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第四章 平行四边形 章节测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．8
3．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，的对角线相交于点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．点是的对称中心 C． D．
4．（八年级下·浙江绍兴·期末）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是锐角
C．每一个角都是直角 D．每一个角都是钝角
5．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，小峰从点O出发，前进后向右转，再前进后又向右转，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走的路程是（ ）
A．40米 B．48米 C．56米 D．64米
7．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期中）在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（ ）
A． B．
C．平分 D．
8．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，E是中点，于点F，，，则的面积是（ ）
A．6 B． C． D．9
9．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，分别是的中点，F是边上的一个动点，连结．若的面积为20，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
甲：只需要满足
乙：只需要满足
丙：只需要满足
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）若点与关于原点对称，则 ．
12．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数为 ．
13．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，则等于 ．
14．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中， ； ；； ．其中正确的是 ．
15．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，点D，点E分别是边，的中点，若，，．则 ．
16．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：；；；．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ．
17．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，点E、G分别是边上的点，，，作交于点F，交于点H，连接，若，则图中阴影面积为 ．
18．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点P是边上的一个动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，E，F是的对角线AC上两点，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
20．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知：如图，四边形中，，平分，交于点E，，交于点F．
(1)求的度数；
(2)写出图中与相等的角并说明理由．
21．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
22．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）．
(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？
(3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
23．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标．
(1)图中点B的坐标是 ；
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
(3)的面积是 ．
24．（22-23八年级下·浙江舟山·期中）如图所示．
(1)请你在图中画出，使其与关于点O成中心对称；
(2)请你在图中的边上找一个点作出，使其与关于点成中心对称，使与合成的图形为平行四边形．
25．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
26．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，点E，F分别在射线，上，，点M为的中点，点P在上，，，
(1)当点E在的延长线上，证明；
(2)当为直角三角形，求的长
(3)直接写出的最小值_____________．
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第四章 平行四边形 章节测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、该图是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、该图既是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、该图既是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、该图不是轴对称图形，不中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查多边形的内角和与外角和．设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和与边数的关系和任意多边形的外角和等于，列方程，进而解决此题．
【详解】解：设这个多边形的边数为n．
由题意得，．
∴．
∴这个多边形的边数为8．
故选：D．
3．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，的对角线相交于点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．点是的对称中心 C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质以及中心对称的定义逐一判定即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，故本选项不符合题意；
是中心对称图形，点是的对称中心，故本选项不符合题意；
∵四边形是平行四边形，∴，故本选项不符合题意；
∵四边形是平行四边形，但与不一定相等，故本选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及中心对称的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（八年级下·浙江绍兴·期末）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是锐角
C．每一个角都是直角 D．每一个角都是钝角
【答案】B
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，假设这个四边形中每一个角都是锐角，
故选：B．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．设顶点的坐标为，根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】解：设顶点的坐标为，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
解得：，
∴顶点的坐标为．
故选：C
6．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，小峰从点O出发，前进后向右转，再前进后又向右转，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走的路程是（ ）
A．40米 B．48米 C．56米 D．64米
