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浙教版2023-2024学年八下数学第6章反比例函数6.2反比例函数的图像和性质
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．反比例函数 的图像分别位于 （ ）
A．第一，第三象限 B．第一，第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【答案】A
【解析】反比例函数 的k=6＞0，
∴该反比例函数图象位于第一、三象限.
故答案为：A.
2．已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
【答案】B
【解析】 A、把点（-1，2）代入反比例函数y= ，得2=2成立，故说法正确，不符合题意；
B、∵k= ＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故答案为：错误，符合题意；
C、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意；
D、当x=1时，y=-2，故当x＞1时，-2＜y＜0说法正确，不符合题意；
故答案为：B.
3．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图像分别位于第二、四象限
B．其图像关于原点对称
C．其图像经过点（2，-4）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图像上，且x1＜x2，则y1＜y2
【答案】D
【解析】A、∵反比例函数 中∴图象经过二四象限，本项不符合题意；
B、反比例函数的图象是关于原点对称的，本项不符合题意；
C、∵，∴其图像经过点（2，-4） ，本项不符合题意；
D、∵反比例函数 中
∴y随x增大而增大，
∴x1＜x2 且在同一象限内时， y1＜y2 ，不在同一象限内时，y1＞y2，本项符合题意；
故答案为：D.
4．若点A(2，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1 B．y31 C．y21 D．y31
【答案】C
【解析】∵，
∴图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵＜3，
∴点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上，
∴，
即.
故答案为：C.
5．如果y是x的反比例函数，那么当x增加它的时，y将（ ）
A．减少它的 B．减少它的 C．增加它的 D．减少它的
【答案】B
【解析】y是x的反比例函数，
，得
∴y将减少它的 ，
故答案为：B.
6．如图，反比例函数和正比例函数的图象相交于A(-1，-3)，B(1，3)两点.若则x的取值范围是（ ）
A．1C．x<1或01
【答案】C
【解析】由图可知：在点A的左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜-1；
在点b的左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜1；
故答案为：C.
7．已知则函数和的图像可能是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵y=k1x-1中，k=k1＜0，b=-1＜0，
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限，故B、D选项不符合题意；
∵反比例函数中，k2＞0，
∴反比例函数的两支分布在一、三象限，故B、C选项不符合题意，
综上只有A选项符合题意.
故答案为：A.
8．若点，在反比例函数的图像上，则m满足（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】 ∵，
∴在每个象限内，y随x的值增大而减小.
∵且点A在第一象限，
∴点B必在第一象限，
∴0故答案为：B.
9．已知函数y=，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，y随x的增大而减小；③若A(x1，y1) ，B(x2，y2)两点在该函数图象上，且x1+x2=0，则y1 =y2，其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】∵函数，
∴该函数图象在第一、二象限，故①错误；
当函数图象在第一象限内时，y随x的增大而减小，当函数图象在第二象限内时，y随x的增大而增 大，故②错误；
若A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，且x1+x2＝0，则y1＝y2，故③正确；
故答案为：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A，B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在反比例函数y 的图象上.若AB=1，则k的值为 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=1，∠ABC=90°，CA⊥x轴
∴AC=，OA=
∴点C的坐标为（，）
将点C的坐标代入反比例函数，可得=，解得k=1.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在平面直角坐标系 xOy中，直线y=x与反比例函数的图像相交于 A，B 两点.若点 A，B的纵坐标分别为 y ，y ，则 y +y 的值为 .
【答案】0
【解析】∵直线y=x与双曲线交于A，B两点，
∴点A，点B关于原点对称，
∴y1+y2=0，
故答案为：0.
12．点A 在第二象限，且在反比例函数的图象上，则点 A 的坐标可以是 .（只需写出一个符合条件的坐标）
【答案】（-3，4）（答案不唯一）
【解析】∵点A在第二象限，且在反比例函数的图象上，
∴反比例函数的k＜0，
即k=xy＜0，
故点A的坐标可以是（-3，4）（答案不唯一）；
故答案为：（-3，4）（答案不唯一）.
13．若点(2，m)，(2，n)分别在反比例函数和 的图象上，则 m 和 n 的大小关系是m n(填“>”“<”或“=”).
【答案】<
【解析】∵ 将点(2，m)代入中 ，可得；将点(2，n)代入反比例函数中 ，可得.
又∵ 2>1，
∴ m故答案为：<.
14．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为 .
【答案】4
【解析】∵函数图象在第一象限
∴k＞0，x＞0，y＞0
设A（a，b）
∵AB⊥x轴
∴AB=a，OB=b
∵
∴
解得ab=4
∴k=ab=4
故答案为：4.
15．如图，A，C是正比例函数y=x的图象与反比例函数 的图象的交点，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的周长为 .
【答案】4+4
【解析】∵A，C是正比例函数y=x的图象与反比例函数 的图象的交点
∴当x=时，解得x=2或-2；
当x=2时，y=2；当x=-2时，y=-2；
∴点A为（2，2），点C为（-2，-2）
∵AD⊥x轴，CB⊥x轴
∴点B为（-2，0），点D为（2，0）
∴BD=4
∴AB＝CD=＝
∴四边形ABCD的周长＝×2＋2×2＝4+4
故答案为：4+4.
