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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图1，正方形ABCD可以制作一副七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的“风车”造型(内部有一处空缺)，连结最外围的风车顶点 M，N，P，Q得到一个四边形MNPQ，则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为 （ ）
A．5：8 B．3 ： 5 C．8： 13 D．25：49
【答案】C
【解析】如图1，设AC=4a，则AB=BC=AC=a，
∴正方形ABCD的面积为AB2=8a2，
由图1可得ME=QF=PG=NH，QE=PF=NG=MH，∠QFP=∠PGN=∠NHM=∠MEQ=135°，
∴△QFP≌△PGN≌△NHM≌△MEQ（SAS）
∴QM=QP=PN=MN，∠PQF=∠GPN，
∴∠NPQ=∠GPN+∠FPQ+∠FPG=∠PQF+∠FPQ+∠FPG=45°+45°=90°，
∴四边形MNPQ为正方形，
由AC=4a，则图2中MH=3a，QH=2a
∴MQ2=MH2+QH2=（3a）2+（2a）2=13a2，
∴ 四边形MNPQ的面积= MQ2=13a2，
∴ 正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比=8a2：13a2=8∶13.
故答案为：C.
2．如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿直线折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段长的取值范围是；④当点H与点A重合时， 2，其中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确；
∵四边形是菱形，
∴，
若平分，
∴，
∴，
∵点C落在上的一点H处，
∴不一定等于30°
∴不一定平分，故②错误；
当点H与点A重合时，有最小值，
设，则，
在中，，
即，解得，
∴，
若落在上时，有最大值，
∴四边形是正方形，
∴，
∴最大值为4，
∴，故③正确；
如图，过点F作于M，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：C.
3．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵沿对折至，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴①正确；
∵，，
∴，
设，则，根据勾股定理，得到，，得到，
∴②正确；
∵，，∴即，
∴；
∴③正确；
∵，
∴，
∵FG：EF=6：4=3：2，
∴
∴④正确；
由折叠和三角形全等，
∴，
∴
∴⑤错误．
故答案为：C．
4． 如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A． B．12﹣3 C． D．3
【答案】D
【解析】延长交于点E，如图：
∵四边形为正方形，边长为15，
，，
，，，
，，
，
即为直角三角形，则，
同理：，
在和中，，
，
，，
，，
，
又，，
，，
，
在和中，
，
，，，
，
同理：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
5． 如图，在正方形中，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】如图，过点G作GH⊥BC，垂足为H，
四边形ABCD是正方形，
AB=CD=4，
由旋转的性质可得：
EF=GF，
BF=GH=1，
点G在与BC平行且与BC距离为1的直线上，
当点G在CD边上时，DG最小，且最小值为4-1=3，
故答案为：C.
6．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．148 B．144 C．74 D．70
【答案】C
【解析】如下图：过A作AM垂直直线b于M，过点D作DN垂直直线c于点N，则
因为b∥c，
所以
所以即
又因为四边形 ABCD是正方形 ，
所以
所以
在和中，
所以
所以，
又因为a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7 ，
所以
在中由勾股定理可得：
则正方形ABCD的面积
故答案为：C.
7．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，若正方形ABCD的面积为30，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】A
【解析】设AC与DG相交于点M，如图，
∵正方形ABCD的面积为30，
∴AB2=30，
设AE=x，∴BE=7-x，Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2，
∴x2+(7-x)2=30，
∴2x2-14x=-19，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP=∠GCM，
∵AE=CG， ∠AEP=∠CGM，
∴△AEP ≌ △CGM (ASA)，
∴S△AEP=S△CGM，EP=GM，
∴S△CFP﹣S△AEP =S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=×(MG+PF)×FG=EF×FG=S正方形EHGF，
∵ S正方形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=30-4×=30-14x+2x2=30-19=11，
∴S△CFP﹣S△AEP =5.5.
故答案为：A.
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【答案】B
【解析】如图，作CF⊥AD交AD延长线于点F，作CG⊥CD交AB延长线于点G.
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCD 是正方形.
∴BC=CF，AF=AB=4，∠F=∠BCF=90°.
∵AD＝3，
∴DF=AF-AD=1.
∵∠BCG+∠BCD=90°，∠DCF+∠BCD=90°，
∴∠BCG=∠DCF.
∵∠CBG=∠F=90°，BC=CF，
∴△BCG△DCF.
∴CG=CD，BG=DF=1.
∵∠ECG=ECB+∠BCG=ECB+∠DCF=∠BCF- ∠DCE＝90°-45° =45° ，
∴∠ECG= ∠DCE .
∵CE=CE，CF=CG，
∴△ECG△ECD.
∴EG=DE.
