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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年八下数学第6章反比例函数2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…An，连结A1P2，A2P3，…An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3……，以此类推，则点B20的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知点，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图像经过点D，则k的值是（ ）
A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，AB∥x 轴，AO⊥AD，且AO=AD，AE⊥CD于E，DE=4CE．反比例函数y= (x>0)，与边AB交于点F，连接OE，EF．若S△EOF= ，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
（第4题） （第5题） （第6题）
5．如图，点是反比例函数图象第二象限上的两点，射线交轴于点，且恰好为中点，过点作轴的平行线，交射线于点，若的面积为，则的值为（ ）
A．-6 B．-4 C．-8 D．-10
6．如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是反比例函数和（为常数）在第一象限内的图象，点M在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点M在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不变；③当点A是的中点时，则点B是的中点.其中错误结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图像经过点，则的值是（ ）
A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
9．如图，直线AC与反比例函数y=（x>0）的图象交于A，C两点（点A在点C的左边），与x轴交于点B，以点A为顶点向下作矩形ADMN，其对角线相交于点O，且AD平分∠OAB，AC=CB，连结CD，若△ACD的面积为6，则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．如图，矩形 的顶点坐标分别为 ，动点F在边 上（不与 重合），过点F的反比例函数 的图象与边 交于点E，直线 分别与y轴和x轴相交于点D和G.给出下列命题：①若 ，则 的面积为 ；②若 ，则点C关于直线 的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是 ；④若 ，则 .其中正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共16分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，点，在反比例函数的图象上，延长与轴负半轴交于点，连接，若点是的中点，的面积等于，则的值为 ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的一条边AB⊥x轴于点B，经过点A的反比例函数（k＞0，x＞0）的图象交BC于点D，连结OA，OC，若点D是BC中点，△OAC的面积为3，则k的值为 ．
14．如图，已知直线与坐标轴交于，两点，矩形的对称中心为，双曲线正好经过，两点，则直线的解析式为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，，轴，于点D，若点A的横坐标为5，，则k值为 ．
16．如图，点A（1，3）为双曲线 上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为 轴正半轴一上点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的面积为 ，则点N的坐标为 .
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求反比例函数的解析式
（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，。试问在轴上是否存在一点，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点的对称点为，且点在轴的正半轴上，若点是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形，当顶点恰好落在直线上时，求点M的坐标。
18．如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点D，C．
（1）填空： ， ， ；
（2）连接OA，OB，求的面积；
（3）将直线向下平移t（）个单位后，与双曲线有唯一交点，直接写出t的值．
19．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且，，．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
20．如图，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，，，CD平分∠OCB，CD交OA于点D，作DE⊥CD交AB于点E，反比例函数的图象经过点C与点E.
（1）求k的值及直线CD的解析式；
（2）求证：；
（3）求点E的坐标.
21．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
（1）求的值；
（2）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
（3）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
22．如图（一），平面直角坐标系中，已知A（2，0）、B（0，4），以AB为直角边作等腰直角△ABC，其中∠BAC＝90°，AC＝AB，点C在第一象限内．双曲线y经过点C．
（1）求双曲线的表达式；
（2）过点B的直线BE交x轴于点E，交线段AC于点D，若∠DBC＝∠OBA．求直线BE的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BE沿y轴正方向平移，恰好经过点C时，与双曲线k的另一个交占为F（m，n），如图（二）．
①连接FB、FD，则四边形ABFD的面积是 ▲ ；
②连接OF，求OF的长度．
23．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．
（1）求的值和直线的解析式；
（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；
（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．
24．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交于点．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的周长最小，求此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年八下数学第6章反比例函数2
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…An，连结A1P2，A2P3，…An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3……，以此类推，则点B20的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点 P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数图象上 ，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点B1的纵坐标是：，即B1（2，6），
同理可得，点B2的纵坐标为：，即，
点B3的纵坐标为：，
...
点Bn的横坐标为：，纵坐标为：，
.
故答案为：D.
