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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.1矩形（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠ACB=30°，则OD的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，将矩形 ABCD 沿对角线BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交AD 于点 F.已知∠BDC =62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．28° B．31° C．56° D．62°
4．如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD与BC重合，得到折痕EF，将纸片展平，再次折叠纸片，使点 A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，再展平纸片，连结 MN，BN.下列结论一定正确的是 （ ）
A．AE=MN B．AB=MB C．BM 与EN 互相平分 D．∠BNE=30°
5．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O，且分别交AB，CD 于点E，F，则阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，E是边 BC 上一点，且 DE=DA.若 AF⊥DE，垂足为 F，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB=AF B． C．△AFD≌△DCE D．BE=AD-DF
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(-2，1)，点C的纵坐标是4，点B的横坐标是，则矩形AOBC的面积为（ ）
A． B．5 C． D．3
8．如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，设与交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（ ）
A．1.5 B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，过点B作BF⊥EC，垂足为F.若CD=1，CF=2，则线段AE的长为（ ）
A． B．-1 C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在矩形 ABCD的边AD 上找一点 P，使点 P 到B，C两点的距离之和最短，则点 P 的位置应该在 .
（第11题） （第12题） （第13题）
12．出人相补原理是我国古代数学的重要成就之一最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形 ，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF+EG= ．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点和点分别落在轴和轴上，，，直线以每秒个单位长度向下移动，经过 秒该直线可将矩形的面积平分．
14．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点与点重合，点与点重合、两点均在上），折痕分别为、．若，，则线段的长为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．矩形中，E是的中点，将折叠后得到，延长交于点F，，，则的长为 ．
16．如图，将矩形 折叠，使点 和点 重合，折痕为 ， 与 交于点 .若 ， ，则 的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在矩形纸片 ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交AD 于点 F.
（1）求证：△AEF≌△CDF.
（2）求 DF 的长.
18．如图，、是矩形边上的两点，．
（1）若，则 °；
（2）求证：．
19．在矩形中，点在上，，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．如图，矩形的对角线、相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求矩形的面积．
21．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边 BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H.
（1）求证：四边形 AGPH 是矩形.
（2）在点 P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
22．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P从点A出发，以每秒 1个单位的速度沿A →B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．
（1）当t= 时，两点停止运动；
（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？
23．如图，在矩形中，，，点P在边上，连接，点A关于直线为对称点为，
（1）点落在边上，求的长
（2）点落在线段上，求的长；
（3）点到直线的距离等于的长，求的长．
24．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．
（1）证明：；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求的长．
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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.1矩形（1）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠ACB=30°，则OD的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB=OA，OB=OD，
∵∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴OB=AB=6，
∴OD=OB=6.
故答案为：A.
2．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形
∴AC=2OA=10，∠ADC=90°，
∴AD=
故答案为：D.
3．如图，将矩形 ABCD 沿对角线BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交AD 于点 F.已知∠BDC =62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．28° B．31° C．56° D．62°
【答案】C
【解析】∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，
∵将矩形 ABCD 沿对角线BD 折叠，点 C 落在点 E 处，
∴∠BDE=∠BDC=62°，∠E=∠C=90°，
∴∠EDF=∠EDB-∠FDB=62°-28°=34°，
∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-34°=56°.
故答案为：C.
4．如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD与BC重合，得到折痕EF，将纸片展平，再次折叠纸片，使点 A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，再展平纸片，连结 MN，BN.下列结论一定正确的是 （ ）
A．AE=MN B．AB=MB
C．BM 与EN 互相平分 D．∠BNE=30°
【答案】D
【解析】由折叠知：AM=MN，很显然AE≠MN，故A错误；
在Rt△ABM中，BM＞AB，故B错误；
由折叠及矩形的性质可得：四边形ABNM不是平行四边形，
∴ BM 与EN不互相平分 ，故C错误；
由折叠知：AB=BN，AE=BE，
∴BN=2BE，
在Rt△BEN中，则∠BNE=30° ，故D正确.
故答案为：D.
5．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O，且分别交AB，CD 于点E，F，则阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∴
故答案选：B.
6．如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，E是边 BC 上一点，且 DE=DA.若 AF⊥DE，垂足为 F，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB=AF B．
C．△AFD≌△DCE D．BE=AD-DF
【答案】B
【解析】∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC，∠C=90°，AB=CD，AD=BC，
∴ ∠ADF=∠CED，
∵ AF⊥DE，
∴ ∠AFD=∠C=90°，
∵ DE=DA，
∴ △AFD≌△DCE（AAS），故C项正确，
∴ AF=CD
∴ AB=AF，故A项正确，
∴ BE=BC-EC=AD-DF，故D项正确，
若 ，则∠ADF=30°，又∵∠ADF不一定为30°，故 不一定正确，故B项不一定正确.
故答案为：B.
