12，
∴EG=BD=12；
故答案为：12．
15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(点A，C都落在点G处).若GF=4，EG=6，则DG的长为 .
【答案】12
【解析】设正方形的边长为x，
由翻折的性质得：DG=DA=DC=x，
∵GF=4，EG=6，
∴AE=EG=6，CF=GF=4，
∴BE=AB-AE=x-6，BF=BC-CF=x-4，EF=EG+GF=6+4=10，
如图，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
∴(x-6）2+（x-4）2=102，
解得：x1=12，x2=-2（不符合题意），
∴DG=12，即DG的长为12.
故答案为：12.
16．正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且BE=EF=FD，∠E=∠F=90°，则BE的长为 ；如图2，点G，H，I，J，K，L均在正方形内部，且BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD，∠G=∠H=∠I=∠J=∠K=∠L=90°，则BG的长为 .
【答案】；
【解析】连接BD，交BD于点M，
在△DFM和△BEM中
∴△DFM≌△BEM（AAS），
∴BM=DM，FM=ME，
∵正方形ABCD，
∴∠A=90°，AB=AD=2，
∴，
∴，
设ME=x，则BE=2x，
∴BE2+ME2=BM2即x2+4x2=2，
解之：x=，
∴；
如图，将KL，HJ，HI，HG平移，
设BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD=x，可知DS=2x， SO=1.5x，
∴（1.5x）2+（2x）2=2
解之：x=.
故答案为：，.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F.
（1）求证：四边形ADBF是菱形.
（2）若AB=8，四边形ADBF的面积为40，求AC的长.
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，∠FAE=∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS）
∴AF=CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=BD=BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积=2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴菱形ADBF的面积=△ABC的面积=40，
∴AB·AC=40，解得：AC=10，
18．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，且AO=BO，∠ADB的平分线交AB于点E.
（1）求证： ABCD是矩形.
（2）若AB=8，OC=5，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OB，
∴OA=OC=OB=OD，即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图：
∵四边形ABCD是矩形，OC=5，
∴∠BAD=90°，BD=AC=2OC=10，
在Rt△ABD中，AD=，
∵∠DAB=90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的平分线，EG⊥BD，
∴EG=EA，∠EGB=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
∴Rt△ADE≌Rt△GDE（HL）
∴AD=GD=6，
∴BG=BD-GD=10-6=4，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：
BE2=EG2+BG2，即（8-AE）2=AE2+42，
解得：AE=3.
19．如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD相交于点C，过点G作GE⊥BC于点E，∠ADB=∠FCB．求证：
（1）AB=2BE；
（2）DG=CF+GE．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥ BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵∠ADB=∠FCB，
∴∠FCB=∠DBC，
∴GB=GC．
又∵GE⊥BC，
∴BC= 2BE，
∴AB= 2BE；
（2）证明：如图，延长CF，DA交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ADB = ∠DBC，
∴∠H =∠FCB，
∴∠H= ∠ADB，
∴DG=HG．
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF，AB=2BF．
又由（1）得AB= 2BE，
∴BF= BE．
在△AFH和△BFC中，
，
∴△AFH≌△BFC(AAS)，
∴CF= FH．
在△BGF和△BGE中，
，
∴△BGF≌△BGE(SAS)，
∴FG=CE，
∴DG= HG=HF+FG=CF+GE．
20．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，点D重合)，连结BE，作 AG⊥BE于点F，交边 CD于点G，连结 CF.
（1）求证：BE=AG.
（2）已知E 是边AD 的中点，AD=10.
①分别求AF，BF的长.
②求证：CB=CF.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中 ，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠BAF+∠EAF=90°，
∵ AG⊥BE ，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EAF，
∴△ABE≌△DAG（ASA），
∴ BE=AG.
（2）解：①∵E 是边AD 的中点，AD=10.
∴AB=AD=10，AE=5，
∴BE==，
∵ AG⊥BE ，
∴△ABE的面积=BE·AF=AB·AE，即×AF=×10×5，
解得AF=，
∴BF==；
②过点C作CH⊥BF，则∠HBC+∠HCB=90°，
∵+∠HBC=∠ABC=90°，
∴∠HCB=∠ABF，
∵∠AFB=∠BHC，AB=BC，
∴△ABF≌△BCH（AAS）
∴CH=BF=，
∴BH==，
∴FH=BF-BH=，即FH=BH，
∴CH垂直平分BF，
∴BC=CF.
21．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连结AE交BD于点M，过点B作BF⊥AE于点P，交AC于点G，交CD于点F.
（1）求证：△ABE≌△BCF.
（2）求证：OM=OG.
（3）若AE平分∠BAC，求证：BM2=2OM2.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：在正方形ABCD中，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴；
（3）证明：作于点N，
∵，AE平分，
∴，
又∵ ，
∴，
在中，．
22．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E.
（1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长.
（2）过点A作AF⊥CD于点F，连结EF，BD，求证：EF∥BD.
（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S 和S ，求的值.
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE=30°，
∴BE=AB，BE2+AE2=AB2，
∵AE=3，
∴（AB）2+32=AB2，解得：AB=；
∴菱形ABCD的周长=4×=；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=∠ADF，AB=AD=BC=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中
∴△ABE≌△ADF（AAS）
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CBD=（180°-∠C），
∴EF∥BD；
（3）解：连接CG，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADG=∠CDG，AD=CD，
在△CDG和△ADG中
∴△ADG≌△CDG（SAS）
∴AG=CG，△ADG和△CDG的面积相等，
∴S1-S2=S△CGE，AB=BC=CE+BE=4+8=12，
∵AE⊥BC，
∴AE=，
设EG=x，则AG=CG=-x，
∴EG2+EC2=CG2，即x2+42=(-x)2，
解得：x=，即EG=，
∴S1-S2=S△CGE=CE·EG=×4×=.
23．如图1，在正方形ABCD中，点E 是对角线AC上任意一点，连结 DE，BE.
（1）求证：DE=BE.
（2）当AE=AB时，求∠BED的度数.
（3）如图2，过点E作EF⊥DE，交 AB 于点F，若BE=BF，AB=+.求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴DE=BE；
（2）解：∵∠BAC=45°， AE=AB ，
∴∠AEB=∠ABE=（180°-∠BAC）=67.5°，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠AED=∠AEB=67.5°，
∴ ∠BED =∠AED+∠AEB=67.5°+67.5°=135°；
（3）解：过点E作EM⊥BF，则△AME为等腰直角三角形，
由（1）知：△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠ADE=∠ABE，
∵EF⊥DE ，∠DAF=90°，
∴∠AFE+∠ADE=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠BFE=∠ADE，
∴∠BFE=∠ABE，
∴BE=BF，
∵ BE=BF ，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠MEB=30°，FM=BM，
设FM=MB=x，则EM=x，
∴AM=EM=x，
∴AB=x+x= +，解得x=，
∴AF=AM-MF=x-x=.
24．在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．
（1）求证：；
（2）当点是边的中点时，求的长；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
∴AB∥CD，
，
由折叠性质可得：
，
，
；
（2）解：点是边的中点，
，
四边形是矩形，，
∴AB∥CD，，，
，
在和中，
，
，
设，
，，
在中，，
，
解得：，
的长为；
（3）解：当时，设，应分为两种情况：
第一种情况，如图，点在线段上，
，，
在中，，
，
解得：，
的长为；
第二种情况，如图，点在线段的延长线上，
，，
在中，，
，
解得：，
的长为；
综上，当时，的长为或．
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