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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点P处、分别是折痕，若点P沿从点B向点D移动，则阴影部分的周长（ ）
A．先变大，后变小 B．先变小，后变大
C．当占P在中点处时，阴影部分周长最大 D．保持不变
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结．若要求正方形的面积，则只需要知道
A． 的面积 B． 的面积
C． 的周长 D． 的周长
3．如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG，其中正确的结论只有（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，在正方形ABCD外取一点，连接AE、BE、DE.过点作AE的垂线交DE于点.若.下列结论：①；②点到直线AE的距离是；③；④.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
7．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
8． 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52 B．60 C．68 D．76
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
10．如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE， S△BEC＝12，则线段CE的长为 ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，菱形ABCD的边长为2.5cm，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，BD上的动点，且CE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
13． 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则 ．
14．如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为 ．
16．如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为x s，求：
（1）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（2）当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；
（3）当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．
18．如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
（1）求证：；
（2）连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的度数．
19．如图①，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且∠EAF= 60°．
（1）写出BE，CF，AB之间的数量关系；
（2）如图②，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出BE，DF，AB三者之间的关系，证明你的结论；
（3）如图③，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC，CD的延长线相交，但不垂直时，请直接写出BE ，DF ，AB三者之间的关系．
20．如图①在正方形中，点是对角线上一点.点在的延长线上，且交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当，连接.试探究线段与线段的数量关系，并说明理由.
21．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且.
（1）求证：；
（2）在图1中，若在上，且，则成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
①如图2，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，则的长为 （直接写出结果，不需要写出计算过程）.
②如图3，在中，，，，，则的面积为 （直接写出结果，不需要写出计算过程）
22．定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
（1）如图，是中垂三角形，，分别是，边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形．
（2）如图，在中垂三角形中，，分别是边，上的中线，且于点，求证：．
（3）如图，四边形是菱形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接，并延长，交于点求证：是中垂三角形；
23．在边长为的正方形中，点分别在上，，连接，过点作，垂足为．
（1）如图1，延长，交的延长线于，请完成画图并证明：；
（2）如图2，点分别在的延长线上，连接．求的长；
（3）如图3，连接，则的最小值为 （直接写出结果）．
24．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上.
（1）如图1，，求证：；
（2）如图2，，P为EF中点，求证：；
（3）如图3，EH交FG于O，，若，，则线段EH的长为 .
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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 2
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点P处、分别是折痕，若点P沿从点B向点D移动，则阴影部分的周长（ ）
A．先变大，后变小
B．先变小，后变大
C．当占P在中点处时，阴影部分周长最大
D．保持不变
【答案】D
【解析】根据题意知，，且均为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴
又
∴四边形是矩形，
∴
∴
∴阴影部分的周长
∵是定值，
∴阴影部分的周长不变，
故选：D
2．如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结．若要求正方形的面积，则只需要知道
A． 的面积 B． 的面积
C． 的周长 D． 的周长
【答案】C
【解析】在CD上取一点H，使，连接EH，FH，
∵四边形为正方形，∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，， ∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
即要求正方形的面积，则只需要知道的周长，
故答案为：C.
3．如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作于，于，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在和中，，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
4．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形ABGF是正方形，
∴∠F=∠FAB=90°，AF=AB，
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠ACE=90°，
∴∠FAM+∠FMA=∠FAM+∠ANC=90°，
∴∠ANC=∠FMA，
∴△FAM≌△ABN（AAS），
∴S△FAM=S△ABN，
∴S四边形FNCM+S△ACN=S△ABC+S△ACN
∴S四边形FNCM=S△ABC，
∴空白部分面积=正方形ABGF的面积-S四边形FNCM-S△ABC=正方形ABGF的面积-2S△ABC=10.5，
∴AB2-2AC·BC=10.5①，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC+BC=6，
∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC·BC=36，
∴AB2+2AC·BC=36②，
联立①②得3AB2=57，解得AB=.
故答案为：C.