2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点N作QN⊥x轴于点Q，如图所示；
由题意得设点N（m，n），M（5b，c），A（0，a），
∴C（5b，2c），AO=a，BO=5b，
∵，
∴PB=4b，PO=b，
∵，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∴，
∴bc+2ab=9，
将点M和点N代入整理得7c=2a，
∴，
∴，
故答案为：B
3．如图，已知点，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图像经过点D，则k的值是（ ）
A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
【答案】B
【解析】如图，作DF⊥x轴于点F，作DG⊥y轴于点G，作DH⊥AB交AB的延长线于点H，
∵DF⊥x轴，DG⊥y轴，OF⊥OG，
∴四边形DFOG是矩形，
∵AD平分∠OAB，DF⊥x轴，DH⊥AB，
∴DF=DH，AF=AH，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=∠OBH，
∴BD平分∠OBH，
又∵DG⊥y轴，DH⊥AB，
∴DG=DH，BG=BH，
∴DF=DG=DH，
∴四边形DFOG是正方形，
∵∠AOB=90°，
∴，
设DF=DG=OF=OG=x，
则AF=AH=x+3，
∴BH=BG=AH-AB=x+3-5=x-2，
∵OB=OG+BG，
∴4=x+x-2
解得x=3，
∴DF=DG=3，
∴点D（-3，3），
∴k=-3×3=-9，
故答案为：B．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，AB∥x 轴，AO⊥AD，且AO=AD，AE⊥CD于E，DE=4CE．反比例函数y= (x>0)，与边AB交于点F，连接OE，EF．若S△EOF= ，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【解析】延长交轴于点，过点作轴于点，
轴，，
轴
．
由三角形外角性质得
在和中，
已知四边形是菱形，，
设，则
由勾股定理得：
，
．
反比例函数的图象经过点，
，
四边形为矩形．
点在反比例函数的图象上，
∴
∴
∴
∴
，
由梯形公式得：
即：
解得：
∴
故答案为：A．
5．如图，点是反比例函数图象第二象限上的两点，射线交轴于点，且恰好为中点，过点作轴的平行线，交射线于点，若的面积为，则的值为（ ）
A．-6 B．-4 C．-8 D．-10
【答案】C
【解析】如图，过点作于，则，
∵点是中点，，
∴，，，
设点，即，，
∴，
又∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
6．如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，
四边形ABCD是正方形，
， ，
易证 ≌ ≌ ，
， ，
， ，
点 ， 恰好都落在反比例函数 的图象上，
，
，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
可得 ， ，
，
，
，
， ，
， ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，
，
，
，
故答案为：B.
7．如图是反比例函数和（为常数）在第一象限内的图象，点M在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点M在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不变；③当点A是的中点时，则点B是的中点.其中错误结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵点A、B在同一反比例函数的图像上，
∴．
故①符合题意；
∵点M在反比例函数的图象上，
∴．
∵，
∴．
故②符合题意；
连接，可知．
∵点A是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴点B是的中点．
故③符合题意．
所以错误的个数是0．
故答案为：A．
8．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图像经过点，则的值是（ ）
A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
【答案】B
【解析】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，，
平分，平分，，
，，
四边形是正方形
，，
∴
故答案为：B
9．如图，直线AC与反比例函数y=（x>0）的图象交于A，C两点（点A在点C的左边），与x轴交于点B，以点A为顶点向下作矩形ADMN，其对角线相交于点O，且AD平分∠OAB，AC=CB，连结CD，若△ACD的面积为6，则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】A
【解析】如图，过点A作AN⊥x轴于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，连接CO，
∵矩形ADMN，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAB，
∴∠OAD=∠DAB，
∴∠ODA=∠DAB，
∴OD∥AB，
∵△ACD的面积为6，AC=CB，
∴S△AOC=S△OCB=6，CM是△ANB的中位线，
∴AN=2CM，NM=MB，
设点A（x，），则ON=x，AN=，
∴CM=，
∴C（2x，），
∴MB=x，OB=3x，
∴S△OCB=6=OB·CM=×3x·=，
∴k=8.
