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专题5-1 矩形
模块1：学习目标
1.理解矩形的概念。
2.掌握矩形的性质定理与判定定理。
3.运用矩形性质定理与判定定理计算或证明有关的角和线段。
模块2：知识梳理
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
2.矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形：
1）边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC。
2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO。
4）对称性：轴对称图形；中心对称图形。
5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则AO=BD（或AO=OB=OD）
3.矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°；
2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°；
3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分。
模块3：核心考点与典例
考点1、矩形性质的理解
例1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线相等 D．两组对边相等
【答案】C
【分析】本题考查矩形性质和平行四边形性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵矩形对角线互相平分，平行四边形对角线也互相平分，故A选项不选；
∵矩形两组对角相等，平行四边形两组对角也相等，故B选项不选；
∵矩形对角线相等相等，平行四边形对角线不一定相等，故C选项选；
∵矩形两组对边相等，平行四边形两组对边也相等，故D选项不选，故选：C．
变式1.（2024·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，，
∴不一定成立，一定成立，，不一定成立，
故选：B．
变式2.（2024·河南·一模）关于矩形，下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直
C．四个角都相等 D．是轴对称图形，也是中心对称图形
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．根据矩形的性质得出A、C、D正确，B不正确，即可得出结果．
【详解】解：A、矩形的对角线互相平分且相等，正确，不符合题意；
B、矩形的对角线互相垂直，错误，符合题意；C、矩形四个角都相等，正确，不符合题意；
D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，正确，不符合题意．故选：B．
考点2、利用矩形性质求角度
例1．（2023·贵州·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质计算即可，本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的基本作图和性质，等腰三角形性质，熟练掌握作图和矩形的性质是解题关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，由作图可知垂直平分线段，
∴，∴，∴，故选：B．
变式1.（2024·贵州黔西·一模）如图，在矩形中，，则的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，尺规作图．根据作图痕迹以及角平分线的定义求得，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，
由作图痕迹可知：是的平分线，∴，∴．
故选：D．
变式2.（2023·重庆铜梁·模拟预测）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出解答．
根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，
∵的角平分线交于点E，∴，
∵，∴
∵，∴∴故选：B．
考点3、利用矩形性质求长度（面积）
例1．22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，根据矩形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出②④正确，①③不正确，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点P分别作于点F，于点E，
∵以为底边，以为底边，
∴此时两三角形的高的和为，即可得出矩形面积；
同理可得出矩形面积；∴②正确；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，．
但P是矩形内的任意一点，所以该等式不一定成立．故①不一定正确；
③若，只能得出与高度之比，不一定等于；故此选项错误；
∵；若，则，∴④正确．故选：B．
变式1.（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（ ）
A．240 B．192 C．120 D．96
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键．
【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，
∵为直角，∴四边形是矩形，
∵，，∴，则，
∴四边形的面积为，故选：B．
变式2.（2024·陕西西安·二模）如图，四边形中，对角线，且，点E、F、G、H分别为边的中点，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．12 C．10 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，同理可得，，进而证明四边形是平行四边形，再证明，得到四边形是矩形，最后利用矩形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵点E、F是的中点，∴是的中位线，∴，
同理可得，，
∴，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴四边形是矩形，
∴四边形的面积为，故选：B．
考点4、利用矩形性质求坐标
例1．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，，
由折叠的性质，可知，，．
设，则．在中，由勾股定理，
得，解得．点的坐标为，故选B．
变式1.（23-24九年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数解析式求出的坐标，再分别求出，的坐标，探究规律后解决问题．
【详解】解：在矩形中，，即，∴，，代入中，
得，解得：，∴，，，，，，，
，，即，．故选B．
【点睛】本题考查规律型点的坐标，矩形的性质平移，正比例函数的性质．
变式2.（2023九年级上·浙江·专题练习）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过、两点分别作轴、轴的平行线，交点为第四个顶点，即可得到答案．
【详解】解：如图所示：过、两点分别作轴、轴的平行线，
，
则交点为，即为第四个顶点坐标，故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形，熟练掌握矩形的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
考点5、矩形的判定定理的理解
例1．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．三个角是直角的四边形是矩形
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；