∵S正方形ABCD = S△AED + 2S△ECG，
∴AE·AD+2×GE·BC = AB2，即AE +4（5-AE）=16.
∴AE=1.6.
∴DE =GE=5-AE=3.4.
故答案为：B.
9．矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（ ）个.
①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；③；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′=B′P．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】连接AB'，
①由AB∥CD，可得∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°，∴∠CB'E＝∠DAB'
∴∠M＝∠DAB'，故可得①正确；
②根据折叠的性质可得AB'＝AB，AP＝AP，∠B'AP＝∠BAP，根据SAS可判定△B'AP≌△BAP，
∴PB＝PB'，故可得②正确；
③在Rt△ADB'可得，B'D===3，∴CB'＝CD-B'D=5-3＝2，
设AE＝x，则EB'＝EB=，
在Rt△CEB'中，CE2+CB'2＝EB'2，即（4-）2+22＝x2-25，
解得：x=(舍负)，即AE=．
故可得③正确；
④假如MB′＝CD，则可得MB'＝AB＝AB'，
∴∠M＝∠BAB'，由①得∠M＝∠DAB′，
故有∠BAB'＝∠DAB'=45°，
而本题不能判定∠BAB'＝∠DAB'=45°，即假设不成立．
故可得④错误．
⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，
∴∠B'PE＝∠BEP，又∵∠BEP＝∠B'EP，
∴EB'＝B'P，
故可得⑤正确．
综上可得①②③⑤正确，共四个．
故答案为：C.
10．如图，在菱形中，，，点P是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【解析】过点作，作点与点关于对称，连接、，
点与点关于对称，
，，，
四边形是菱形，，，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
，
即的最小值为.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形的边长为8，点为边上一点，且，点为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD，如图所示：
根据题意可得：∠ABC=90°，∠PGQ=90°，
∴∠PGF+∠FGQ=∠QGE+∠FGQ=90°，∴∠PGF=∠QGE，
∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE=90°，∴GF=GE，
在△GPF与△GQE中，，∴△GPF≌△GQE（AAS），
∴GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC，
∴点G在BD所在的直线上运动，
∵F为AB边上的一个动点，如图所示：
当点F与点B重合时，点G的位置如图所示，
当点F与点A重合时，记点G的位置为G''，
∴点G的运动轨迹为线段GG''，
过点C作CG'⊥BD于点G'，
∴CG的最小值=CG'=BD，
∵正方形的边长为8，
∴BD=，
∴的最小值是BD=，
故答案为：.
12．如图，在长方形中，，点E上线段上的一点，且满足，连接BE，将沿折叠得到，延长交的延长线于点G，则的面积是 ．
【答案】
【解析】过点G作HG⊥AH交AD的延长线于点H，如图，
∵ 四边形ABCD为长方形，
∴ AB=CD=10，BC=AD=8，∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，
∵ AE=3ED，AE+ED=AD=8，
∴ AE=6，DE=2，
由折叠的性质得，BF=AB=10，EF=AE=6，∠EFB=∠A=90°，
设HD=CG=a，FG=b，
在Rt△EHG中，HG +EH =EG ，即10 +(a+2) =(6+b) ，
在Rt△BFG中，FG +BF =BG ，即b +10 =(a+8) ，
解得，b=，
∴ S△BFG=×BF×FG=，
∴ S△BEG= S△BFG+S△EFB=+×6×10=.
故答案为：.
13．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连接．若，则另一条直角边的长为 ．
【答案】5
【解析】过点O作OF⊥BC与点F，过点A作AM⊥OF于点M
∵
∴∠AMO=∠OFB=90°
∠ACB=∠CFM=∠AMF=90°
∴四边形ACFM是矩形
∴AM=CF，AC=MF=3
∵四边形ABDE是正方形
∴∠AOB=90°，OA=OB
∴∠AOM+∠BOF=90°
∵∠AMO=90°
∴∠AOM+∠OAM=90°
∴∠BOF=∠OAM
∴△AOM≌△BOF（AAS）
∴AM=OF，OM=FB
∴OF=CF
∵∠CFO=90°
∴△CFO为等腰直角三角形
∴
∵
∴CF=OF=4
∴BF=OM=OF-FM=1
∴BC=CF+BF=5
故答案为：5
14．如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且，，连接OF，则（1） ；（2） .
【答案】45°；
【解析】在BE上截取线段BG，使得BG=CF，如图所示：
在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=6，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
在中，由勾股定理可得：，
则，
在中，由勾股定理可得：
∴，
在中，由勾股定理可得：，即
解得，
故答案为：45°，
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，则AE的最小值是 ，此时CD的长为 ．
【答案】6﹣2；2﹣2
【解析】过点E作EG⊥AC于点G，
∴∠C=∠EGD=90°，
∴∠CBD+∠BDC=90°，
又四边形BDEF是正方形，∴∠BDE=90°，DB=DE，
∴∠BDC+∠EDG=90°，
∴∠CBD=∠EDG，∴△BCD≌△DGE（AAS），
∴DG=BC，EG=DC，
Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8 ，
设EG=DC=x，
Rt△AEG中，
即
∴当x=，
∴
故答案为：，.
