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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.3正方形（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，M 是正方形ABCD 内的一点，且MC=MD =AD，则∠AMB的度数为 （ ）
A．120° B．135° C．145° D．150
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
3．如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC 是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为 （ ）
A．-2 B． C． D．
5．如图，F是正方形ABCD 对角线BD上一点，连结AF，CF，延长CF交AD 于点E.若∠AFC=140°，则∠DEC的度数为 （ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
6．如图，正方形的边长为4，E是的中点，点P是边上的一个动点，连结，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连结DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
8．如图，正方形ABCD的边长为 10，AG=CH=8，BG=DH=6，连结GH，则GH 的长为 （ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数为 °.
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O ，O 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连结AF，DE．若∠FAC=15°，则∠AED的度数为
14．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点 D 落在AB边的中点 E 处，点 C 落在点Q处，折痕为 FH，则线段 AF的长为 cm.
16．如图，正方形的边长为，点，分别在，上若，，则的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点已知两点是格点仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹，不写画法
（1）如图，以线段为边长作菱形；
（2）如图，以线段为边作一个面积为的正方形．
18．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．
19．如图，在正方形中，E是边上一点，于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若E是的中点，连接，求证：．
20．如图，四边形是正方形，以为边在正方形的外部作等边，连接，，与交于点，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：．
21．如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B＝90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE是正方形；
（2）若BF＝6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．
22．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作，交边BC于点F．
（1）求证：EA＝EF：
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．
23．如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点(不与点A，D重合) ，将正方形纸片沿EF折叠使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，连结BP．
（1）求证：∠APB=∠BPH．
（2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积
（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．
24．如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是： ．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求 的值．
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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.3正方形（2）解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，M 是正方形ABCD 内的一点，且MC=MD =AD，则∠AMB的度数为 （ ）
A．120° B．135° C．145° D．150
【答案】D
【解析】在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠BAD=90°，
∵ MC=MD =AD ，∴MC=MD =CD ，∴△MCD是等边三角形，
∴∠CDM=∠DMC=60°，
∴∠ADM=∠ADC-∠CDM=30°，
∵MD=AD ，∴∠DMA=∠DAM=（180°-30°）=75°，
同理可得：∠CMB=75°，
∴ ∠AMB=360°-∠CMB-∠DMA-∠DMC=150°.
故答案为：D.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
【答案】C
【解析】∵正方形ADEC的面积为AC2，正方形BCFG的面积为BC2.
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为AC2+BC2=AB2=152=225.
故答案为：C.
3．如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴，
∵为等边三角形 ，
∴∠EAO=60°，
∵，
∴
在中，
∴
故答案为：B.
4．如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC 是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为 （ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OB，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴∠BOC=45°，∠C=90°，
∴，
∵∠BOC=45°，∠COD=15°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=30°，
∵BD⊥x轴，
∴∠BDO=90°，
∴，即点B的纵坐标的绝对值为，
∵点B在第三象限，
∴点B的纵坐标为.
故答案为：B.
5．如图，F是正方形ABCD 对角线BD上一点，连结AF，CF，延长CF交AD 于点E.若∠AFC=140°，则∠DEC的度数为 （ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】D
【解析】在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABF=∠CBF=45°，AB=BC，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠CFB=∠AFB，
∵ ∠AFC=140° ，
∴∠CFB=∠AFB=70°，
∴∠DFC=180°-∠CFB=110°，
∴ ∠DEC= ∠DFC-∠EDF=110°-45°=65°.
故答案为：D.
6．如图，正方形的边长为4，E是的中点，点P是边上的一个动点，连结，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接DE与AC，所得的交点即为BP+EP的最小值的位置，如图所示：
此时BP+EP=DE，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴DC=BC=4，
∵点E是BC的中点，
∴EC=2，
在Rt△DEC中，，
∴的最小值为，
故答案为：D.
7．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连结DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
【答案】C
【解析】四边形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
.
故答案为：C.
8．如图，正方形ABCD的边长为 10，AG=CH=8，BG=DH=6，连结GH，则GH 的长为 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】延长BG交CH于点E，
∵AB=CD=10，BG=DH=6，AG=CH=8，
∴AG2+BG2=AB2，CH2+DH2=CD2，
∴△ABG和△CDH是直角三角形，且∠AGB=∠DHC=90°，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1=∠5，∠2=∠6，
∵∠1+∠2=∠2+∠3=∠4+∠5=∠5+∠6=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
∵AB=BC，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE-BG=2，
同理可得EH=2，
∴GH==.
故答案为：B.