【答案】D
【分析】
本题考查了正多边形外角和的问题，有理数乘法的应用，掌握多边形的外角和恒等于是解题关键．由题意可知，小峰所走路径为正多边形，且多边形的外角为，边长为，进而得到该多边形为正八边形，求出多边形的周长，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，小峰从点O出发到第一次回到出发点O，所走路径为正多边形，且多边形的外角为，边长为，
则这个多边形的边数为，
该正八边形的周长为（米），
即小峰一共走的路程是64米，
故选：D．
7．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期中）在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（ ）
A． B．
C．平分 D．
【答案】B
【分析】根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答．
【详解】解：如图：A.添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，因此A选项不合题意；
B.添加后，利用平行线的判定定理可得，四边形是两组对边平行，能判定为平行四边形，因此B选项符合题意；
C.添加平分后，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出，四边形一组对边平行，一组邻边相等，不能判定为平行四边形，因此C选项不合题意；
D.添加后，四边形一组对边平行、邻边相等，不可以判定为平行四边形，因此D选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
8．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，E是中点，于点F，，，则的面积是（ ）
A．6 B． C． D．9
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．求出，求出，根据勾股定理求出，求出三角形的面积，即可求出答案．
【详解】解：如图，延长和交于G，
∵E为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得： ，
∴的面积是，
∵，
∴，
故选：B．
9．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，分别是的中点，F是边上的一个动点，连结．若的面积为20，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
连接，根据三角形的面积公式求出的面积，根据三角形中位线定理得到，得到的面积的面积，得到答案．
【详解】解：连接，
∵点E是的中点，的面积的为20，
∴的面积的面积，
∵点D是的中点，
∴的面积的面积，
∵D，E分别是的中点，
，
∴的面积的面积，
故选：C．
10．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
甲：只需要满足
乙：只需要满足
丙：只需要满足
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；只要证明，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
甲：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故甲正确；
乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确；
丙：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故丙正确；
故选：B．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）若点与关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出，再代入求值即可．
【详解】解：∵点与关于原点对称，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二次根式的除法法则．灵活运用二次根式的除法法则是本题的关键．
12．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数为 ．
【答案】9
【分析】本题考查多边形的外角和都是360度，首先求得每个外角的度数，然后利用360度除以外角的度数即可求解．
【详解】解：外角的度数是：，
则多边形的边数为：．
故答案为：9．
13．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，则等于 ．
【答案】/88度
【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补求出，从而得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图
，，
，
∵，，
．
故答案为：．
14．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中， ； ；； ．其中正确的是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出得出对应线段之间关系进而得出答案，得出 是解题关键．
【详解】解：①∵是的中点，
∴，
∵在中， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴， 故①正确，符合题意；
②延长， 交延长线于，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
在和中．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，符合题意；
③∵，
∴，
∵，
，故 ③错误，不符合题意；
④设， 则，
∴，
∴，
∴∠
∵，
∴， 故④正确，符合题意，
故答案为：．
15．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，点D，点E分别是边，的中点，若，，．则 ．
【答案】4
【分析】根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：在中，，，，
则，
∵点D，点E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：；；；．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
即，
∴四边形是平行四边形；
③，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
∴四边形是平行四边形；
④，
，
在和中，
，
，
，
，
即，
又，
∴四边形是平行四边形；
②，不能判定，
不能判定四边形是平行四边形；
一定能判定四边形是平行四边形的是①③④，
故答案为：①③④．
17．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，点E、G分别是边上的点，，，作交于点F，交于点H，连接，若，则图中阴影面积为 ．
【答案】25
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．先证四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，由面积的和差关系可求解．
【详解】解：如图，设与的交点为O，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∴阴影面积，
故答案为：25．
18．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点P是边上的一个动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案．
【详解】解：连接，如图：
∵平行四边形的坐标分别为、、、，
∴，，
∵点A关于的对称点为，
∴，
在中，由三角形三边关系可知：，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角形三边的关系，以及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，E，F是的对角线AC上两点，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）首先得到，然后由平行四边形的性质得到，，然后证明出，即可证明四边形为平行四边形；