D、三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；故选：A．
变式1. （2023·四川巴中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．等边三角形是中心对称图形
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．方差越大数据波动越大，方差越小数据波动越小
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定方法、方差的意义、平行公理及推论，直接利用矩形的判定方法、方差的意义、中心对称图形的概念、平行公理及推论分别分析得出答案．
【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不合题意；
B．等边三角形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不合题意；
D．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故此选项符合题意．故选：D．
考点6、矩形的判定
例1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，对角线交于点，请添加一个条件使得是矩形（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据矩形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若添加，无法得到是矩形，故本选项不符合题意；
B、若添加，无法得到是矩形，故本选项不符合题意；
C、若添加，无法得到是矩形，故本选项不符合题意；
D、若添加，根据平行四边形的对角线相等，可得到是矩形，故本选项符合题意；故选：D
变式1.（2024·河北邢台·一模）如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（ ）
A．甲是矩形 B．乙是矩形 C．甲、乙均是矩形 D．甲、乙都不是矩形
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
根据矩形的判定定理对甲、乙进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，甲中对角线相等且互相平分，∴甲中四边形是矩形，
如图乙，记的交点为，
由图可知，，的数量关系未知，
∴乙中四边形不一定是矩形，故选：A．
变式2. （23-24八年级·湖北襄阳·阶段练习）如图，请添加一个条件使平行四边形成为矩形，这个条件可以是 ．
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形、菱形等特殊四边形的有别与平行四边形的性质是解决问题的关键．矩形是特殊的平行四边形，矩形有平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角相等且都等于，可针对这些特点来添加条件．
【详解】解：若使平行四边形变为矩形，可添加的条件是：
；（对角线相等的平行四边形是矩形）
．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：或（答案不唯一）．
考点7、矩形的判定（证明）
例1．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)20
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．（1）根据平行四边形的性质得出，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证；（2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
又∵，∴，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴四边形是矩形．
（2）解：∵平分，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴矩形的面积是：．
变式1.（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理；
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据垂直，即可求证；
（2）根据勾股定理的逆定理，求得是直角三角形，等面积法求得，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，，
，，，四边形是平行四边形，
又，，平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
，，，是直角三角形，，
的面积，，
由（）得：，四边形是矩形，，，
，．
变式2.（2024·广东深圳·二模）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵为的中点，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，∴，，，，∴，
∵，∴，∴为的中位线，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，
在中，由勾股定理得：，即的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
考点8、矩形的翻折
例1．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，将，的长方形，沿过顶点A的直线为折痕折叠，使顶点B落在边上的点Q处．(1)求的长；(2)求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及折叠变换的性质等知识点，熟练掌握勾股定理的运用以及折叠变换的性质是解决此题的关键．（1）由折叠的性质可知，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出线段的长度；（2）由（1）可知，所以，设，则，所以，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据翻性质得的长度即可；
【详解】（1）由折叠的性质可知，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴线段的长度是；
（2）由（1）可知，∴，
设，则，∴，∴，解得：，
∴线段的长度是，∴线段的长度是．
变式1.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数．（2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理等知识，会利用勾股定理列方程求解是解题的关键．
（1）利用矩形内角是直角求出，再利用平行线和折叠的性质求出，最后利用三角形的外角的性质求解即可；（2）先利用矩形的性质，折叠的性质和勾股定理求出，继而求出，设，则，从而利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形为矩形，
∴，，∴，
∵，∴，
∵矩形沿对角线折叠，∴，
∴；
（2）∵四边形为矩形，∴，，
∵将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处，∴，，
在中，，∴，
设，则，在中，，
∴，解得，∴．
变式2.（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，长方形中，， ，在边上取一点E，将折叠后点D恰好落在边上的点F处．
(1)求的长；(2)在（1）的条件下，边上是否存在一点P，使得值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1(2)
