3.4 圆心角 教案（表格式）2023-2024学年浙教版九年级数学上册

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 3.4圆心角（1）第一课时
教科书 书 名：义务教育教科书九年级数学上册 出版社：浙江教育出版社
教学目标
1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程。 2.理解圆心角定理，并掌握圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3.体验利用旋转来研究圆的性纸的方法。
教学内容
教学重点： 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 教学难点： 1.利用圆的旋转不变性来证明圆心角定理。
教学过程
一、问题引入，动态感悟 问题1：圆这一图形非常美观，你觉得它的美主要体现在哪里？ 问题2：圆的对称轴是什么呢？ 问题3：基于圆的对称性，我们主要学习了哪些知识？（垂径定理：知一推二） 问题4：圆除了是轴对称图形，是否是中心对称图形呢？ 问题5：一个圆绕圆心旋转任意角度能够与本身重合吗？（插入旋转图片） 圆的旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意角度后，仍与原来的圆重合. 通过设置一系列的问题串，让学生回顾圆的对称性，从垂径定理知一推二的模式为圆心角定理的学习作铺垫。立足从图形变化的角度出发展开本节课的探索。从对称性过渡到中心对称性，通过观察动态图感受圆的旋转不变性。 二、立足本质，引出概念 问题6：由于圆上所有的点到圆心的距离相等，所以才有了圆的旋转不变性，如果我把圆上任意两点与圆心相连接，你还能看到了什么数学图形？ 问题7：这个角有什么特点吗？你能给这个角取一个名字吗？ 圆心角的概念：顶点在圆心的角叫作圆心角。 就是圆心角∠AOB所对的弧，弦AB就是∠AOB所对的弦。 辩一辩：下列哪些角是圆形角？ 通过圆旋转不变性的本质构造图形，得出圆心角这一概念，再次用辩一辩加强学生对概念的理解，对概念进行进一步的精致。 三、合作学习，探究定理 问题8：如果在圆O中，有两个圆心角，∠AOB和∠COD，如果∠AOB=∠COD，你能发现哪些结论？（动态图观察发现结论） 联结AB和CD，你还能发现什么结论？ 学生发现结论：圆心角相等，其所对的弧和弦都相等。 问题9：这是我们从图形几何直观的角度发现的结论，也是观察的结果，对于这样的结论我们还需要进一步的证明，从刚才的学习中你会联系哪些知识进行证明呢？（圆的旋转不变性） 已知：在⊙O中，∠AOB＝∠COD，求证：，AB＝CD． 证明：设∠AOC=，∵ ∠AOB= ∠COD ∴ ∠BOD= ∠BOC+ ∠COD= ∠BOC+ ∠AOB= 将扇形AOB按顺时针方向旋转角后，点A与点C重合，点B也与点D重合. 根据圆的旋转的性质，与重合，弦AB也与弦CD重合，所以，AB＝CD. 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 几何语言：∵∠AOB＝∠COD， ∴，AB＝CD． 四、深入探究，巩固概念 追问：定理中“在同圆或等圆中”这一条件能去除吗？试着画图说明. 弧的大小明显不同，对于弧我们还需要有进一步的认识. 问题10：度数相等的弧是等弧吗？ 问题11：长度相等的弧是等弧吗？ 弧度数的表示方法 五、例题演练，巩固提升 例1、用直尺和圆规把⊙O四等分． 分析：因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以要把圆四等分，只要把以圆心O为顶点的圆周角四等分，这只要作两条互相垂直的直径即可. 作法：1、作⊙O的直径AB。 　 2、过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D，点A，B，C，D就把⊙O四等分.　 例2 求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. 已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距.求证：OE=OF. 证明 ∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）. ∵OE⊥AB，,同理由OF⊥CD，得, ∴AE=DF. 又∵OA=OD，∴Rt△AOE≌Rt△DOF ∴OE=OF. 六、回顾小结，内化提升
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 3.4圆心角（2）第二课时
教科书 书 名：义务教育教科书九年级数学上册 出版社：浙江教育出版社
教学目标
1.经历探索圆心角定理逆定理的过程。 2.掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等”这个圆的性质。 3.会利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的相互关系解决简单的几何问题。 4.感悟定理研究的一般思路和方法。
教学内容
教学重点： 1.圆心角、弧、弦、弦心距之间的相互关系的性质。 教学难点： 1.例4的证明思路较难形成，需添加辅助线，也是定理在几何中应用的体现。
教学过程
一、知识回顾，类比探究 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦和这两条弦上的弦心距也相等. ∠AOB=∠COD 问题1：垂径定理的学习路径是怎样的呢？ 从定理到逆定理 问题2：圆心角定理有逆定理吗？ 问题3：圆心角定理的条件和结论是什么？ 问题4：你能说出圆心角定理的逆命题吗？ 二、分类探索，得出定理 AB=CD OE=OF 你能给出证明吗？ （1）已知，如图在☉O中， OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距,且 . 求证：∠AOB=∠COD,AB=CD,OE=OF. 证明：∵ ，∴∠AOB=∠COD, ∴AB=CD,OE=OF. 追问：证明中后部分的依据是什么？（圆心角定理） （2）已知，如图在☉O中， OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距,且AB=CD. 求证：∠AOB=∠COD, ,OE=OF. 证明：∵AB=CD,OA=OC,OB=OD ∴ △AOB ≌ △COD, ∴∠AOB=∠COD, ∴ ,OE=OF. （3）已知，如图在☉O中， OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距,且OE=OF. 求证：∠AOB=∠COD,AB=CD, . 证明：∵ OE⊥AB,OF⊥CD, ∵OA=OB,OC=OD, ∴∠AOB=2∠AOE ,∠COD =2∠COF, ∵OE=OF,OA=OC, ∴ Rt△AOE≌Rt△COF, ∴∠AOE=∠COF, ∴∠AOB=∠COD, ∴ ,OE=OF. 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等. 三、尝试应用，巩固定理 练习：如图，等边三角形ABC内接于☉O， 你能得到哪些结论？ 联结OA、OB、OC， 你还能得到哪些结论？ 四、例题演练，提升能力 例3：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交 于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由. 解：四边形BDCO是菱形，理由如下： ∵AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120° ∴∠BOD=180°-∠AOB=60° 又∵OB=OD，∴△BOD是等边三角形 同理，∴△COD是等边三角形 ∴OB=OC=BD=CD ∴四边形BDCO是菱形 例4 已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．求证： 分析：连结OD,OE， 只要证明∠AOD=∠DOE=∠BOE. 证明: 连结OD,OE 在等边三角形ABC中，∠A=60° ∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形 ∴∠AOD=60° ，同理∠BOE=60° ∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60° ∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE ∴ 五、拓展发散，内化应用 提升 已知：如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，底边AB为⊙O的一条弦，点C在圆外，边AC、BC分别与⊙O 交于点D，E．求证： 证明: 连结CO、AO、BO 过点O作OM⊥AC于M， ON⊥BC于N， ∵OA=OB，AC=BC，OC=OC ∴△ AOC ≌ △ BOC(SSS) ∴∠ACO=∠BCO， ∴OM=ON 六、梳理小结，感悟提升
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。