故答案为：A.
10．如图，矩形 的顶点坐标分别为 ，动点F在边 上（不与 重合），过点F的反比例函数 的图象与边 交于点E，直线 分别与y轴和x轴相交于点D和G.给出下列命题：①若 ，则 的面积为 ；②若 ，则点C关于直线 的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是 ；④若 ，则 .其中正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】命题①正确.理由如下：
，
， ， ，
， .
，故①正确；
命题②正确.理由如下：
，
， ， ，
， .
如答图，过点 作 轴于点 ，则 ， ；
在线段 上取一点 ，使得 ，连接 .
在 中，由勾股定理得： ，
.
在 中，由勾股定理得： .
，
又 ，
直线 为线段 的垂直平分线，即点 与点 关于直线 对称，故②正确；
命题③正确.理由如下：
由题意，点 与点 不重合，所以 ，
，故③正确；
命题④正确.理由如下：
设 ，则 ， .
设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ，
.
令 ，得 ，
；
令 ，得 ，
.
如答图，过点 作 轴于点 ，则 ， .
在 中， ， ，由勾股定理得： ；
在 中， ， ，由勾股定理得： .
，解得 ，
，故命题④正确.
综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，点，在反比例函数的图象上，延长与轴负半轴交于点，连接，若点是的中点，的面积等于，则的值为 ．
【答案】-6
【解析】如图，连接，作轴，轴，
点，在反比例函数的图象上，，
，，
点是的中点， 的面积等于，
，
设，，
，，，
，
，
，
故答案为：-6.
12．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．
【答案】
【解析】过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作CB⊥AD交AD的延长线与点C，如图所示：
∴∠ODC=∠C=90°，
∵点的坐标为，
∴OD=2，DA=m，
∵，
∴∠OAD=∠ABC，
∴△ABC≌△OAD，
∴CA=DO=2，BC=DA=m，
∴B（m+2，2-m），
∵点在反比例函数的图象上，
∴2m=（2-m）（2+m），
解得，
∴k=，
故答案为：
13．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的一条边AB⊥x轴于点B，经过点A的反比例函数（k＞0，x＞0）的图象交BC于点D，连结OA，OC，若点D是BC中点，△OAC的面积为3，则k的值为 ．
【答案】
【解析】过C作，，，
设点A（a，b），
OB=a，
AB=b，
为等边三角形且，
BH=，
CF=，
点D是BC中点 ，
DE=，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
14．如图，已知直线与坐标轴交于，两点，矩形的对称中心为，双曲线正好经过，两点，则直线的解析式为 ．
【答案】
【解析】 根据一次函数图象与坐标轴关系，知直线y= 23x+2与坐标轴交点A（3，0），B（0，2）
∵ABCD是矩形，BCAB，故BC的斜率k于AB的斜率，有如下关系：
∴
∴k=32且经过点B(0，2)
∴BC的解析式为
设C点坐标为（x，），M是AC则M点坐标（）
把点C和M坐标代入双曲线：
解得（x2不符合题意，舍去）
∴C点的坐标为（1，）
设AC的解析式为y=kx+b，代入A、C两点坐标解得
∴
故填：
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，，轴，于点D，若点A的横坐标为5，，则k值为 ．
【答案】
【解析】如图，延长BD交x轴于点E，过点B作BG⊥y轴于点G，过点A作AF⊥x轴于点F，
根据图象可得：四边形BGCD，COED，ADEF均为矩形，
∴BG=CD，AF=DE，CD=OE，
设B（m，n），则有BG=CD=OE=m，BE=n，
∵AC=AB=5，
∴AD=AC-CD=5-m，
∵BD=3CD=3m，
∴AF=DE=n-3m，
根据勾股定理可得：BD2+AD2=AB2，
∴，
解得：，
∴DE=n-3，AF=n-3，
∴B（1，n），A（5，n-3），
∵点A，B在反比例函数图象上，
∴n=5（n-3），
解得：，
∴k=，
故答案为：.