【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，理解矩形的性质成为解题的关键．（1）由平行四边形的性质可得,再根据折叠的性质，进而利用勾股定理求出，最后在，利用勾股定理即可解答；（2）如图，延长至使，连接交于P，此时，最小，最小值为，进而求得，最后利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵长方形中，， ，
∴，由折叠知，，
在中，根据勾股定理得， ，
∴，设，则，
在中，根据勾股定理得，，∴，解得：，∴．
（2）解：如图，延长至使，连接交于P，此时，最小，最小值为，∵，∴，
在中，根据勾股定理得，．
考点9、矩形的性质与判定综合
例1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点．(1)点的坐标为 ；点的坐标为 ；(2)如图2，过点作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，点是坐标轴上一点，直线上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)或或或
【分析】（1）证明，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（3）有5种情形，画出图形分别求解即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，，
∴，∴
∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点，
∴，，，，
∴，∴，设，则，
在中，，∴，
解得：，即，∴点E的坐标为，，
如图，过点D作于点L，交于点K，则，
∵，∴，解得：，
∴，，∴，∴点E的坐标为；
故答案为：；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵，∴，
∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点，
∴，，，∴，
∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；
（3）解：当点与点G重合时，点与点A重合时，四边形是平行四边形，
在中，，∴，∵，，∴，
∴，∴，解得：，
∴，
∴点D到x轴的距离为，点G到x轴的距离为，
∴，∴，∴；
当四边形是平行四边形时，此时点与G重合，且，则；
当四边形是平行四边形时，此时点与C重合，且，
即线段向右平移8个单位得到线段，则点是点0的对应点，点是点D的对应点，
∵，
∴，即；
当四边形是平行四边形时，此时点与A重合，，且，即线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则点O是点D的对应点，点是点的对应点，∵，∴，即；
当四边形是平行四边形时，且，
∵轴，，∴四边形是平行四边形，∴，
即线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则点O是点D的对应点是点的对应点，
∵，∴，即；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，翻折变换和平移等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
变式1. （2023春·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，．
(1)求的长；(2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，．①求点A到的距离；②求的值．
【答案】(1)(2)①点A到的距离为5；②
【分析】（1）根据折叠得出，，设，则，在中，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可；
（2）①过点A作于点G，过点F作于点H，根据求出即可；
②过点M作于点K，先根据勾股定理求出，证明，得出，，证明，得出，设，则，根据勾股定理列出求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴，
根据折叠可知，，设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，解得：，∴．
（2）解：①过点A作于点G，过点F作于点H，如图所示：
则，∵四边形为矩形，∴，
∴，∴四边形为矩形，∴，
根据折叠可知，，∵，
∴，∴点A到的距离为5；
②过点M作于点K，如图所示：
∵四边形为矩形，∴，，，
设，则，∵在中，根据勾股定理得：，
即，解得：，∴，
∵，，∴，
∴，，∴，
∵，又∵，
∴，∴平分，∵，，∴，
∵，∴，∴，∴，
设，则，∵在中，根据勾股定理可得：，
∴，解得：，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质，根据勾股定理列出方程，利用方程思想解决问题．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）矩形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．四角相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】此题考查了矩形的对角线的性质．根据矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．
【详解】解：对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故D选项符合题意，故选：D．
2．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）如图，在矩形中对角线、相交于点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点，∴，∴，
∴．故选D．
3．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件． 根据矩形的判定即可得到结论．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形；故选：C．
4．（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题重点考查了矩形的性质，勾股定理，关键是由已知和为的中点得出为的中垂线．
由已知和为的中点，可得为的中垂线，连接可得，分别在和中由勾股定理求出和，最后在中由勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，四边形是矩形，，
∵且为的中点，，，
在中，，
在中，．
在中．故选：C．
5．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，过作轴于，由矩形的性质得，再由点的坐标得，，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，过作轴于，四边形是矩形，，
点的坐标是，，，，，
故选：C
6．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的判定，熟记判定方法是解本题的关键．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断即可．
【详解】解：如图，
∵，∴四边形是平行四边形，
又，∴平行四边形是矩形，故A不符合题意；
∵，
据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形是矩形，故B不符合题意；
∵，∴，
但不一定与相等，无法判定四边形是矩形，故C符合题意；
∵，∴，
∴四边形是矩形，故D不符合题意；故选：C．
7．（2024·江苏淮安·模拟预测）我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，并且、两点的坐标分别为和，边的长为，若固定边，“推”矩形得到平行四边形，并使点落在轴正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形，矩形与平行四边形的性质，勾股定理；根据勾股定理，可得，根据平行四边形的性质，可得答案.