9．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
的面积的面积，
四边形FNCM的面积=△ABC的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
，
，
，
，
，
，
由①×+②得，
（舍去负值）．
故答案为：A．
10．如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°=∠BCD=∠D=∠A，BC=CD=AB=AD=6，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE=，
∴AE=AB-BE=3，
延长AB至点G，使BG=DF，连接CG，EF，
在△CDF与△CBG中，
∵CD=CB，∠D=∠CBG=90°，DF=BG，
∴△CDF≌△CBG（SAS），
∴CF=CG，∠DCF=∠BCG，
∵∠ECF=45°，
∴∠DCF+∠BCE=90°-∠ECF=45°=∠BCE+∠BCG=∠ECG=45°，
∴∠ECG=∠ECF=45°，
在△ECF与△ECG中，
∵CF=CG，∠ECG=∠ECF，CE=CE，
∴△ECF≌△ECG（SAS），
∴EG=EF，
设AF=x，则DF=BG=6-x，EG=EF=3+6-x=9-x，
在Rt△AEF中，∵AF2+AE2=EF2，∴x2+32=(9-x)2，
解得x=4，
∴AF=4.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数为 °.
【答案】22.5
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠E=（180°-45°）=67.5，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°=22.5°.
故答案为：22.5°.
12．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O ，O 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
【答案】2
【解析】连接O1C，O1B，
由正方形的性质得：∠GO1F=∠CO1B=90°，O1C=O1B，∠GCO1=∠O1BF=45°，
∴∠GO1C=∠FO1B，
∴△GCO1≌△O1BF（ASA）
∴S△GCO1=S△O1BF
∴ O ，O 两个正方形阴影部分的面积=△CO1B的面积=正方形的面积=×2×2=1，
同理另外一个阴影部分的面积=正方形的面积=×2×2=1，
∴ 阴影部分的面积=1+1=2.
故答案为：2.
13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连结AF，DE．若∠FAC=15°，则∠AED的度数为
【答案】105
【解析】四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：105.
14．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
【答案】
【解析】∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ，
故答案为：3
15．如图，将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点 D 落在AB边的中点 E 处，点 C 落在点Q处，折痕为 FH，则线段 AF的长为 cm.
【答案】
【解析】∵将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD折叠
∴DF=EF，∠A=90°，AD=AB=6，
∵点E为AB的中点，
∴AE=AB=×6=3，
设AF=x，则EF=6-x，
∵AF2+AE2=EF2，
∴x2+9=（6-x）2
解之：，
∴AF=.
故答案为：.
16．如图，正方形的边长为，点，分别在，上若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，
∴∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
∵在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，
∵在Rt△ABE中，AB＝6，AE=2，
∴由勾股定理得：BE=，
∴CE＝BC-BE＝6-2＝4，
设：DF＝x，则BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6-x，
∵在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2，
∴42+（6-x）2＝（2+x）2，解得x＝3，
∴DF＝3，
∵在Rt△ADF中，
∴由勾股定理得：AF=，
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点已知两点是格点仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹，不写画法
（1）如图，以线段为边长作菱形；
（2）如图，以线段为边作一个面积为的正方形．
【答案】（1）解：如图所示，菱形ABCD即为所求；
（2）解：如图所示，正方形ABCD即为所求．
18．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥ BC，∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC= 180°．
∵∠CAD=∠DBC，∴∠BAD=∠ABC，∴2∠BAD=180°，∴∠BAD=90° ，∴四边形ABCD是正方形．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC= BD，CO=AC，DO=BD，∴∠COB= ∠ DOC= 90° ，CO=DO．
∵DH∠ CE ，垂足为H，∴∠DHE=90°，∠EDH+∠DEH= 90°．
∵∠ECO+∠DEH=90°，∴∠ECO=∠EDH．
在△ECO和△FDO中
∴△ECO≌△FDO( ASA) ，∴OE=OF．
19．如图，在正方形中，E是边上一点，于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若E是的中点，连接，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）证明：延长交延长线于点H，
∵E是的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，即B是的中点，
又∵，
∴．
20．如图，四边形是正方形，以为边在正方形的外部作等边，连接，，与交于点，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：四边形ABCD是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
；
（2）证明：如图，连接AE．
同（1）可得∠DAE=∠DEA=15°，
四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴∠DAC=45°，∠DEC=60°，
∴∠MAE=∠DAC-∠DAE=30°，∠AEM=∠DEC-∠DEA-∠CEB=30°，
∴∠MAE=∠AEM=30°，
∴AM=EM.