5．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG，其中正确的结论只有（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠AC0=∠CB0=45，AB=BC，0A=0B=0C，BD⊥AC
∵BE平分∠ABO，
∴
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，在ABCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB，故①正确 ；
∵CF⊥BE，
∴，EF=BF
∵
∴∠ABE=∠BCG，
∵AB=BC，∠EAB=∠GBC=45°
在△ABE和△BCG中，，∴△ABE≌△BCG(ASA)，
∴AE=BG，BE=CG，
∵OA=OB，AE=BG，∴OE=OG，
∵∠AOB=90°∴△OEG是等腰直角三角形，
∴，
在△ECG和△BCG中，，∴△ECG≌△BCG(SAS)，
∴BG=EG，
∴，
故②正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF
∴BE=CG，
∴
故③正确，
其中正确的结论有①②③，
故答案为：A.
6．如图，在正方形ABCD外取一点，连接AE、BE、DE.过点作AE的垂线交DE于点.若.下列结论：①；②点到直线AE的距离是；③；④.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【解析】∵∠EAP=∠EAB+∠BAP=90°，∠BAD=∠DAP+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠DAP，
∵AB=AD，AE=AP，
∴（SAS），故①正确；
∵AE⊥AP，AE=AP=1，
∴∠APE=∠AEP=45°，PE=AP=，
∴∠AEP=∠APD=135°，
∴∠BEP=90°，∠FEB=45°，即EB⊥ED，故③正确；
∴BE==，
过点B作BF⊥AE交的延长线于点F，
∴∠FBE=∠FEB=45°，
∴BF=BE=，故②错误；
∵，
∴△APD的面积=△ABE的面积，
∴△APD的面积+△APB的面积=△ABE的面积+△ABP的面积=△AEP的面积+△PBE的面积=+××=+，
∴△ABD的面积=△APD的面积+△APB的面积+△PBD的面积=++××=2+，
∴，故④正确.
故答案为：C.
7．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
【答案】A
【解析】如图1：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，
∵OE=OF，OB=OD，
∴DF=EB，
∵点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2 ，
∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1．
∴∠F2DC=∠BDC=60°，∠E1DA=∠ADB=30°，
∴∠E1DB=60°，
同理∠F1BD=60°，
∴DE1∥BF1，
∴四边形 E1E2F1F2 是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，
∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，
∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则 DF2=DF=1，DE1=DE=3，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=，连接AE，AO，
∵∠ABO=60°，BO=2=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE=1，
∴∠E1=90°，
即四边形E1E2F1F2 是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2 是菱形，
∴在整个过程中，四边形 E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：A．
8． 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52 B．60 C．68 D．76
【答案】B
【解析】如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，∴，
∵，
∴，∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：B．
9．如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【解析】如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
10．如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∵将沿翻折，点C恰好与点O重合，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故①正确；
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴垂直平分，
∵，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，故④正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE， S△BEC＝12，则线段CE的长为 ．
【答案】
【解析】作EM⊥OA于M，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥OA，OD＝OB，
∴EM∥OB，
∴AM：MO＝AE：EB，
∵AE＝BE，
∴AM＝OM，
∴EM是△ABO的中位线，
∴EM＝OB，
∵DF＝OF，
∴OF＝OD，
∴EM＝OF，
∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，
∴△EMG≌△FOG（AAS），
∴MG＝OG＝1，
∴OM＝2OG＝2，
∴OA＝2OM＝3，
∴AC＝2OA＝8，
∵AE＝BE，
∴△BAC的面积＝6×△BEC的面积＝2×12＝24，
∴AC OB＝24，
∴OB＝6，
∴EM＝OB＝3，
∵CM＝OM+OC＝2+7＝6，
∴CE＝＝3．
故答案为：2．
12．如图，菱形ABCD的边长为2.5cm，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，BD上的动点，且CE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
【答案】
【解析】连接AC，过点C作，使得CT=AD=2.5，连接AT，如图，
四边形ABCD是菱形，
AB=CB=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∠ADB=∠ADC=30°，
△ABC是等边三角形，
∠ACB=60°，AC=AB=2.5cm，
，
∠ECT=30°，
∠ECT=∠ADF=30°，
CE=DF，CT=DA，
，
AF=ET，
AE+AF=AE+ETAT，
∠ACT=90°，AC=CT=2.5cm，
AE+AFcm，
AE+AF的最小值为
13． 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则 ．
【答案】30
【解析】在中，由勾股定理得：，
八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
故答案为：30．
14．如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ．
【答案】
【解析】为等腰Rt△，且∠AEF=90°，
AE=EF， ∠AEB+∠FEC=90°，
又四边形ABCD为矩形，
∠B=∠C=90°，AD=BC，∠BAE+∠BEA=90°，
∠BAE=∠CEF.