16．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，已知点A(1，m)，C(3，m+6)，则图象同时经过点B与点D的反比例函数的表达式为 .
【答案】
【解析】∵矩形ABCD的边AB∥x轴，A（1，m），C（3，m+6）.
∴B（1，m+6），D（3，m），
∵B、D在反比例函数的图象上，
∴1×（m+6）=3m，
解得：m=3，
∴B(1，9），
∴反比例函数的表达式为.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知一次函数的图象与反比例函数：的图象相交于点A(1，2)和点B.
（1）求b和k的值.
（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x(x<0)的不等式的解.
【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点A（-1，2），
∴2=×（-1）+b，2=，
解得：b=，k=-2；
（2）解：点
【解析】（2）解方程组得：
，，
∵A（-1，2），
∴B（-4，），
∵，
∴-4＜x＜-1，
即不等式的解集为：-4＜x＜-1.
18．已知一次函数y =ax-3a+1(a≠0)和反比例函数
（1）无论a取何值，该一次函数的图象始终经过一个定点，直接写出这个定点坐标.
（2）若4≤x≤5，该一次函数的最大值是3，求a的值.
（3）若一次函数 y 的图象与反比例函数 y 的图象的两个交点关于原点对称，请判断反比例函数y 的图象分布在哪些象限，并说明理由.
【答案】（1）解：y =ax-3a+1=a(x-3)+1，
当x=3时，y=1，
∴ 无论a取何值，该一次函数的图象始终经过一个定点（3，1）；
（2）解：当a＞0时， 一次函数y =ax-3a+1 中，y随x增大而增大，
∴当x=5时，最大值y =5a-3a+1=3，解得a=1，
当a＜0时， 一次函数y =ax-3a+1 中，y随x增大而减小，
∴当x=4时，最大值y =4a-3a+1=3，解得a=2（不合题意，舍），
∴a=1.
（3）反比例函数 y 的图象分布在第一、三象限.
理由：反比例函数y 的图象分布在一三象限 .
理由：若一次函数 y 的图象与反比例函数 y 的图象的两个交点关于原点对称 ，
∴一次函数 y 经过原点，
∴ -3a+1=0，解得a=，即一次函数 y 图象经过一三象限，
∴ 反比例函数y 的图象分布在一三象限 .
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx +b(k≠0)的图象与反比例函数的图象相交于 A(-1，2)，B(m，-1)两点。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式.
（2）过点 B作直线l∥y轴，过点 A 作AD⊥l 于点D，C是直线l上一动点，若 DC=2DA，求点 C的坐标.
【答案】（1）解：将点A(-1，2) 代入 得n=-2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(m，-1)代入得m=2，
∴点B(2，-1），
将点A(-1，2)，B(2，-1)分别代入y=kx+b，
得，
解得
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：∵A(-1，2)，B(2，-1)， 点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l 于点D ，
∴D（2，2），AD=3，
∵C是直线l上一动点，若DC=2DA，
∴DC=6，且点C的横坐标为2，
∴点C(2，8）或（2，-4).
20．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 的图象相交于点A(3，a)，B(14-2a，2).
（1）求反比例函数的表达式.
（2）若一次函数的图象与y轴相交于点C，D为坐标轴上一点，且△ACD 的面积为 18，求点 D 的坐标.
【答案】（1）解：将点A和B的坐标代入反比例函数 ，
可得3a=2×（14-2a），
解得a=4；
∴A（3，4），B（6，2）
∴m=3×4=12
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：（2）由（1）可知，点A为（3，4），点B为（6，2），将点A和B的坐标代入一次函数 y=kx+b(k≠0) ，可得
，
解得
∴一次函数的表达式为y=x+6
∴当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为（0，6）
当点D在y轴上时，设D为（0，m)，
则，
解得m=-6或18；
∴点D为（0，-6）或（0，18）
当D在x轴上时，设D为（n，0），
AB与x轴交于点E，则E为（9，0），
S△ACD=S△CDE-S△ADE=|n-9|×6-|n-9|×4=18，
解得n=-9或27；
∴点D为（-9，0）或（27，0）
综上所述，点D的坐标为(0，-6或(0，18)或(-9，0)或(27，0).
21．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点 A(a，2).
（1）求点 A 的坐标和反比例函数的表达式.
（2）若点 P(m，n)在该反比例函数的图象上，且它到 y轴的距离小于 3，请根据图象直接写出 n的取值范围.
【答案】（1）解：将点A代入到 中，可得，解得a=-3，
∴点A的坐标为（-3，2）.
将点A代入到 中，可得，解得k=-6.
∴反比例函数的表达式为 y= .
（2）解：∵点 P(m，n)在该反比例函数的图象上，且它到 y轴的距离小于 3，
∴-3又∵反比例函数 y= 中k<0，
∴图象分布在第二、第四象限，且y随x的增大而增大，
当m=-3时，n=2；当m=3时，n=-2；
∴当-32；当0∴n的取值范围为n>2或n<-2.
