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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.3正方形（1）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列说法中，正确的是 （ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】A、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不正确.
B、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项不正确.
C、 有一组邻边相等的矩形是正方形，故此选项正确.
D、 四条边都相等的四边形是菱形，故此选项不正确.
故答案为：C.
2．在四边形中，．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵在四边形ABCD中，∠A= ∠B= ∠C= 90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，AC=BD，
∴选项A，C，D不符合题意，
当AB=AD时，即一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
∴选项B符合题意，
故答案为：B.
3．已知四边形中，，，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴添加BC=CD时四边形ABCD是正方形，
故答案为：C.
4．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别相等；b一组对边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c．你认为能得到正方形的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【答案】C
【解析】①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①符合题意；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②符合题意；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不符合题意；
故答案为：C．
5．如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 的中点，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中位线，
∴ ， ， ， ，
四边形 为平行四边形，
当 时， ，
平行四边形 是菱形；
当 时， ，
则 ，
菱形 是正方形；
故答案为：A．
6．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为，，，，下列判断正确的是（ ）
甲：；乙：四边形是正方形
A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对
C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对
【答案】D
【解析】∵ A，B，CD，
∴AB=，
BC=，
CD=，
AD=，
AC=，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB2+BC2=16=AC2，
∴∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
故答案为：D.
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为一边作正方形，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】 ∵ 点 A 的坐标为 (0，2)，四边形 OABC 是正方形
∴点B可能在第一象限，也可能在第二象限，
∴点 B 的坐标为 (2，2) 或 (-2，2)
故正确答案是：D
8．如图在边长为1的小正方形构成的5×4的网格中，定义：以网格中的格点为顶点的正方形叫做格点正方形．则图中完全包含“”的格点正方形最多能画（ ）
A．13个 B．16个 C．19个 D．21个
【答案】D
【解析】边长为1的正方形有1个，
边长为2的正方形有4个，
边长为3的正方形有有6个，
边长为4的正方形有2个，
边长为的正方形有2个，
边长为2的正方形有2个，
边长为的正方形有2个，
边长为的正方形有2个，
则1+4+6+2+2+2+2+2=21（个），
故答案为：D.
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】过点作并延长交于点，作，
，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：A.
10．如图，在边长为的正八边形中，已知I，J，K，L分别是边上的动点，且满足，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接IK、JL，
∵正八边形ABCDEFGH中，IA=JC=KE=LG，∴AH=BC=DE=GF，
∴IJ=JK=KL=IL，IK=JL，∴四边形IJKL为正方形，
∴S四边形IJKL=IJ2，故当IJ最大为AC时，S四边形IJKL最大.
如图：
∵正八边形ABCDEFGH，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC，OB⊥AC，AM=CM，
∴OM=AM=OA.
设OM=AM=x，则OA=OB=OC=x，
∴BM=OB-OM=x-x.
∵AB2=AM2+BM2，
∴()2=x2+(x-x)2，
∴x=，
∴AC==，
∴S四边形IJKL的最大值为AC2=4+.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图， ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，∠BAO=∠DAO.若添加一个条件使 ABCD为正方形，则可以添加的条件 是 .
【答案】∠ABC=90°
【解析】在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
又∵∠BAO=∠DAO，
∴∠DAC=∠BCA，
∴AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
要使得□ABCD为正方形， 则可以添加∠ABC=90°（答案不唯一），
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD为正方形；
故答案为：∠ABC=90°.
12．如图，在矩形中，平分交于点，，，则 ．
【答案】5
【解析】过点作于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
平分，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
故答案为：5．
13．如图，△ABC中，∠ACB =90°，AC=9，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，已知DF=4，则AD的长是 .
【答案】
【解析】 在 中， CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F
，
四边形EDFC是正方形，
，
根据勾股定理可知：
可得
，
故答案为：
14．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是 ．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH=
所以正方形EFGH的面积
故答案为：.
15．如图，RtABC中，∠BCA＝90°，AC=BC，D为BC延长线上一点，，垂足为点E，连接CE，，若AE＝x，BE＝y，则y与x的数量关系为 ．
【答案】y＝x＋6
【解析】如图，在BE上截取BH＝AE，连接CH，
∵，
∴∠AEF＝∠BCF＝90°，
∵∠AFE＝∠BFC，
∴∠CAE＝∠CBH，
又∵AC＝BC，
∴△CAE≌△CBH（SAS），
∴∠BCH＝∠ACE，CH＝CE，
∴∠BCA＝∠BCH＋∠HCA＝∠ACE＋∠HCA＝90°，即∠HCE＝90°，
∴△CHE是等腰直角三角形，
∴∠CEB＝45°，
∵∠BED＝90°，
∴∠CED＝∠CEB＝45°，
过点C作CM⊥DE于点M，过点C作CN⊥BF于点N，
∴CM＝CN，∠CNE＝∠CME＝∠BED＝90°，
∴四边形CNEM是正方形，
∴NE＝ME＝CN＝CM，
∵CE＝，∴由勾股定理得：CN＝NE＝3，
∴NE＝ME＝3，
∵∠CAM＝∠CBN，∠AMC＝∠BNC＝90°，AC＝BC，
∴△AMC≌△BNC（AAS），
∴BN＝AM，
∵AE＝x，BE＝y，
∴y 3＝x＋3，
∴y＝x＋6，
故答案为：y＝x＋6．
16．如图，点 ， ， ， 为正方形 四边中点，连结 ， ， ， 若 ，则四边形 的面积是 .
