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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.1矩形（2）考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2．如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= AC.④∠1=∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有 （ ）
A．① B．①②③ C．②③④ D．①②③④
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
3．如图，在中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形ENFM是矩形 B．若，则四边形ENFM是矩形
C．若，则四边形ENFM是矩形 D．若，则四边形ENFM是矩形
4．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点.若，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．32 D．12
5．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．8
6．如图，在四边形 中， 分别是 的中点，要使四边形 是矩形，则四边形 只需要满足一个条件是（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，M 是边 AB 上一点(不与点 A，B 重合)，过点 M 作ME⊥AC 于点E，MF⊥BC 于点 F.若 P 是EF 的中点，则CP的最小值为（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
8．如图，在等腰直角 中， ，点 是 内部一点， ， ，垂足分别为 ， ，若 ， ， ，则 （ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
9．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，N，M分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．2
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，AC平分∠BAD，AB∥CD， BC=4， ∠BAD＝30°，∠B＝90° ，则CD的长为 ．
13．如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
14．如图，在四边形中，，，，若，，则 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，将矩形沿折叠，使点C、D分别落在点、处.若，则的长为 .
16．如图，在矩形中，，E、F分别是边的中点，P是AD上 一点，，则的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：
（1）△ABF≌△DCE.
（2）四边形 ABCD 是矩形.
18．已知：如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.
（1）求证：四边形 EFGH 是矩形.
（2）若 EH=3cm，EF=4cm，求边 AD的长.
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
20．如图所示，在中，E，F分别为边，的中点，连接，，，作，交的延长线于点G，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，求证：四边形是矩形．
21．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
22． 如图， 的对角线、交于点，点是上一点，点在延长线上，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）连结、，如果，且恰好是的中点，求证：四边形是矩形．
23． 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且。
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点.，若CE=4，CF=5，求DF的长。
24．在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，点E是BD上的一点，∠AEB=∠BDC.
（1）如图1，求证：AE=CD；
（2）如图2， AFCE的顶点F在BD上，若OF=DE.
①求证：四边形AFCE是矩形；
②求的值.
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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.1矩形（2）解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】A、有一个角是直角的四边形是矩形是错误的，符合题意；
B、四个角都相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
故答案为：A．
2．如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= AC.④∠1=∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有 （ ）
A．① B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴ ABCD是矩形；
②∵∠1+∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，∴ ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝ODBD，
∵OBAC，∴AC＝BD，∴ ABCD是矩形；
④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD，
∵∠1＝∠2，∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，∴AC＝BD，∴ ABCD是矩形；
综上所述，能判断 ABCD是矩形的有4个，
故答案为：D．
3．如图，在中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形ENFM是矩形
B．若，则四边形ENFM是矩形
C．若，则四边形ENFM是矩形
D．若，则四边形ENFM是矩形
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠BAC=∠DCA
∵点E，F分别是AB，CD的中点
∴AE=AB，CF=DC
∴AE=CF
∴四边形AEFD是平行四边形
∴AD=EF
∵AM=CN
∴
∴∠EMA=∠FNC，EM=FN
∵∠EMA+∠EMN=180°，∠FNC+∠FNM=180°
∴∠EMN=∠FNM
∴EM∥FN
∴四边形MENF是平行四边形
A、当∠EMF=90°，四边形MENF是矩形，A错误；
B、当MN=EF，四边形MENF是矩形，B错误；
C、当MN=EF，四边形MENF是矩形，C错误；
D、∵AD=EF，∴当MN=AD，四边形MENF是矩形，D正确.
故答案为：D.
4．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点.若，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．32 D．12
【答案】D
【解析】∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EFBD，且EF=BD=3.
同理求得EHACGF，且EH=GF=AC=4，
又∵AC⊥BD，
∴EFGH，FGHE且EF⊥FG.
四边形EFGH是矩形.
∴四边形EFGH的面积=EF EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12.
故答案为：D.