21．如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B＝90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE是正方形；
（2）若BF＝6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是直角三角形，
∴∠B＝90°
∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠E＝∠F＝90°，
∴四边形BEDF是矩形
过点D作DG⊥AC于点G，
∵DA平分∠EAC，
∴DG＝DE，同理可得：DG＝DF，
∴四边形BEDF是正方形
（2）解：AE＝2
【解析】（2）解：∵DG⊥AC，∴∠AGD=∠DGC=90°，
由（1）∠E=∠F=90°，DE=DG，DG=DF，
∴∠AGD=∠DGC=∠E=∠F=90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD（HL），
∴AE=AH，
同理可以证明Rt△DFC≌Rt△DGC（HL），
∴CG=CF，
∵BF=6，C为BF中点，
∴BC=CF=CG=3，
∵四边形BFDE是正方形，
∴BE=BF=6，
设AE=x，则AB=BE-AE=6-x，AC=AG+CG=x+3，
由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴（6-x）2+32=（x+3）2，
解之得：x=2，
∴AE的长为2．
故答案为：AE的长为2．
22．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作，交边BC于点F．
（1）求证：EA＝EF：
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．
【答案】（1）证明：过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N．
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，∠ADB=45°，
∵MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四边形NCDM为矩形，
∴，∠AME＝∠ENF＝90°，
∵，MN⊥AD，
∴MD=ME，
∴AM=EN，
∵AE⊥EF，
∴，
∵∠AEM+∠MAE=90°，
∴∠FEN=∠MAE，
∴(ASA)，
∴；
（2）解：，
证明：由（1）得，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设DE=x，则DM＝ME＝，
由（1）得：，
由（2）得，
∵FE=FC，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
23．如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点(不与点A，D重合) ，将正方形纸片沿EF折叠使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，连结BP．
（1）求证：∠APB=∠BPH．
（2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积
（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．
【答案】（1）证明：由折叠得PE=BE，
∴∠EBP= ∠EPB．
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴∠A= ∠ABC= ∠ EPG=90° ，
∴∠APB+ ∠EBP=90° ，∠BPH+∠EPB= 90°，
∴∠APB=∠BPH．
（2）解：如图①，作FM⊥AB于点M．
∵ ∠ABC=∠C=90°，
∴四边形MBCF是矩形，
∴MF=BC=AB，∠BEF+∠ABP= 90°，∠BEF+∠EFM=90°，
∴∠ABP=∠EFM．
在△ABP和△MFE中，
∴△ABP≌△MFE( ASA)，
∴ME=AP=AD=3．
在Rt△AEP中，设AE=x，则EP=BE=6-x，
∴ (6-x)2=x2+32 ，解得x=，即AE=，
∴CF=BM=AB-AE-EM=，
∴S四边形EFCP = S四边形EFCB =
（3）解：△PDH的周长不变，为定值12．证明如下：
如图②，作BQ⊥PG于点Q，连结BH．
由(1)可知∠APB=∠BPQ，
在△BPA和△BPQ中，
∴△BPA≌△BPQ(AAS) ，
∴AP=PQ ，AB=BQ． ．
∵AB=BC，
∴BC=BQ．
∵∠BQH= ∠ C= 90° ，BH=BH，
∴Rt△BHQ≌Rt△BHC( HL)，
∴CH=QH，
∴△PDH的周长 DP+PH+DH= ( DP+AP) +( CH+DH)= AD+CD= 12．
24．如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是： ．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求 的值．
【答案】（1）相等且垂直
（2）成立，
理由：∵四边形ACDE正方形，四边形BCMN正方形，
∴AC=CD MC=BC ∠ACD=∠BCM=90°，
∴ ∠ACD+∠DCM=∠BCM+∠DCM，
即∠ACM=∠BCD，
在△ACM与△DCB中，
∴△ACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD ，∠MAC=∠BDC，
同（1）可证AM⊥DB，
∴AM=BD且AM⊥DB.
（3）解：如图，
∵AM⊥DB，
∴∠DOM=∠AOB=∠AOD=∠BOM=90°，
由勾股定理得OD2+OM2=DM2，OD2+OA2=AD2，OB2+OM2=MB2，OA2+OB2=AB2，
∴AB2+DM2=OD2+OM2+OA2+OB2=AD2+BM2，
∵AD=AC＝4，BM=BC＝2 ，
∴AB2+DM2=（4）2+（2）2=40.
【解析】（1）相等且垂直.
延长AM交BD与H，
∵四边形ACDE正方形，四边形BCMN正方形，
∴AC=CD MC=BC ∠ACD=∠BCM=90°，
∴△ACM≌DCB（SAS），
∴AM=BD ，∠MAC=∠BDC，
∵∠DMH=∠AMC，
∴∠DHM=∠ACM=90°，
∴AM⊥DB，
故答案为：相等且垂直.
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