【答案】20
【解析】 点 ， ， ， 为正方形 四边中点，
， ，
四边形 为平行四边形，
，
，
同理可得 ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
，
，
，
同理可得 ，
四边形 为矩形，
在 和 中， ， ≌ ，
，
， 四边形 为正方形，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，
四边形 的面积为 .
故答案为：20.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，过点 B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连结BE，CF.
（1）求证：△BDF≌△CDE.
（2）当 ED 与BC 满足什么数量关系时，四边形BECF 是正方形 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵ AD是BC 边上的中线 ，
∴BD=CD，
∵ BF∥EC ，
∴∠ECD=∠DBF，
∵∠BDF=∠EDC，
∴△BDF≌△CDE（ASA）；
（2）解：当时，四边形BECF 是正方形.
理由：∵△BDF≌△CDE ∴DE=DF，BF=CE，
∵BF∥EC
∴四边形BECF是平行四边形，
∵ AB=AC，AD是BC 边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
∵，DE=DF=EF，
∴EF=BC，
∴ 四边形BECF 是正方形 .
18．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD =CD，E 是对角线BD上一点，且 EA=EC.
（1）求证：四边形 ABCD是菱形.
（2）如果 BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形 ABCD是正方形.
【答案】（1）证明：在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，
∵AD＝CD，∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）证明∵BE＝BC ∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE＝2：3， ∴∠CBE＝18045°，
∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
19．如图，在 △ABC 中，∠C= 90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点 D，作 DE⊥BC 于点E，DF⊥AC 于点 F.
（1）求证：四边形 CEDF 为正方形.
（2）若 AC=6，BC=8，求CE 的长.
【答案】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠DFC=∠C=∠DEC=90°，
∴四边形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分线交于D点，
∴DF＝DE＝DN，
∴矩形FCED是正方形；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
∴AB＝，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DF＝DE＝DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，
则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，
∴EC2．
20．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
由（1）得，，
∵，点为的中点
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（3）解：当时，四边形是正方形．
证明，如下：
∵，
∴
又∵点为的中点
∴
∴
∴
又∵四边形是菱形
∴四边形是正方形．
21．如图，在正方形ABCD中，E，F 分别是BC，CD 上的点，AE，BF 相交于点P，并且AE=BF.
（1）如图1，判断AE和BF 的位置关系，并说明理由.
（2）若AB=8，BE=6，求BP的长度.
（3）如图2，作 DN⊥AE于点N，FM⊥DN于点M，当点F 在线段CD 上运动时(点 F 不与C，D 两点重合)，四边形 FMNP 能否成为正方形 请说明理由.
【答案】（1）解：（1） AE⊥BF，理由如下：
在正方形ABCD中， AB=BC，∠ABE=∠C=90°，
∵ AE=BF ，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠CBF+∠ABP=∠BAE+∠ABP=∠ABC=90°，
∴∠APB=180°-（∠BAE+∠ABP）=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：在Rt△ABE中， AB=8，BE=6 ，
∴AE==10，
∵AE⊥BF，
∴△ABE的面积=AE·BP=AB·BE，即×10BP=×8×6
解得BP=4.8；
（3）解：四边形FMNP不能成为正方形 ，
理由：由（1）知∠APF=90°，
∵ DN⊥AE，FM⊥DN ，
∴四边形 FMNP是矩形，
∵∠BAP+∠NAD=∠NAD+∠ADN=90°，
∴∠BAP=∠ADN，
∵AD=AB，∠APB=∠AND=90°，
∴△ADN≌△ADN（ASA）∴AN=BP，AP=DN
∵ AE=BF.
∴EN=PF，
∵ 点F在线段CD上运动时(点 F不与C，D 两点重合) ，
∴P、E不重合，
∴PN≠PF，
∴ 四边形 FMNP不能成为正方形.
22．如图，四边形 ABCD为正方形，E 为对角线AC 上一点，连结 DE，过点 E 作EF⊥DE，交BC于点 F，以DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连结 CG.
（1）求证：矩形 DEFG 是正方形.
（2）若 求 CG 的长.
（3）当 时，求∠EFC的度数.
【答案】（1）证明：如图，过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，
则∠EMC=∠ENC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴四边形ENCM是矩形；
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
又∵∠EMC=∠ENC=90°，
∴EN=EM，
∴四边形CMEN是正方形，
∴∠MEN=90°，
即∠MEF+∠FEN=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°，
即∠MEF+∠DEM=90°，
∴∠FEN=∠DEM，
在△FEN和△DEM中，，
∴△FEN≌△DEM（ASA），
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形.