（2）过点C作交的延长线于点G，根据含角直角三角形的性质得到，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）如图所示，过点C作交的延长线于点G
∵，
∴
∵
∴的面积．
20．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知：如图，四边形中，，平分，交于点E，，交于点F．
(1)求的度数；
(2)写出图中与相等的角并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要查了四边形内角和定理，三角形内角和定理：
（1）根据四边形内角和定理可得，再由角平分线的定义，即可求解；
（2）根据三角形内角和定理可得，再由，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：．理由如下：
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，反证法．熟练掌握平行四边形的判定与性质，反证法是解题的关键．
如图，连接，假设和互相平分，则四边形是平行四边形，，由不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，进而结论得证．
【详解】证明：如图，连接，
假设和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵在中，点D、E分别在上，
∴不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，
∴和不可能互相平分．
22．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）．
(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？
(3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当或时
(2)当或时
(3)当的值为或或时，是等腰三角形
【分析】（1）由题意已知，，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，因为、点的速度已知，、的长度已知，要求时间，用时间路程速度，即可求出时间；
（2）要使以，，，为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点、分别沿、运动或点返回时，再利用梯形面积公式，即，因为、点的速度已知，、、的长度已知，用可分别表示、的长，即可求得时间；
（3）使是等腰三角形，可分三种情况，即、、；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
当从运动到时，
∵，
，
∴，
解得：；
当从运动到时，
∵，
，
∴，
解得：，
∴当或时，四边形是平行四边形；
（2）解：若点、分别沿、运动时，
，
即，
解得：；
若点返回时，，
则，
解得，
故当或时，以，，，为顶点的梯形面积等于；
（3）解：当时，
如图，作于，则，
∵，
由得，
解得：；
当时，，
∵，
∴，
解得：；
当时，
∵，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无实根，
当点从向运动时，观察图形可知，只有，
由题意：，
解得：，
综上所述，当的值为或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点分类讨论是解题的关键．
23．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标．
(1)图中点B的坐标是 ；
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
(3)的面积是 ．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）直接在坐标系中读出坐标即可；
（2）关于原点对称点特征：横坐标和纵坐标都互为相反数；关于y轴对称点特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变；依此作答即可；
（3）先根据勾股定理求出 ， ，，再根据勾股逆定理得出是直角三角形，且，即可求出的面积．
【详解】（1）根据图示知，点B的坐标为，
故答案为：；
（2）由（1）知，B，
∴点B关于原点对称的点C的坐标是；
∵点A的坐标，
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是；
故答案为：；；
（3）由勾股定理求得 ， ，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握轴对称，中心对称和勾股定理以及逆定理是解题的关键．
24．（22-23八年级下·浙江舟山·期中）如图所示．
(1)请你在图中画出，使其与关于点O成中心对称；
(2)请你在图中的边上找一个点作出，使其与关于点成中心对称，使与合成的图形为平行四边形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】（1）将三角形三个顶点分别中心对称后，直接连线即可；
（2）取格点，作平行四边形，可知是对角线中点，则即所求点；或取格点，作平行四边形，可知是对角线中点，则即所求点．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，取格点，使得四边形是平行四边形，连接
由图可知，四边形即为所求平行四边形，
则是对角线中点，对角线交点即为所求点．
或取格点，使得四边形是平行四边形，连接，
由图可知，四边形即为所求平行四边形，
则是对角线中点，对角线交点即为所求点．
【点睛】此题考查中心对称，解题关键是图形的中心对称可转化为点的中心对称．
25．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出，，，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，证得，即可证得结论；
（2）先由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，平分，
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，，
．
26．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，点E，F分别在射线，上，，点M为的中点，点P在上，，，
(1)当点E在的延长线上，证明；
(2)当为直角三角形，求的长
(3)直接写出的最小值_____________．
【答案】(1)见详解
(2)或者
(3)
【分析】（1）先证明四边形是正方形，即，再证明，问题得解；
（2）当为直角三角形，且时，先证明是的中位线，问题随之得解；当为直角三角形，且时，连接，，先证明是等腰直角三角形，即可得垂直平分，再证明、共线，则有垂直平分，进而可得 ，设，则，，在中，根据，可得，解方程即可求解；
（3）当点E在线段上时，设、交于点G，过E点作，交于点H，先证明，即可得点G与点M重合，同理可证：当点E在线段的延长线上时，可得点M在线段上，再根据垂线段最短即可求解．
【详解】（1）∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）当为直角三角形，且时，如图，
∵，
∴，
∵点M为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴；
当为直角三角形，且时，连接，，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵点M为的中点，
∴，，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴、共线，
∴垂直平分，
∴，
设，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
即此时，，
综上：为直角三角形，为或者；
（3）当点E在线段上时，
设、交于点G，过E点作，交于点H，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点G为中点，
∵点M为的中点，，
∴点G与点M重合，
∴点M在线段上，
同理可证：当点E在线段的延长线上时，点M在线段上，
根据垂线段最短可知：当时，有最小值，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴有最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，画出图形，分类讨论，灵活运用考点知识，是解答本题的关键．
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