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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 培优测试卷 2
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
【答案】B
【解析】设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积= ×8×6=24cm2，
故选B．
2．下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．有一个角为的平行四边形是矩形
【答案】A
【解析】A、平行四边形的对角线是互相平分的，不是相等的，所以A选项是假命题；
B、正方形的对角线是互相垂直平分的，所以B选项是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项是真命题；
D、有一个角为的平行四边形是矩形，所以D选项是真命题；
故答案为：A.
3．如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【解析】∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
4．如图，菱形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为 E，则AE 的长为 （ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴
∵
∴
∴
故选:B.
5．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使点C和点A重合，则折痕EF的长为（ ）
A． B． C．15 D．16
【答案】A
【解析】连接AF
由题意得EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF
设CF=x，则BF=4-x
在中，由勾股定理得，即，解得，
在中，，，
在中，由勾股定理得，
.
故答案为：A.
6．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，点在对角线上．若四边形是菱形，．则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接DE、EF，
∵ 四边形EGFH是菱形 ，
∴GH与EF互相垂直平分，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EF与BD垂直平分，∠A=90°，
∴ED=BE，
∵AD=BC=2，AB=3，
∴DE=BE=3-AE，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，
∴4+AE2=（3-AE）2，
解得：AE=；
故答案为：B.
7．如图，点B，C，E在同一直线上，分别以为边作正方形和正方形，，H是的中点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接、，
四边形和四边形是正方形，，
，，，
，，，
，
，
点H是的中点，
.
故答案为：B.
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】取AB的中点E，连接OE、CE，则BE=AB.
∵四边形ABCD为正方形，边长为4，
∴∠ABC=90°，AB=BC=4，
∴BE=AB=2，
∴CE==.
∵△AOB为直角三角形，点E为AB的中点，
∴OE=AB=2.
∵OE+CE≥OC，
∴OC长的最大值为OE+CE=+2.
故答案为：B.
9．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，下列结论：≌；；点到直线的距离为；，其中正确结论的序号为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①∵DP⊥DE，
∴∠PDE=90°，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP=DE，
∴△APD≌△CED（SAS），故①正确；
②∵∠PDE=90°，DP=DE，
∴∠DPE=∠DEP=45°，
∴∠ADP=180°-∠DPE=135°，
∵△APD≌△CED，
∴∠DEC=∠ADP=135°，
∴∠PEC=∠DEC-∠DPE=90°，即AE⊥CE，故②正确；
③如图，过点C作CF⊥DE，交DE的延长线于点F，∵∠PDE=90°，DP=DE=1，
∴PE=DP=，
由②知：∠PEC=90°，PC=，
∴CE==2，
∵∠FEC=180°-∠DEP-∠PEC=180°-45°-90°=45°，
∴∠FCE=45°，
∴EF=CF，
∴CF=CE=，
∴点C到直线DE的距离为，故③错误；
④在Rt△DCF中，DF=DE+EF=+1，CF=，
∴CD2=CF2+DF2=5+，
∴，故④正确.
故答案为：B.
10．如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果，，则正方形的面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】D
【解析】过O点作OF⊥OC，交BC于F，BC和OA的交于点H，
∵在三角形ACH和三角形BHO中，(正方形对角线互相垂直)
且(对顶角相等)
∴(等角的余角相等）
在三角形COF和三角形HOB中，
∵
∴(同角的余角相等）
在三角形ACO和三角形BFO中
∴≌(ASA)
∴OC=OF AC=BF
又在直角三角形COF中，
∴BC=BF+CF=1+4=5
∴正方形的面积=
故答案为：D
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，点E、F分别是菱形的边、上的点，且，，则 ．
【答案】
【解析】如图所示：
连接AC
∵菱形，
∴ AB=AC，AD=DC，∠B=∠D=60°
∵
∴和为等边三角形，∠BCD=120°，
∴ ∠BAC=∠CAD=60°，
∵ ∠FAD=42°
∴ ∠CAF=∠BAE=18°.
∵ ∠B=∠ACD=60°
∴
∴ AE=AF
∴为等边三角形
∴ ∠AEF=60°
∵ ∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE=78°
∴ ∠CEF=18°
故答案为：∠CEF=18°.
12．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(6，4)，过点A分别作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，已知经过点 P(2，3)的直线y=kx+b(k≠0)分别与线段 CA，OB相交，并将矩形OBAC分成面积比为3：5的两部分，则k的值为 .
【答案】-4
【解析】把点 P(2，3)代入直线y=kx+b 中，得2k+b=3，则b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
∵四边形ACOB为矩形，A（6，4），
∴E（2+，4），F（2-，0）
∴CE=2+，OF=2-，
∵ 直线矩形OBAC分成面积比为3：5的两部分 ，
∴四边形EFOC的面积=矩形ABOC的面积，
∴（2-+2+）×4×=×6×4，
解得：k=-4.
故答案为：-4.
13．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P 在对角线 BD上，且 BP=BA，连结 AP 并延长，交 DC的延长线于点Q，连结 BQ，则 BQ 的长为 .
【答案】
【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，∠BAD=∠BCD=90°，
∴，
∵BP=BA=5，
∴PD=BD-BP=13-5=8，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA
又∵∠BPA=∠DPQ，
∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠DQP，
∴∠DPQ=∠DQP，
∴DQ=DP=8，
∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3，
在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
；
故BQ的长为：.