5．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．8
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB．
∵OA=OB，
∴OA=OD．
∴平行四边形ABCD是矩形．
又∵∠AOD=60°，
∴△AOD为的等边三角形．
∴∠ADB=60°．
∴tan∠ADB= = ．
∴AB= AD=4 ．
故选：A．
6．如图，在四边形 中， 分别是 的中点，要使四边形 是矩形，则四边形 只需要满足一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当AC⊥BC时，四边形EFGH是矩形，
∵AC⊥BC，GH∥AD，EH∥BC，
∴EF⊥EH，
即∠FEH=90°
∴四边形EFGH是矩形
故答案为：D
7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，M 是边 AB 上一点(不与点 A，B 重合)，过点 M 作ME⊥AC 于点E，MF⊥BC 于点 F.若 P 是EF 的中点，则CP的最小值为（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【答案】A
【解析】如图
∵ME⊥AC ，MF⊥BC，
∴∠MEC=∠MFC=90°=∠ACB，
∴四边形EMFC是矩形，
延长CP交AB于点N，此时点M和点N重合，
∴CP=CM，
当CM⊥AB时，CM的长最短，
∴此时CP的长最小；
在Rt△ABC中
，
∵S△ABC=AC·BC=AB·MC，
∴5CM=3×4
解之：CM=2.4，
∴CP的最小值为1.2.
故答案为：A.
8．如图，在等腰直角 中， ，点 是 内部一点， ， ，垂足分别为 ， ，若 ， ， ，则 （ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
【答案】C
【解析】∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∴∠ABC=90°，
∴四边形DEBF为矩形，∴BF=DE=2.5，DF=EB，
设DF=3x，则EB=3x，
∵DF= AF，∴AF=5x，AB=5x+2.5，
∵DE=2.5，∴CE=3DE=7.5，
∴CB=7.5+3x，
∵AB=CB，∴5x+2.5=7.5+3x，
解得x=2.5，
∴AF=5x=12.5，
故答案为：C.
9．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，N，M分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】连接CF交PQ于点R，延长AD交EF于点H，连接AF，如图所示，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是矩形，
∴AH=2+4=6，AB=EH=1，FG∥CE，EF=VG=2，
∴∠RPF=∠RQC，∠RFP=∠QCR，FH=2-1=1，
在△RCQ和△RFP中，，∴△RCQ≌△RFP（ASA），
∴PR=QR，∴点M和点R重合，
在Rt△AFH中，由勾股定理得：
，
∵N是AC的中点，
∴MN为△ACF的中位线，
∴，
故答案为：C.
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．2
【答案】C
【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH，
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM=MP+CP=HE+ EC=2+2=4，
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形．
【答案】
【解析】、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
故答案为：
12．如图，AC平分∠BAD，AB∥CD， BC=4， ∠BAD＝30°，∠B＝90° ，则CD的长为 ．
【答案】8
【解析】过D作DEAB于E
AC平分∠BAD
故答案为：8
13．如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵在中，对角线，相交于点O，
∴AO= CO，DO= OB，
∵AE =FC，
∴AO-AE=CO-CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴添加条件：BD=EF，可使四边形BEDF是矩形，
故答案为： （答案不唯一） .
14．如图，在四边形中，，，，若，，则 ．
【答案】
【解析】过点D作ED⊥CB于点E，如图所示：
∵，，∴四边形DEBA为矩形，
∵，，
∴DA=EB=2，EC=1，
∵，
∴∠EDC=45°，
∴EC=DE=1，
由勾股定理得，
故答案为：
15．如图，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，将矩形沿折叠，使点C、D分别落在点、处.若，则的长为 .
【答案】
【解析】如图所示，设C'E与AD交于点G，
∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C'、D'处，C'E⊥AD，
∴四边形ABEG和四边形C'D'FG是矩形，
∴，
∴在中，.
故答案为：.
16．如图，在矩形中，，E、F分别是边的中点，P是AD上 一点，，则的长为 .
【答案】5
【解析】如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵E、F分别是边的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形、四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形、四边形都是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，即AP的长为5.
故答案为：5.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：
（1）△ABF≌△DCE.