【详解】解：由勾股定理得：，即，
矩形的边在轴上，四边形是平行四边形，
与的纵坐标相等，，故选：A．
8．（北京市东城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，，则重叠部分（即）的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积公式，由矩形的性质得出，从而得出，结合折叠的性质得出，推出，设，则，由勾股定理求出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，，，，
由折叠的性质可得：，，，
设，则，由勾股定理得：，即，
解得：，，，故选：B．
9．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）矩形中，平分，，则下列结论错误的是（ ）
A．° B．是等腰三角形 C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义得，，进而得，则为等边三角形，从而得，由此可求出的度数，进而可对选项进行判断；由为等边三角形得，证为等腰直角三角形得，由此可对选项进行判断；先求出，进而得，则，由此可得的度数，进而可对，选项进行判断；由可对选项进行判断，综上所述可得出答案．此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：四边形为矩形，，，
平分，，
，，∴为等边三角形，
，，故选项A正确，不符合题意；
∵为等边三角形，，又，，
∴为等腰直角三角形，，，
∴是等腰三角形，故选项B正确，不符合题意；
，，，
，，，
，故选项C错误，符合题意；
，，故选项D正确，不符合题意．故选：C．
10．（2023·浙江衢州·模拟预测）已知，如图，在矩形中，是上的一点，且，于点若，，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证得三角形全等是解题的关键．连接，利用矩形的性质，则可证得，进一步可证得，得，，设，则，在中，利用勾股定理，可求得，可求得矩形的面积．
【详解】解：连接，如图，四边形是矩形，，，
，，
在和中，，∴，，
在和中，，∴．，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，，，
，．故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，在中，请添加一个条件： ，使得成为矩形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了矩形的判定的应用，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解题即可．
【详解】条件是，理由是：
∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是矩形，故答案为：．
12．（2023·吉林白山·一模）如图，的边与矩形的边相交于点H．若 度．
【答案】124
【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出解答．
根据矩形的性质得出，利用四边形的内角和得出解答即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
四边形是平行四边形，故答案为：124．
13．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，已知，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质．根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，则是等腰三角形；已知，即可求出，由，可求出．
【详解】∵四边形是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴，，∴是等腰三角形．
又∵，∴．在中，，，
∴，．解得．故答案为：．
14．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，点是矩形对角线上一点，过点做，分别交，于点，，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了矩形的性质，过点作分别交、于点、，证明，从而，即，求出的值即可求出整个阴影部分的面积，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键．
【详解】解：过点作分别交、于点、，如图所示：
由矩形性质可知，，，，
，即，
，即，，，
，即图中阴影面积为，故答案为：18．
15．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．
【答案】
【分析】当直线经过的中点时，直线把矩形的面积等分，求出的中点，代入直线的解析式求出即可．
【详解】解：．，，，中点的坐标为，
∵直线把矩形分成面积相等的两部分，∴直线经过的中点，
把代入得，，解得．答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握中点坐标的求法．
16．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿折叠，得到线段，折痕与相交于点M，若，，则 ．
【答案】/117度
【分析】本题考查矩形与折叠，三角形外角的性质，根据四边形是长方形，得出，由，得出，根据折叠的性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解．解题的关键是掌握折叠的性质．
【详解】解：四边形是长方形，，，
，，由折叠可得：，
，故答案为：．
17．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，矩形中，，，点在边上，，，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出、，然后根据列方程求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：四边形是矩形，
，，，，，
，，，，
，，解得：．故答案：．
18．（2024·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，点E、点F分别在上，，若P为矩形上一点，则当为直角三角形时，斜边长为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．分三种情况讨论，利用矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，，∴，，
∵，∴，，
∴和都是等腰直角三角形，，
显然点P与点E重合时，为直角三角形，此时斜边长为；
当点E为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，∴是等腰直角三角形，且，
∴，∴斜边长为；
当点F为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，过点P作于点，
∴是等腰直角三角形，∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合，
∴，∴斜边长为；
综上，斜边长为或或，故答案为：或或．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·八年级课时练习）如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∵，∴，∴四边形是平行四边形，
∵，，∴，∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵，∴．∵矩形中，，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
20．（2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，且满足．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：．
证明：四边形是矩形，__________，，．
，．
，__________．．
在和中：，
__________．．即．
【答案】(1)作图见详解(2)；；；
【分析】（1）利用尺规按照要求作图即可；（2）证明，可得结论．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）证明：四边形是矩形，
，，．，．
，．．
在和中：，
．．即．
【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，寻找全等三角形是解题的关键．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．
(1)与相等吗？证明你的结论．
(2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明．
【答案】(1)证明见解析(2)在的中点上时，四边形是矩形，见解析