16．如图，长方形ABCD中，AB＝8，AD=6，长方形内有一个点P，连接AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP=CB，延长CP交AD于点E，则AE＝ ．
【答案】
【解析】延长AP交CD于点F，如图，
∵ ∠APB=90°，∴ ∠APE+∠BPC=90°，
∵ CP=CB，∴ ∠BPC=∠PBC，
∴ ∠APE+∠PBC=90°，
∵ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠ ABC=90°，
即∠ABP+∠PBC=90°，
∴ ∠APE=∠ABP，
∵ ∠APB=90°，∠DAB=90°，
∴ ∠ABP+∠PAB=90°，∠PAB+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠ABP，
∴ ∠APE=∠PAD，
∴ AE=EP，
在Rt△CDE中，DE2+CD2=EC2，
(6-AE)2+82=(6+AE)2，
∴ AE= .
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在轴的右侧作正方形AOBC
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，.
①探究发现，点在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式
②若点是线段OB的中点，另一动点在直线BE上，且，请求出点的坐标.
【答案】（1）解：把x=0代入y=-x+4，得y=4，∴点A的坐标为（0，4) ，
把y=0代入y=-x+4，得x=4，∴点B的坐标为（4，0) ；
（2）解：① 点E所在的直线的解析式为；
②连接AE， 由题意可知△ADE为等腰直角三角形， 则 ，
四边形OACB为正方形，
，
， 此时点H与点E重合，
点D是线段OB的中点，
，
点E的坐标为 ，
设直线AE的解析式为y=k x+b， 把A(0，4)， E(6，2) 代入，
， 解得 ，
直线AE的解析式为 ，
当 时， ，
点M的坐标为 ，
作点M关于直线AC 的对称点N， 可得 ，
此时 ， 所以点H为直线AN与BE的交点，
直线AN的解析式为 ，
联立 ，
解得 ，
点H的坐标为 ，
综上所述， 点H的坐标为 或 .
【解析】（2）①过点E作EF⊥x 轴， 垂足为点 F，设点E的坐标为 (x， y)， 则OF=x， EF=y，
，
，
，
，
，
，整理得
点E所在的直线的解析式为；
18．已知如图1：矩形，对角线，以为边作正方形（点A与点E重合），将正方形绕点B旋转
（1）如图2，当点E落在对角线上时，交于点M，求证：
（2）如图3，当边交对角线于点N且时，求的长
（3）如图4，点H为的中点，请直接写出的最大值
【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴为直角三角形，，
由旋转得：，，
四边形是正方形，，
，，
∴；
（2）解：连接，过B作于H，
∵，
∴，
，
，
∴，
∵N为中点，
∴，
∵，
∴，
∴在中：
，
∴（舍）或
∴，
又∵，
∴；
（3）8+2
【解析】（3）当B，H，D三点不共线时，DH当当B，H，D三点共线时，DH=BH+BD，
此时DH最大.
因为H是EG中点，
∴BH=EG=××4=2，
根据矩形性质得：BD=AC=8，
∴DH的最大值为：8+2.