（2）解：如图：过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，
∵矩形DEFG是正方形，四边形CMEN是正方形，
∴DE=EF=GF，EN=NC=MC=EM，
在Rt△ENC中，CE2=CN2+EN2=2EN2，
即，
解得：，
∵△FEN≌△DEM，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
在Rt△DEM中，，
∴DE=2；
∴FG=DE=2.
（3）解：∵∠ADE=40°，∠ADC=90°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-40°=50°；
∵△FEN≌△DEM，
∴∠EDC=∠EFC=50°.
23．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连结DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE ，EF为邻边作矩形DEFG，连结AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，请求出AE的长．
【答案】（1）证明：如图，作EM⊥AD于点M， EN⊥AB于点N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD=∠EAB，∴ EM=EN．∵∠EMA=∠ENA= ∠DAB=90°
∴四边形ANEM是矩形．
∵EF⊥DE，∴∠MEN= ∠ DEF=90°，
∴∠DEM= ∠ FEN，
∵∠EMD=∠ENF=90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED=EF．
∵四边形DEFG是矩形，矩形DEFG是正方形．
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG=DE ， DC=DA=AB=4，∠ GDE=∠ADC= 90°，
∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE，
∴AG=CE ， ∴AG+AE = EC+AE =AC=AD=4．
（3）解：连结DF，如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=4，AB∥ CD．
∵F是AB的中点，AF=FB=2．∵四边形DEFG是正方形，
设DE=EF=x，∵DF2 = AD2 +AF2 = DE2+EF2，∴42+22 =x2+x2 ，
解得×=(负值舍去)，即EF=，由(1)得EM= EN=AN，设EN=y，则FN=y-2．∴y2+(y-2)2=( )2 ，解得y=3(负值舍去)，即EN=EM=AN=3， ∴AE=
24．已知，如图①，在中，，，点E为上的一动点，连接，过点C作于点H，以为腰作等腰直角连接．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）如图②，当D，H，G三点共线时，求的值；
（3）求的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
（2）解：连接
在中，
（3）解：∵，
∴点H在以的中点O为圆心，以为半径的圆上运动．
∴
∴的最小值
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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.3正方形（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列说法中，正确的是 （ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四条边都相等的四边形是正方形
2．在四边形中，．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形中，，，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别相等；b一组对边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c．你认为能得到正方形的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
5．如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
（第5题） （第7题） （第8题） （第9题）
6．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为，，，，下列判断正确的是（ ）
甲：；乙：四边形是正方形
A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对
C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为一边作正方形，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．如图在边长为1的小正方形构成的5×4的网格中，定义：以网格中的格点为顶点的正方形叫做格点正方形．则图中完全包含“”的格点正方形最多能画（ ）
A．13个 B．16个 C．19个 D．21个
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
10．如图，在边长为的正八边形中，已知I，J，K，L分别是边上的动点，且满足，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图， ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，∠BAO=∠DAO.若添加一个条件使 ABCD为正方形，则可以添加的条件 是 .
12．如图，在矩形中，平分交于点，，，则 ．
13．如图，△ABC中，∠ACB =90°，AC=9，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，已知DF=4，则AD的长是 .
14．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，RtABC中，∠BCA＝90°，AC=BC，D为BC延长线上一点，，垂足为点E，连接CE，，若AE＝x，BE＝y，则y与x的数量关系为 ．
16．如图，点 ， ， ， 为正方形 四边中点，连结 ， ， ， 若 ，则四边形 的面积是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，过点 B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连结BE，CF.
（1）求证：△BDF≌△CDE.
（2）当 ED 与BC 满足什么数量关系时，四边形BECF 是正方形 请说明理由.
18．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD =CD，E 是对角线BD上一点，且 EA=EC.
（1）求证：四边形 ABCD是菱形.
（2）如果 BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形 ABCD是正方形.
19．如图，在 △ABC 中，∠C= 90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点 D，作 DE⊥BC 于点E，DF⊥AC 于点 F.
（1）求证：四边形 CEDF 为正方形.
（2）若 AC=6，BC=8，求CE 的长.
20．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
21．如图，在正方形ABCD中，E，F 分别是BC，CD 上的点，AE，BF 相交于点P，并且AE=BF.
（1）如图1，判断AE和BF 的位置关系，并说明理由.
（2）若AB=8，BE=6，求BP的长度.
（3）如图2，作 DN⊥AE于点N，FM⊥DN于点M，当点F 在线段CD 上运动时(点 F 不与C，D 两点重合)，四边形 FMNP 能否成为正方形 请说明理由.
22．如图，四边形 ABCD为正方形，E 为对角线AC 上一点，连结 DE，过点 E 作EF⊥DE，交BC于点 F，以DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连结 CG.
（1）求证：矩形 DEFG 是正方形.
（2）若 求 CG 的长.
（3）当 时，求∠EFC的度数.
23．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连结DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE ，EF为邻边作矩形DEFG，连结AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，请求出AE的长．
24．已知，如图①，在中，，，点E为上的一动点，连接，过点C作于点H，以为腰作等腰直角连接．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）如图②，当D，H，G三点共线时，求的值；
（3）求的最小值．
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