14．如图，在菱形中，边长为，，E，F分别是边上的点，且，若将沿着折叠，使得点B恰好落在边上的点处，，折痕为，则的长为 ．
【答案】2
【解析】如图，过点作，交的延长线于点G，则，
∵，
∴，
由折叠的性质得，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：2．
15．如图，在中，于，，是对角线上的一点，若，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，
∵∠BFD=90°，
∴OF是BD边上的中线，
∴OF=BD，
∵DF=BF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴OF⊥BD，，
∴
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
在Rt△BDE中
，
∴AD2=（AD-2）2+42，
解之：AD=5，
∴，
∴
故答案为：
16．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，作交于点P，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则：等于 ．
【答案】
【解析】如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG=45°，CP⊥ CG，
∴∠BCP=45°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，即CP平分∠ ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴ PM=PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1=4，S2=7，
∴正方形BCFG的面积=7-4=3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，
∴，
∴，
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，延长BC至点E，使BC=CE，连结DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形．
（2）若BC=3，AB=5，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∵BC=CE，
∴AD∥CE且AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°，
∴平行四边形ACED是矩形.
（2）解：∵BC=3，AB=5，∠ACB=90，
∴AC=4．．
∴DE=AC=4．
∵BE=2BC=6，∠DEC=90°，
∴BD=
18．如图，正方形中，E为边上一点，交的延长线于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若E为的中点，，求正方形的面积，
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，，，
∴；
（2）解：过D点作于点H，
则，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴三角形是等腰直角三角形，
∴，
即，
在中，，，
由勾股定理得，
即正方形的面积为20．
19．如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
20．如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
∵
∴，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形，
，
，
，
∴，
∴
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
故菱形的周长为．
21．如图
如图，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分．
，
，
，
四边形是菱形
（2）解：连接，，
由知，四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形关于对角线所在直线对称，
，
周长，
周长的最小值为，
在中，
，
周长的最小值为．
22．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：BF=DF；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．
①求证：四边形BFDG是菱形；
②若AB=3，AD=4，求FG的长．
【答案】（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
②∵AB=3，AD=4，
∴BD=5．
∴OB= BD= ．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=4-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即32+（4-x）2=x2，
解得x= ，
即BF= ，
∴FO= = = ，
∴FG=2FO= ．
23．如图，菱形的一边在x轴的正半轴上，O是坐标原点，B点坐标为，点D是对角线上一点，连结，垂足为E．
（1）求证：；
（2）求菱形的面积；
（3）连接，当时，求点D的坐标．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）解：如图设x轴上的8的点为M
四边形是菱形，B点坐标为，
，，，
设，则，
在中，，即，
解得：即，
菱形OABC的面积：；
（3）解：设直线的函数解析式：，
将B代入，得，则，
则直线的函数解析式：，
因为四边形是菱形，
，
又，
，
，
设点，
，
解得，
．
24．已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
（1）如图1，若，，则的度数为 ；
（2）如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长；
（3）如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度．
【答案】（1）67.5°
（2）解：如图2，延长BC到点K，使，连接DK，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的周长为40；
（3）解：如图3，作，交AB于点L，交FG于点P，作，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，
∵，，
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，
∴，，，
∴；
由（2）得，，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=90-45°=45°，
∴∠CDF+∠CDF=45°，
∴∠CDF=22.5°，
∴∠DFC=90°-22.5°=67.5°．
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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 培优测试卷 2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
2．下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．有一个角为的平行四边形是矩形
3．如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图，菱形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为 E，则AE 的长为 （ ）
A． B． C． D．10
5．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使点C和点A重合，则折痕EF的长为（ ）
A． B． C．15 D．16
6．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，点在对角线上．若四边形是菱形，．则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点B，C，E在同一直线上，分别以为边作正方形和正方形，，H是的中点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
9．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，下列结论：≌；；点到直线的距离为；，其中正确结论的序号为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果，，则正方形的面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，点E、F分别是菱形的边、上的点，且，，则 ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(6，4)，过点A分别作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，已知经过点 P(2，3)的直线y=kx+b(k≠0)分别与线段 CA，OB相交，并将矩形OBAC分成面积比为3：5的两部分，则k的值为 .
13．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P 在对角线 BD上，且 BP=BA，连结 AP 并延长，交 DC的延长线于点Q，连结 BQ，则 BQ 的长为 .
14．如图，在菱形中，边长为，，E，F分别是边上的点，且，若将沿着折叠，使得点B恰好落在边上的点处，，折痕为，则的长为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在中，于，，是对角线上的一点，若，，，则的长为 ．
16．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，作交于点P，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则：等于 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，延长BC至点E，使BC=CE，连结DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形．
（2）若BC=3，AB=5，求BD的长．
18．如图，正方形中，E为边上一点，交的延长线于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若E为的中点，，求正方形的面积，
19．如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
20．如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
21．如图
如图，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．
22．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：BF=DF；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．
①求证：四边形BFDG是菱形；
②若AB=3，AD=4，求FG的长．
23．如图，菱形的一边在x轴的正半轴上，O是坐标原点，B点坐标为，点D是对角线上一点，连结，垂足为E．
（1）求证：；
（2）求菱形的面积；
（3）连接，当时，求点D的坐标．
24．已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
（1）如图1，若，，则的度数为 ；
（2）如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长；
（3）如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度．
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