（2）四边形 ABCD 是矩形.
【答案】（1）证明：∵BE＝CF，BF＝BE+EF，CE＝CF+EF，
∴BF＝CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC．
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
（2）证明：△ABF≌△DCE，
∴∠B＝∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C＝180°．
∴∠B＝∠C＝90°．
∴四边形ABCD是矩形．
18．已知：如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.
（1）求证：四边形 EFGH 是矩形.
（2）若 EH=3cm，EF=4cm，求边 AD的长.
【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，
∴∠AHJ=∠EHJ，∠DHG=∠GHK，∠AEH=∠HEJ，∠BEF=∠JEF，∠EJH=∠A=∠FKG=90°，
∵∠AHJ+∠EHJ+∠DHG+∠GHK=180°，∠AEH+∠HEJ+∠BEF+∠JEF=180°，
∴2∠EHJ+2∠GHK=180°，2∠HEJ+2∠JEF=180°，
∴∠EHG=90°，∠HEF=90°，
同理可证∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形.
（2）解：在Rt△EHF中
，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=GF，
∵∠EHJ+∠GHK=90°，∠GHJ+∠HGK=90°，∠HGK+∠KGF=90°，∠HGK+∠KFG=90°，
∴∠EHJ=∠KFG，
在△EHJ和△GFK中
∴△EHJ≌△GFK（AAS），
∴HJ=KF=AH，
同理可证△HGK≌△FEJ，
∴EF=HK=HD，
∴AD=AH+DH=KF+HK=HF=5cm.
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC
∴，
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE⊥BC
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解： 由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
在Rt△ABE中，∠ABF＝，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形中，对角线AC，BD交于点O，
∴O是BD中点，
∴．
又∵四边形ADFE是矩形，
∴，
∴
20．如图所示，在中，E，F分别为边，的中点，连接，，，作，交的延长线于点G，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）解：∵F是边的中点，
∴．
∵，
∴．
又，
∴，
∴．
又，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴．
∵E、F分别为边、的中点，
又∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴四边形为平行四边形．
∴．
∴．
∴．即得．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
21．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
【答案】（1）解：证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积= AB AF= BF AE．
∴AE= = = ．
22． 如图， 的对角线、交于点，点是上一点，点在延长线上，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）连结、，如果，且恰好是的中点，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
（2）解：证明：如图所示：连接，
由得：，
，，
是的中点，
，
在和中，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形．
23． 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且。
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点.，若CE=4，CF=5，求DF的长。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴，
又，
∴
∴平行四边形ABCD为矩形
（2）解：如图，延长DA，CE交于点G，
∴四边形ABCD是矩形，
∴，AD∥BC，
∴，，
∵E是AB边的中点.
∴AB=BE
在△AGE和△BCE中
∴△AGE≌△BCE(AAS)
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
设，
根据勾股定理得，
即，
解得：，即
24．在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，点E是BD上的一点，∠AEB=∠BDC.
（1）如图1，求证：AE=CD；
（2）如图2， AFCE的顶点F在BD上，若OF=DE.
①求证：四边形AFCE是矩形；
②求的值.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是□，
∴AB∥CD
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠AEB=∠BDC
∴∠ABD=∠AEB
∴AE=CD
（2）解：①∵四边形ABCD是□，
∴OB=OD，AO=CO，∴AE=CF，AE∥CF
∴∠AEB=∠CFE，
∵∠AEB=∠BDC，
∴∠CFE=∠EDC
由（1）AE=CD，
∴CF=CD
在△COF和△CED中，
∴△COF≌△CED，
∴∠ACF=∠DCE，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，即∠ACE+∠ECD=90°，
∴∠ACE+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∵四边形ABCD是□，
∴四边形AFCE是矩形
②∵四边形ABCD是矩形，
∴OE=OF，OA=OC，∵OF=DE，则OE=DE=CE.
设CE=x，则AC=2x，在Rt△AEC中，，∴
在Rt△ACD中，根据勾股定理得，
∴
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