16．如图，点A（1，3）为双曲线 上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为 轴正半轴一上点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的面积为 ，则点N的坐标为 .
【答案】（ ， ）
【解析】将点A的坐标为（1，3）代入双曲线表达式 ，一次函数表达式y=mx， 解得k=3，m=3
所以双曲线表达式 ，一次函数表达式y=3x
两函数联立：
，解得 或
所以B（-1，-3）
设BN交y轴于D，如图，设N点坐标为( ， )
设BN为y=bx+c，将B(-1，-3)，N( ， )代入
解得
所以
当x=0时，
所以D（0， ）
设MN为y=px+q，将A(1，3)，N( ， )代入
解得
所以
当x=0时，
所以M（0， ）
所以MN=（ ）-( )=6
∵S△MNB=S△MND+S△MBD，
∴ ，解得 ，
又∵N( ， )
∴点N的坐标为（ ， ）.
故答案为：（ ， ）.
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求反比例函数的解析式
（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，。试问在轴上是否存在一点，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点的对称点为，且点在轴的正半轴上，若点是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形，当顶点恰好落在直线上时，求点M的坐标。
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为
将点，代入，解得
∴
将点代入， 得，
解得，
∴，
将点代入 得，
∴；
（2）解：把点代入得，∴
设点到的距离为，点到的距离为
因为△ACD的面积与△ACE的面积相等，所以，
∴
设直线DE的解析式为，把点代入得，，
∴，令得，
∴
当点在轴的负半轴时，，
∴或；
（3）解：过点M作QH∥x轴，过点F作FQ⊥QH于点Q，过点G作GH⊥QH于点H；
∴，由题意可知：
在正方形中，
∴，
∴
∴ ，
∵在双曲线上，
∴设点，则点代入
得 ，
解得，
∴点.
18．如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点D，C．
（1）填空： ， ， ；
（2）连接OA，OB，求的面积；
（3）将直线向下平移t（）个单位后，与双曲线有唯一交点，直接写出t的值．
【答案】（1）-2；10；8
（2）解：在中，
令，得，
∴直线与y轴交于点C（0，10）；
在中，
令，得，
∴直线与x轴交于点D（5，0）；
∴
=
∴的面积为15；
（3）2或18
【解析】（1）根据题意，把点(1，8)代入 ，得：，
解得：m=8，
∴，
把点 B（4，n） 代入得：，
∴B(4，2) ，
∴由题意可得：，解得：，
∴y=-2x+10，
故答案为：-2；10；8；
（3）根据题意，把y=-2x+10向下平移t个单位，则y=-2x+10-t，
∴-2x+10-t=，
整理得：，
∵y=-2x+10与有唯一交点，
∴，
解得：t=2或t=18.
19．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且，，．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明：点、是反比例函数图象上的两个点；
，
整理得，，
，，．
，
．
（2）解：、，
，，
，
，
由（1）知．
，代入中得，
，
，
，
．
（3）解：设直线的解析式为：，
则 ，解得 ，
∴直线的解析式为：，
，，
，
，
，解得，
．
，
，
，．
．
．
20．如图，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，，，CD平分∠OCB，CD交OA于点D，作DE⊥CD交AB于点E，反比例函数的图象经过点C与点E.
（1）求k的值及直线CD的解析式；
（2）求证：；
（3）求点E的坐标.