22．已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出y的取值范围；
（3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积．
【答案】（1）解：∵点都在该反比例函数图象上，
∴，
解得，，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：
（3）解：由（1）可得，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴，
当，，则，
∴．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，顶点A(0，)，B(1，0)，顶点C在反比例函数的图象上.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）将点B向上平移后落在反比例函数图象上的点记为点D，连结DA，DC，求△ACD的面积.
【答案】（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAF=90°，而∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠CAF=∠ABO，
在△CAF和△ABO中
∴△CAF≌△ABO（AAS）
∴CF=AO=，AF=BO=1，
∴OF=OC+CF=1+2=3，
∴点C的坐标为（，1+），
点C在反比例函数的图象上，
∴k=(1+)=3+，
∴反比例函数的解析式为：.
（2）解：过点D作DH⊥y轴，由题意可知D（1，+3），
∴FH=+3-（1+）=2，AH=3，DH=1，
S△ACD=S梯形CDHF+S△ACF-S△ADH
=
=.
24．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）已知点的横坐标为，求的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入一次函数得，解得，
∴，
把代入反比例函数得，解得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴；
∴的面积为
（3）解：存在，点坐标为或或
【解析】（3）解：由题意知，分与为邻边，与为邻边，与为邻边，三种情况求解：
①当与为邻边，时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，
∴点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
②当与为邻边时，点先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点，
∴点也先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点，即；
③当与为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，
∴点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；
综上，存在，点坐标为或或．
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浙教版2023-2024学年八下数学第6章反比例函数6.2反比例函数的图像和性质
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．反比例函数 的图像分别位于 （ ）
A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
2．已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
3．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图像分别位于第二、四象限
B．其图像关于原点对称
C．其图像经过点（2，-4）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图像上，且x1＜x2，则y1＜y2
4．若点A(2，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1 B．y31 C．y21 D．y31
5．如果y是x的反比例函数，那么当x增加它的时，y将（ ）
A．减少它的 B．减少它的 C．增加它的 D．减少它的
6．如图，反比例函数和正比例函数的图象相交于A(-1，-3)，B(1，3)两点.若则x的取值范围是（ ）
A．11
（第6题） （第10题）
7．已知则函数和的图像可能是 （ ）
A． B． C． D．
8．若点，在反比例函数的图像上，则m满足（ ）
A． B． C． D．或
9．已知函数y=，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，y随x的增大而减小；③若A(x1，y1) ，B(x2，y2)两点在该函数图象上，且x1+x2=0，则y1 =y2，其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A，B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在反比例函数y 的图象上.若AB=1，则k的值为 （ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在平面直角坐标系 xOy中，直线y=x与反比例函数的图像相交于 A，B 两点.若点 A，B的纵坐标分别为 y ，y ，则 y +y 的值为 .
12．点A 在第二象限，且在反比例函数的图象上，则点 A 的坐标可以是 .（只需写出一个符合条件的坐标）
13．若点(2，m)，(2，n)分别在反比例函数和 的图象上，则 m 和 n 的大小关系是m n(填“>”“<”或“=”).
14．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，A，C是正比例函数y=x的图象与反比例函数 的图象的交点，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的周长为 .
16．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，已知点A(1，m)，C(3，m+6)，则图象同时经过点B与点D的反比例函数的表达式为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知一次函数的图象与反比例函数：的图象相交于点A(1，2)和点B.
（1）求b和k的值.
（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x(x<0)的不等式的解.
18．已知一次函数y =ax-3a+1(a≠0)和反比例函数
（1）无论a取何值，该一次函数的图象始终经过一个定点，直接写出这个定点坐标.
（2）若4≤x≤5，该一次函数的最大值是3，求a的值.
（3）若一次函数 y 的图象与反比例函数 y 的图象的两个交点关于原点对称，请判断反比例函数y 的图象分布在哪些象限，并说明理由.
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx +b(k≠0)的图象与反比例函数的图象相交于 A(-1，2)，B(m，-1)两点。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式.
（2）过点 B作直线l∥y轴，过点 A 作AD⊥l 于点D，C是直线l上一动点，若 DC=2DA，求点 C的坐标.
20．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 的图象相交于点A(3，a)，B(14-2a，2).
（1）求反比例函数的表达式.
（2）若一次函数的图象与y轴相交于点C，D为坐标轴上一点，且△ACD 的面积为 18，求点 D 的坐标.
21．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点 A(a，2).
（1）求点 A 的坐标和反比例函数的表达式.
（2）若点 P(m，n)在该反比例函数的图象上，且它到 y轴的距离小于 3，请根据图象直接写出 n的取值范围.
22．已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出y的取值范围；
（3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，顶点A(0，)，B(1，0)，顶点C在反比例函数的图象上.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）将点B向上平移后落在反比例函数图象上的点记为点D，连结DA，DC，求△ACD的面积.
24．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）已知点的横坐标为，求的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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