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出，，根据等腰三角形的判定推出，即可；（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
【详解】（1）解：；
理由是：直线，，
平分，，，
，同理，．
（2）解：在的中点上时，四边形是矩形，
理由是：，，四边形是平行四边形，
，，平行四边形是矩形．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用．
22．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，且，求矩形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)20．
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等等：（1）先由平行四边形的性质得到，再由即可证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是矩形；（2）先证明，得到，再由勾股定理求出，则矩形的面积为．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，
，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；
（2）解：，，
平分，，，，
在中，，，，矩形的面积为．
23．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，是的中点，点在线段上（不与点重合），，连接并延长，交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．(2)若为的中点，求证：．
【答案】(1)直角三角形，见解析(2)见解析
【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确的画出图形证明全等．（1）由已知得：，据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论；（2）如图1，延长，交于点，先证，得，据直角三角形斜边中线的性质可得，由等边对等角和等量代换，及角的和差关系可得结论．
【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：
点是的中点，．，．
，．
，．
．是直角三角形．
（2）证明：如图，延长，交于点，是的中点，．
，，．．
．．．
，．．
，，．．
24．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．
(1)如图，当点和点重合时，求证：；(2)如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度；(3)如图，连接，，若，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）利用矩形的性质，得到，进而得到，根据折叠的性质，得到，从而得到，即可得证；
（2）利用矩形的性质，折叠的性质，易证，是直角三角形，在中利用勾股定理进行求解即可；（3）作于，交于，易得四边形是矩形，在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，由折叠得：，，；
（2）解：四边形是矩形，，，，
由折叠知：，，，，，
，，，设，则，
在中，由勾股定理得，，，，；
（3）如图，作于，交于，
，，，
四边形是矩形，，四边形是矩形，
，，，在中，，，
，，
．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，同时考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，是解题的关键．
25．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，．为矩形对角线的中点，过点的直线分别与、交于点、．
(1)求证：；(2)设，的面积为，求与的函数关系式；(3)若点在坐标轴上，平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)点坐标为或或
【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论；
（2）连接，首先证明四边形是平行四边形，结合题意可得，，进而可得，再结合平行四边形的性质可得，即可获得答案；
（3）分点在轴上、点在轴上和点原点重合三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，
∵是中点，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：如下图，连接，∵，，∴四边形是平行四边形，
∵，，∴，，∵，∴，
∴，∴，
∴与的函数关系式为；
（3）解：①如图，点在轴上，
设点标为，则，，，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，解得，∴，
∵点相左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到，
∴点相左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，可得；
②如下图，点在轴上，设点坐标为，则，，
∵，∴，解得，
∵相左平移8个单位长度，向下平移16个单位长度得到 ，
∴相左平移8个单位长度，向下平移16个单位长度，可得到；
③当点原点重合时，则点与点重合，此时点坐标为．
综上所述，点坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一次函数的应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
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专题5-1 矩形
模块1：学习目标
1.理解矩形的概念。
2.掌握矩形的性质定理与判定定理。
3.运用矩形性质定理与判定定理计算或证明有关的角和线段。
模块2：知识梳理
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
2.矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形：
1）边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC。
2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO。
4）对称性：轴对称图形；中心对称图形。
5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则AO=BD（或AO=OB=OD）
3.矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°；
2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°；
3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分。
模块3：核心考点与典例
考点1、矩形性质的理解
例1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线相等 D．两组对边相等
变式1.（2024·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024·河南·一模）关于矩形，下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直
C．四个角都相等 D．是轴对称图形，也是中心对称图形
考点2、利用矩形性质求角度
例1．（2023·贵州·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·贵州黔西·一模）如图，在矩形中，，则的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
变式2.（2023·重庆铜梁·模拟预测）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
考点3、利用矩形性质求长度（面积）
例1．22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1.（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（ ）
A．240 B．192 C．120 D．96
变式2.（2024·陕西西安·二模）如图，四边形中，对角线，且，点E、F、G、H分别为边的中点，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．12 C．10 D．6
考点4、利用矩形性质求坐标
例1．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为( )
A． B． C． D．