AB=EC，BE=FC.
3(AB+BE)=2(AD+DF)，
3(EC+BE)=2AD+2DF，
3AD=2AD+2DF，即AD=2DF，
设DF=a，BA=b，则AD=2a，BE=BC-AB=2a-b，CF=b-a，
2a-b=b-a，即
，
∴
则
故答案为： .
15．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为 ．
【答案】
【解析】过点M作于点N，设与交于点K，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∴，
∵，∴．
∵，∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
∴，
故答案为：．
16．如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】作于点，则，
四边形是菱形，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠得，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为x s，求：
（1）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（2）当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；
（3）当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
根据题意得：AP＝x cm，BQ＝2x cm
∴BP＝（6﹣x）cm，CQ＝（12﹣2x）cm，
当△PBQ为等腰三角形时，BP＝BQ，
∴6﹣x＝2x，
解得：x＝2，
即当x＝2时，△PBQ是等腰三角形；
（2）解：由题意得：（6﹣x） 2x＝5，
整理得：x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5，
答：当x为1或5时，△PBQ的面积为5cm2；
（3）解：根据题意，分两种情况：
①当DP＝DQ时，如图1所示：
在Rt△APD和Rt△CDQ中，由勾股定理得：DP2＝x2+122，DQ2＝62+（12﹣2x）2，
∴x2+122＝62+（12﹣2x）2，
解得：x＝8﹣2或x＝8+2（不合题意舍去），
∴x＝8﹣2；
②当QP＝DQ时，如图2所示：
在Rt△BPQ和Rt△CDQ中，PQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，DQ2＝62+（12﹣2x）2，
∴（6﹣x）2+（2x）2＝62+（12﹣2x）2，
解得：x＝6﹣18或x＝﹣6﹣18（不合题意舍去），
∴x＝6﹣18．
综上所述，当x为（8﹣2）或（6﹣18）时，△PDQ是等腰三角形．
18．如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
（1）求证：；
（2）连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，作，．
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，，≌，
；
（2）解：四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，，，
的面积
（3）解：如图，当点在线段上时，
四边形是正方形，
，
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上，的度数为或．
19．如图①，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且∠EAF= 60°．
（1）写出BE，CF，AB之间的数量关系；
（2）如图②，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出BE，DF，AB三者之间的关系，证明你的结论；
（3）如图③，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC，CD的延长线相交，但不垂直时，请直接写出BE ，DF ，AB三者之间的关系．
【答案】（1）解：如图①，连接AC．在菱形ABCD中，
∵∠BAD= 120° ，∴△ABC，△ACD都为等边三角形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=90° ，∠B=60°，∠AFC=90°，∠ACD= 60°，
∴∠BAE= 30°，∠CAF=30°，
BE=AB，CF=AC．
∵AB=AC，∴BE+CF=AB．
（2）BE+DF=AB；
证明：如图②，连接AC ，在菱形ABCD中，
∵∠BAD=120。∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∠ACE= ∠ADF= 60° ，AD=AC．
∵∠EAC+∠CAF= ∠EAF=60° ，∠DAF+∠CAF=∠CAD= 60°，
∴∠CAE=∠DAF．∴△AEC≌△AFD(ASA) ，∴EC=DF，∴BE+DF=BE+EC=BC=AB．
（3）BE-DF=AB；
【解析】（3）结论：理由如下：
连接AC，如下图：
在菱形ABCD中，∵，
∴△ABC，△ACD均为等边三角形，，
∴
∵且
∴
在和中 ∴
∴
∴
∴.
