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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.2菱形（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
2．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶1
3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C． D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
5． 如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣2），则菱形ABCD的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．16
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC=6，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．18 B．18 C．9 D．6
10．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知菱形的对角线的长分别是和，则菱形的周长等于 ．
12．已知点A(0，3)，B(6，0)，C是x轴正半轴上一点，D是同一平面直角坐标系内一点.若以 A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点 D 的坐标为 .
13．如图，在菱形ABCD中，E是边CD上一点，连结AE 交对角线 BD 于点F，连结CF.若∠AED=40°，则∠BCF的度数为 °.
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC点到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若则BD的长为 .
15． 如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．
16．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知 ABCD的两边AB，AD的长分别是关于x 的一元二次方程的两个实数根.
（1）当a为何值时，□ABCD 是菱形 求此时菱形的边长.
（2）当AD=2时，求 ABCD的周长.
18．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．
（1）求证：EO=DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
20．如图1，已知四边形是菱形，点E，F在对角线上，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，点E为的中点，连接交于点O，连接并延长交于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长．
22．如图所示，在菱形ABCD中，，，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
23．已知：菱形的对角线交于点，以为斜边构造等腰，连接．
（1）如图1，若，，求的面积．
（2）如图2，延长交于点，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．求证：．
24．已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．
（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．
①求证：△PBE是等边三角形；
②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；
（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．
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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.2菱形（1）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
【答案】C
【解析】A、 菱形、矩形的对边都平行，故不符合题意；
B、 菱形、矩形的对角线都互相平分，故不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，故符合题意；
D、菱形的对角相等、矩形的对角相等且互补，故不符合题意；
故答案为：C.
2．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶1
【答案】B
【解析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故答案为：B．
3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD.
∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC=6，
故菱形的周长是4×6=24.
故答案为：A.
4．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故答案为：A．
5． 如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】∵菱形ABCD的周长为72，
∴BC=18，OA=OC，
∵E为的中点，
∴OE是三角形ABC的中位线，
∴OE=.
故答案为：C。
6．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形是菱形，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，，
∵，∴，，
∵，即，
∴.
故答案为：B.
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣2），则菱形ABCD的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．16
【答案】C
【解析】∵
∴
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，
∴
∴
∴
∴菱形ABCD的面积为：
故答案为：C.
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】∵在菱形中，
∴，，，∴，
∵，∴，∴，
∵菱形的面积，∴，
∴，
故答案为：C．
9．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC=6，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．18 B．18 C．9 D．6
【答案】D
【解析】∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD=DB，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=DB，BD⊥AC于O
∴△ABD为等边三角形，AO=AC=3，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴OB= ∴BD=2OB=，
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=，
故答案为：D．
10．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P，如图，
四边形OABC是菱形，
AC⊥OB，点A，点C关于直线OB对称，
PC+PD=PA+PD=AD，
此时PC+PD最短，
设直线OB的表达式为
直线OB过点O（0，0）和点B（8，4），
将O（0，0）和点B（8，4）代入表达式得解得
直线OB的表达式为
直线AD过点A（5，0）和点D（0，1），
同理：可求得直线AD的表达式为
联立方程组
解得
点P的坐标为（）
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知菱形的对角线的长分别是和，则菱形的周长等于 ．
【答案】20
【解析】∵菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的对角线的长分别是和，
∴菱形的边长=cm，∴菱形的周长=4×5=20cm，
故答案为20.
12．已知点A(0，3)，B(6，0)，C是x轴正半轴上一点，D是同一平面直角坐标系内一点.若以 A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点 D 的坐标为 .
【答案】(3 ，3)或( ，3)
【解析】当AB为菱形的对角线时，如图，
∵A（0，3），B（6，0），
∴OA=3，OB=6，
∵四边形ACBD是菱形，
∴CA=AD=BC，AD∥BC，
∴OC=OB-BC=6-AC，
∵OA2+OC2=AC2，
∴32+（6-AC）2=AC2，解得AC=，即AD=，
∴D（，3）
当AB为菱形的边时，如图，AB=，
∵四边形ABCD时菱形，
∴AD=AB=，AD∥BC，
∴D(3 ，3)
综上可得：点D(3 ，3)或( ，3).
故答案为：(3 ，3)或( ，3).
13．如图，在菱形ABCD中，E是边CD上一点，连结AE 交对角线 BD 于点F，连结CF.若∠AED=40°，则∠BCF的度数为 °.
【答案】40
【解析】∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD, AD∥ BC, ∠ADF = ∠BDC,
∵ AD=CD, ∠ADF = ∠BDC，
DF = DF,
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
.'. ∠DAF = ∠DCF,
∵ ∠AED = 40°，
∴∠DAE + ∠ADE = 140°， ∠ADE + ∠DCF=140°，
∵ AD∥ BC,
∴ ∠ADE + ∠BCD = 180°，
∴ ∠ADE + ∠BCF + ∠DCF=180°
∴ ∠BCF =40°,
故答案为:40.