变式1.（23-24九年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023九年级上·浙江·专题练习）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点5、矩形的判定定理的理解
例1．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．三个角是直角的四边形是矩形
变式1. （2023·四川巴中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．等边三角形是中心对称图形
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．方差越大数据波动越大，方差越小数据波动越小
考点6、矩形的判定
例1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，对角线交于点，请添加一个条件使得是矩形（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·河北邢台·一模）如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（ ）
A．甲是矩形 B．乙是矩形 C．甲、乙均是矩形 D．甲、乙都不是矩形
变式2. （23-24八年级·湖北襄阳·阶段练习）如图，请添加一个条件使平行四边形成为矩形，这个条件可以是 ．
考点7、矩形的判定（证明）
例1．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，，求四边形的面积．
变式1.（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求的长．
变式2.（2024·广东深圳·二模）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．
考点8、矩形的翻折
例1．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，将，的长方形，沿过顶点A的直线为折痕折叠，使顶点B落在边上的点Q处．(1)求的长；(2)求的长．
变式1.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数．（2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长．
变式2.（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，长方形中，， ，在边上取一点E，将折叠后点D恰好落在边上的点F处．
(1)求的长；(2)在（1）的条件下，边上是否存在一点P，使得值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
考点9、矩形的性质与判定综合
例1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点．(1)点的坐标为 ；点的坐标为 ；(2)如图2，过点作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，点是坐标轴上一点，直线上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
变式1. （2023春·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，．
(1)求的长；(2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，．①求点A到的距离；②求的值．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）矩形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．四角相等 D．对角线互相垂直
2．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）如图，在矩形中对角线、相交于点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等
4．（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
5．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
6．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·江苏淮安·模拟预测）我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，并且、两点的坐标分别为和，边的长为，若固定边，“推”矩形得到平行四边形，并使点落在轴正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
8．（北京市东城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，，则重叠部分（即）的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．16
9．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）矩形中，平分，，则下列结论错误的是（ ）
A．° B．是等腰三角形 C． D．
10．（2023·浙江衢州·模拟预测）已知，如图，在矩形中，是上的一点，且，于点若，，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，在中，请添加一个条件： ，使得成为矩形．
12．（2023·吉林白山·一模）如图，的边与矩形的边相交于点H．若 度．
13．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，已知，，则的长为 ．
14．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，点是矩形对角线上一点，过点做，分别交，于点，，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．
16．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿折叠，得到线段，折痕与相交于点M，若，，则 ．
17．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，矩形中，，，点在边上，，，则 ．
18．（2024·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，点E、点F分别在上，，若P为矩形上一点，则当为直角三角形时，斜边长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·八年级课时练习）如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．
20．（2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，且满足．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：．
证明：四边形是矩形，__________，，．
，．
，__________．．
在和中：，
__________．．即．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．
(1)与相等吗？证明你的结论．
(2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明．
22．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，且，求矩形的面积．
23．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，是的中点，点在线段上（不与点重合），，连接并延长，交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．(2)若为的中点，求证：．
24．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．
(1)如图，当点和点重合时，求证：；(2)如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度；(3)如图，连接，，若，求的面积．
25．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，．为矩形对角线的中点，过点的直线分别与、交于点、．
(1)求证：；(2)设，的面积为，求与的函数关系式；(3)若点在坐标轴上，平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．
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