19．在四边形中，，对角线平分，点为边上一点，连接交于点，．
（1）如图，求证：四边形是菱形；
（2）如图，点在上，，交于点，于点，若，求证：．
（3）如图，在的条件下，为的中点，点在上，点在上，连接，，，，若，求线段的长，
【答案】（1）证明：平分， ，
，，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
是菱形；
（2）证明：，，
是等边三角形，，
，≌，
，，
，
，，
，
；
（3）解：如图，
过点C作，
，
由知：≌，
，
，
，，
，
≌，
，
在上截取，连接，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
连接，
是的中点，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
．
20．如图，已知平面直角坐标系中，、，现将线段绕点顺时针旋转得到点，连接
（1）求出直线的解析式；
（2）若动点从点出发，沿线段以每分钟个单位的速度运动，过作交轴于，连接设运动时间为分钟，当四边形为平行四边形时，求的值．
（3）为直线上一点，在坐标平面内是否存在一点使得以、 、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：如图中，作轴于．
、，
，，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
．
（2）解：如图中，
四边形是平行四边形，
，
直线的解析式为：，
，
，
，，
，
，
，
时，四边形是平行四边形．
（3）解：如图中，
如图中，当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形，
连接交于，
，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，设，
，
，
可得，，
当为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，
易知线段的垂直平分线的解析式为，
由，解得，
综上所述，满足条件的点坐标为或或或
21．正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线分别交边，于，，交的延长线于点，作交于点．
（1）求证：≌；
（2）连接，．
求证：四边形是矩形；
如果点是的中点，和的面积分别是，，求的值．
【答案】（1）证明：在正方形中，，，
过点作的垂线，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
≌；
（2）解：证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点，连，
，，，
是等腰直角三角形
，，，
，，
，
≌，
，，
，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
解：
的高为，的底为，
，
，
设，
，，
，，，
，，
，
．
22．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O．
（1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长；
（3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）解：， 且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且
（2）解：连接并延长交于G，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为4，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴
（3）解：
【解析】（3）如图3，过点B作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．
（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
①求证：△AGE≌△AFE；
②若BE=2，DF=3，求AH的长．
（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．
【答案】（1）解：①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠BAG+∠BAE=45°．
∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中 ，
∴△GAE≌△FAE．
②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，
∴AB=AH，GE=EF=5．
设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．
解得：x=6．
∴AB=6．
∴AH=6．
（2）解：如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．
∴∠NDM′=90°．
∴NM′2=ND2+DM′2．
∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠FAM′=45°．
在△AMN和△ANM′中， ，
∴△AMN≌△ANM′．
∴MN=NM′．
又∵BM=DM′，
∴MN2=ND2+BM2．
24．问题解决：如图1，在矩形 中，点 分别在 边上， 于点 .
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 的形状，并说明理由.
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 分别在 边上， 与 相交于点 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：如图1，∵四边形 是矩形，
.
.
.
.
又 .
∴矩形 是正方形
（2）解： 是等腰三角形.理由如下：
，
.
又 ，即 是等腰三角形.
类比迁移：
如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 .
∵四边形 是菱形，
.
.
.
又 .
是等边三角形，
，
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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图1，正方形ABCD可以制作一副七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的“风车”造型(内部有一处空缺)，连结最外围的风车顶点 M，N，P，Q得到一个四边形MNPQ，则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为 （ ）
A．5：8 B．3 ： 5 C．8： 13 D．25：49
2．如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿直线折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段长的取值范围是；④当点H与点A重合时， 2，其中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4． 如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A． B．12﹣3 C． D．3
5． 如图，在正方形中，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．148 B．144 C．74 D．70
7．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，若正方形ABCD的面积为30，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
9．矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（ ）个.
①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；③；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′=B′P．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在菱形中，，，点P是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形的边长为8，点为边上一点，且，点为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的最小值是 ．
12．如图，在长方形中，，点E上线段上的一点，且满足，连接BE，将沿折叠得到，延长交的延长线于点G，则的面积是 ．
13．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连接．若，则另一条直角边的长为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且，，连接OF，则（1） ；（2） .
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，则AE的最小值是 ，此时CD的长为 ．
16．如图，长方形ABCD中，AB＝8，AD=6，长方形内有一个点P，连接AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP=CB，延长CP交AD于点E，则AE＝ ．
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在轴的右侧作正方形AOBC
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，.
①探究发现，点在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式
②若点是线段OB的中点，另一动点在直线BE上，且，请求出点的坐标.
18．已知如图1：矩形，对角线，以为边作正方形（点A与点E重合），将正方形绕点B旋转
（1）如图2，当点E落在对角线上时，交于点M，求证：
（2）如图3，当边交对角线于点N且时，求的长
（3）如图4，点H为的中点，请直接写出的最大值
19．在四边形中，，对角线平分，点为边上一点，连接交于点，．
（1）如图，求证：四边形是菱形；
（2）如图，点在上，，交于点，于点，若，求证：．
（3）如图，在的条件下，为的中点，点在上，点在上，连接，，，，若，求线段的长，
20．如图，已知平面直角坐标系中，、，现将线段绕点顺时针旋转得到点，连接
（1）求出直线的解析式；
（2）若动点从点出发，沿线段以每分钟个单位的速度运动，过作交轴于，连接设运动时间为分钟，当四边形为平行四边形时，求的值．
（3）为直线上一点，在坐标平面内是否存在一点使得以、 、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时的坐标；若不存在请说明理由．
21．正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线分别交边，于，，交的延长线于点，作交于点．
（1）求证：≌；
（2）连接，．
求证：四边形是矩形；
如果点是的中点，和的面积分别是，，求的值．
22．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O．
（1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长；
（3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长．
23．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．
（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
①求证：△AGE≌△AFE；
②若BE=2，DF=3，求AH的长．
（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．
24．问题解决：如图1，在矩形 中，点 分别在 边上， 于点 .
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 的形状，并说明理由.
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 分别在 边上， 与 相交于点 ， ，求 的长.
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