14．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC点到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若则BD的长为 .
【答案】
【解析】连接AC，交BD于点H，
由菱形的性质可得：∠ADC=∠ABC=90°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中
∴△CDH≌△CDF（AAS）
∴DH=DF=，
∴DB=2DH=.
故答案为：.
15． 如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．
【答案】或或
【解析】根据题意， 菱形中，
，，
∴
当P在CD上时
当P在BC上时，过P作PHCD于H
设CH=x
解得x=2
当P在AB上，DE=DP，则P与E点重合，不符合题意
当P在AD上时，过过P作PHCD延长线于H
设DH=y
解得y=2
综上，CP的长为或或
故答案为：或或
16．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
【答案】
【解析】在的下方作，在上截取，使得，连接，，如图所示：
四边形是菱形，，
，，
，，，
，
，
，，
根据勾股定理可得，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知 ABCD的两边AB，AD的长分别是关于x 的一元二次方程的两个实数根.
（1）当a为何值时，□ABCD 是菱形 求此时菱形的边长.
（2）当AD=2时，求 ABCD的周长.
【答案】（1）解：当AD=AB时，四边形ABCD是菱形，
∴b2-4ac=0即16a2-4×4（2a-1）=0
解之：a1=a2=1
∴当a=1时， ABCD是菱形，此时菱形的边长为
（2）解：当x=AD=2时，4×22-8a+2a-1=0
解之：a=，
∴4x2-10x+4=0
解之：AB+AD=
∴ ABCD的周长为2×=5.
元二次方程根与系数的关系，可得到AB+AD的值，然后求出平行四边形ABCD的面积.
18．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．
（1）求证：EO=DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥ BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，
∴四边形AEBO是矩形，
∴EO=AB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= DC，
∴EO=DC；
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形，
∴∠EBO= 90°．
∵∠EBA =60° ，
∴∠ABO=30°．
在Rt△ABO中，AB=10，∠ABO=30°，
∴AO=5，BO=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=，AC=10，
∴菱形ABCD的面积=．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
在中，是的中点，
，
，
，
OG∥EF
四边形是平行四边形，
EF⊥AB，
四边形是矩形．
（2）解：，是的中点，
∴
在中，是的中点，
∴
EF⊥AB，
在中，
四边形是菱形，
四边形是矩形．
20．如图1，已知四边形是菱形，点E，F在对角线上，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，点E为的中点，连接交于点O，连接并延长交于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴
（2）解：图2中等于线段的倍的四条线段分别是．
【解析】（2）∵，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
综上可知，图2中等于线段的倍的四条线段分别是．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，，
，
，
菱形的面积，
即，
解得：．
22．如图所示，在菱形ABCD中，，，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】（1）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，
∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60°，
∴∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，
∵四边形ABCD为菱形，∴，
∴，
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
（2）四边形AECF的面积不变．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值；
作AH⊥BC于H点，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
，
∴S四边形AECF=S△ABC=；
∵S△CEF=S四边形AECF-S△AEF=S菱形ABCD-S△AEF ，
∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，
∵△AEF为等边三角形，
∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，
∵当AE⊥BC时，AE最小，
∴AE的最小值为AH的长，
过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：
∵△AEF为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即△CEF的面积的最大值为．
23．已知：菱形的对角线交于点，以为斜边构造等腰，连接．
（1）如图1，若，，求的面积．
（2）如图2，延长交于点，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．求证：．
【答案】（1）解：四边形是菱形，
，且，
是等边三角形，
，且，，
，
，
∴
（2）证明：连接，
四边形是菱形，
，，，，，
，且，
，
，
点，点，点，点 四点共圆，
，且，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，且，
，
，
，且，
，
．
24．已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．
（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．
①求证：△PBE是等边三角形；
②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；
（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，
∵AC=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC等边三角形，
∴∠ABC=60°，
由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，
∴△PBE是等边三角形；
②由①知AB=BC=5
∵由旋转知△ABP≌△CBE，
∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，
∵AP2+PC2=42+32=25=AC2，
∴△ACP是直角三角形，
∴∠APC=90°，
∴∠APB+∠BPC=270°，
∵∠APB=∠CEB，
∴∠CEB+∠BPC=270°，
∴∠PBE+∠PCE=90°，
∵∠PBE=∠ABC=60°，
∴∠PCE=90°-60°=30°
（2）解：如图，将△ADG绕着点D顺时针旋转60°得到△A'DG'，
由旋转知△ADG≌△A'DG'，
∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，
∵∠G'DG=60°，G'D=GD，
∴△G'DG是等边三角形，
∴GG'=DG，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'
∵当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，
即AG+EG+DG的值最小，
∵∠A'DA=60°，∠ADE= ∠ADC=30°，
∴∠A'DE=90°，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E= =5，
∴AG+EG+DG的最小值为5．
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