20．如图①在正方形中，点是对角线上一点.点在的延长线上，且交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当，连接.试探究线段与线段的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形
又
又
（2）解：由（1）已证
又
又
∵四边形是正方形
（3）解：
理由：∵四边形是菱形且
又
又
是等边三角形
又
21．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且.
（1）求证：；
（2）在图1中，若在上，且，则成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
①如图2，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，则的长为 （直接写出结果，不需要写出计算过程）.
②如图3，在中，，，，，则的面积为 （直接写出结果，不需要写出计算过程）
【答案】（1）证明：∵在正方形中∴，，
∴∴
∵在和中，，∴.∴.
（2）解：成立.理由如下：
∵，∴.
∵∴.
∴.∴.
∵在和中，，∴.∴.
∵，
∴
（3）10；15
【解析】（3）过点C作CH⊥AD交AD延长线于点H，延长DH至点I，使得HI=BE，连接CI，
∵∠A=∠B=∠AHC=90°，且AB=BC，
∴四边形ABCH是正方形，
同（2）可证，，，
∴，AE=AB-BE=8， ，，
设，则，
∴；
在中，由勾股定理可得，
即
解得x=10；
∴ 则的长为 10；
②将Rt△ADB和Rt△ADC延AB和AC翻折，对应点分别为M，N，延长MB交NC延长线于点P，连接AM，AN，
由翻折可知，，，，
BM=BD=2，CN=CD=3
∴，
∴四边形AMPN是正方形，
设，
则，，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得m=6或者m=-1（舍去）
∴CD=m=6
∴
∴图3中的得面积为；
22．定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
（1）如图，是中垂三角形，，分别是，边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形．
（2）如图，在中垂三角形中，，分别是边，上的中线，且于点，求证：．
（3）如图，四边形是菱形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接，并延长，交于点求证：是中垂三角形；
【答案】（1）证明：如图，，，
．
连接，
由题意可得，，，是的中位线，
，
，
，．
又，
≌，
，
，
是等腰三角形；
（2）如图，连接，
，分别是边，上的中线，
，，，
，，，
在中，，
在中，，
；
（3）如图，连接，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
则，且，
四边形是菱形，
，，且，
，，
，，
，是的中线，
是中垂三角形．
23．在边长为的正方形中，点分别在上，，连接，过点作，垂足为．
（1）如图1，延长，交的延长线于，请完成画图并证明：；
（2）如图2，点分别在的延长线上，连接．求的长；
（3）如图3，连接，则的最小值为 （直接写出结果）．
【答案】（1）证明：如图：
在正方形ABCD中：，
∴，
∵，
∴，
在四边形BFGE中：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：延长FG，交DA的延长线于H，
在正方形ABCD中：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
∴ A是的中点，
∴，
在中，．
∴AG的长为2；
（3）
【解析】（3）连接AG、AC，由（1）知：AH=CD，∠DGH=90°，
∴A是DH的中点，
∴，
在正方形ABCD中，AC=AD=，
∵CG≥AC-AG，
∴当A、G、C三点共线时，CG的值最小，最小值为-2；
故答案为：.
24．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上.
（1）如图1，，求证：；
（2）如图2，，P为EF中点，求证：；
（3）如图3，EH交FG于O，，若，，则线段EH的长为 .
【答案】（1）证明：如图1，过点G作于M，
则，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴四边形ABMG是矩形，∴，
∵，∴，
∴，
又，∴，
∴，∴，
则；
（2）解：如图2，过点E作，交BC于点Q，
∵P是EF的中点，∴PC是的中位线，
则，，
∵，∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
则，
∴，
则，
∴；
（3）
【解析】如图3所示，作交AD于M，作交CD于N，
则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，
∴，，，
∵，，∴，
延长DC到P，使，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，∴，
∴，即，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由可得，
解得，
则，
故答案为：.
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