【答案】（1）解：如图1，过C点作CH垂直x轴，
∵，，
∴，
∴，，
∴点，
∴反比例函数的系数，
∵在平行四边形OABC，，
∴，
又∵CD平分∠OCB，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即点D，
∵点C，点D，
∴直线的解析式是
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵DE⊥CD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）解：过E点作EQ垂直x轴，设，
∵，
∴，，
∴点
点在反比例函数的图象上，
∴
∴或（舍去），则点的坐标是）
21．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
（1）求的值；
（2）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
（3）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
【答案】（1）解：如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，∵A（-1，0），∴ OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，∴ △EDM≌△EAO，∴AO=DM=1，
∵点D在第一象限，且在反比例函数上，∴D（1，k）．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），
∴k=2（-2+k），解得k=4．
（2）解：如图2，连接FM、FN．根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），∴设直线BC的解析式为y=kx-2，∴2=2k-2，解得k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-2，∴2x-2=0，解得x=1，∴点F（1，0），过点F作FH⊥MN于点H，∴H的横坐标为1，根据FM=FN，∴MH=HN即，设点G（0，t），则，∴，∴，解得t=，故点G坐标为（0，）．
（3）解：∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），∵四边形ABPQ是平行四边形，∴平行四边形的对边平行且相等，当A平移得到Q时，∵点A（-1，0），Q（0，n），∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+n），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+n）=4，解得n=6，此时点Q（0，6）；当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+|n|），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+|n|）=4，解得n=-6，n=6（舍去），此时点Q（0，-6）；当A平移得到P时，∵点A（-1，0）平移得到P（m，），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），∴m=-1，
故点P（-1，-4），即点A向下平移4个单位，
当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），
当点B向上平移4个单位，得到（0，2），
如图5所示，此时点Q（0，-6）或（0，2）综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．
22．如图（一），平面直角坐标系中，已知A（2，0）、B（0，4），以AB为直角边作等腰直角△ABC，其中∠BAC＝90°，AC＝AB，点C在第一象限内．双曲线y经过点C．
（1）求双曲线的表达式；
（2）过点B的直线BE交x轴于点E，交线段AC于点D，若∠DBC＝∠OBA．求直线BE的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BE沿y轴正方向平移，恰好经过点C时，与双曲线k的另一个交占为F（m，n），如图（二）．
①连接FB、FD，则四边形ABFD的面积是 ▲ ；
②连接OF，求OF的长度．
【答案】（1）解：过点C作轴，
∵，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（AAS），∴，，
∴，
∵双曲线经过点C，∴，
∴双曲线的表达式为：；
（2）解：∵，∴，
∴，∴，
∴，又，
设直线BE的解析式为：分别将，又，代入得
，
解得
∴直线BE的解析式为：；
（3）解：①10；
②如图，连接OF
设直线BE平移后的解析式为y=-x十b，
将点C (6， 2)代入得，
-6+b= 2，
b= 8，
∴y= -x+8，
当-x+8=时，
x1=2，x2=6，
∴当x=2时，y= 6，
∴F(2，6)，
∴OF=
【解析】（3）①∵BE//FC，
∴S△BDF = S△BDC，
∴四边形ABFD的面积=S ABE+S BDF=S ABE+S BDC=S ABC
∵S BAC=，
∴四边形ABFD的面积为：10；
故答案为：10；
23．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．
（1）求的值和直线的解析式；
（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；
（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点A（4，n）代入，得；
设直线OA为，把代入，得
4k=2，解得：，
∴直线OA的解析式为；
（2）解：如图1，将y轴顺时针旋转45°，交 的图象于点N，
则OM＝ON，
直线ON的解析式为y = x，
由，解得：或（舍去）
∴点N（）
∴OM＝ON＝；
（3）解：如图2，作A点关于直线OB的对称点A1，
则OA=OA1，AA1⊥OB，
作A1C⊥y轴于点C，作AD⊥x轴于点D，
易证，
∴OC=OD，A1C=AD，
∵A的坐标为（4，2），
∴的坐标为，
∴直线AA1的解析式为：，
∴直线OB的解析式为：，
由，解得或（负解舍去）
∴点．
24．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交于点．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的周长最小，求此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
【答案】（1）解：∵，，
∴．
又∵点是边的中点，
∴，∴
反比例函数解析式为，
∵为上一点，得．
∴，∴
设直线解析式为得
，解得，
∴直线解析式为
（2）解：关于轴对称点为，
设直线解析式为得
，解得，
∴直线解析式为
∴直线与轴交点为，
∴的周长最小时，
（3）解：由（1）知直线解析式为，令其与轴的交点为，
则易知的坐标为，
∵，则，
又，，
∴
∴
∴
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