7．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(-2，1)，点C的纵坐标是4，点B的横坐标是，则矩形AOBC的面积为（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】A
【解析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，于是ADHF是矩形，延长CA交x轴于点G，
∴HF=AD，AF=HD，
∵点A的坐标为（-2，1），点C的纵坐标为4，点B的横坐标为，
∴OD=2，AD=1，CH=4，OE=，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB=AC，AC∥OB，
∴∠CAF=∠CGO=∠BOE，
∵∠AFC=∠OEB=90°，
∴△AFC≌△OEB（AAS）
∴CF=BE，AF=OE=，
∵HF=AD=1，HC=4，
∴CCF=BE=CH-HF=3，OH=OD-DH=OD-AF=2-=，
∴HE=OH+OE=+=2，
∴矩形AOBC的面积=S梯形BCHE+S梯形ADHC-S△BEO-S△ADO
=（BE+CH）×EH-（AD+CH）×DH-×OE×BE-×AD×OD
=（3+4）×2+×（1+4）×-××3-×1×2
=4+--1
=.
故答案为：A.
8．如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，设与交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠BAD=90°.
∴∠1=∠2.
由折叠可知∠1=∠3，BE=ED，BO=DO.
∴∠2=∠3，
∴BE=BF=5.
∴AE=.
∴AD=AE+ED=AE+BE=4+5=9.
∴BD=
∵BO=OD，
∴OA=OB=BD=.
故答案为：C.
9．如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（ ）
A．1.5 B． C． D．
【答案】B
【解析】过F作FG⊥AC于点G，
∵CF平分∠ACD，
∴FD=GF.
由折叠可得AB=AE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，
∴CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°.
∵CD=AE，∠E=∠D=90°，∠AFE=∠CFD，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF=FC=2，
∴∠FAC=∠FCD.
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠FCD=∠FAC.
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠FCD=30°，
∴DF=CF=1，
∴CD==.
故答案为：B.
10．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，过点B作BF⊥EC，垂足为F.若CD=1，CF=2，则线段AE的长为（ ）
A． B．-1 C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把△BCM沿CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，
∴BC=EC，
在△BFC和△CDE中 ∴△BFC≌△CDE（AAS）
∴DE=CF=2，
∴CE=，
∴AD=BC=CE=，
∴AE=AD-DE=-2.
故答案为：-2.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在矩形 ABCD的边AD 上找一点 P，使点 P 到B，C两点的距离之和最短，则点 P 的位置应该在 .
【答案】AD的中点处
【解析】作点B关于AD的对称点B′，连接B′C，交AD于点P，
∴AB′=AB，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=AB′，∠BAD=∠B′AP=∠D=90°，
在△APB′和△DCP中 ∴△APB′≌△DCP（AAS），
∴AP=PD，
∴点P在AD的中点处.
故答案为：AD的中点处
12．出人相补原理是我国古代数学的重要成就之一最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形 ，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF+EG= ．
【答案】
【解析】连接OE，
四边形ABCD是矩形，AB=5，AD=12，由勾股定理得，
，，
，
即，解得.
故答案为：.
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点和点分别落在轴和轴上，，，直线以每秒个单位长度向下移动，经过 秒该直线可将矩形的面积平分．
【答案】2
【解析】∵AO=4，CO=2，∴矩形OABC的中心（2，1），
设将直线y=x+1向下平移m个单位长度，即y=x+1-m，
令2+1-m=1，解得：m=2；
m÷1=2÷1=2秒，
故答案为： 2.
14．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点与点重合，点与点重合、两点均在上），折痕分别为、．若，，则线段的长为 ．
【答案】3
【解析】∵ 四边形ABCD为矩形
∴ AB=CD=6cm，∠C=90°
∵ BC=8cm
∴ BD=10cm
∵把矩形按如图方式折叠，
∴
∴ BE=DF=AB=CD=6cm，CG=FG，∠BFG=∠DFG=∠C=90°
∴ EF=BE+DF-BD=2cm
∴ BF=4cm
在中，
即：
解得：FG=3
则线段的长为3cm
15．矩形中，E是的中点，将折叠后得到，延长交于点F，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图，连接EF，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=CF+FD=3，∠A=∠C=∠D=90°，
由折叠得∠A=∠BGE=90°，AE=EG，BG=AB=3，
∴ED=EG，∠D=∠EGF=90°，
在Rt△DEF与Rt△GEF中，
∵ED=EG，EF=EF，
∴Rt△DEF≌Rt△GEF（HL），
∴DF=GF=2，
∴BF=BG+GF=5，
在Rt△BCF中，.
故答案为：.
16．如图，将矩形 折叠，使点 和点 重合，折痕为 ， 与 交于点 .若 ， ，则 的长为 .
【答案】
【解析】∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，由折叠得， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠得， ， ，
∴ ，
在 中，
，
在 中，
，
∴ ，
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在矩形纸片 ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交AD 于点 F.
（1）求证：△AEF≌△CDF.
（2）求 DF 的长.
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵ △ABC沿AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交AD 于点 F，
∴ AE=AB，∠E=∠B，
∴ ∠E=∠D，AE=CD，
∵ ∠AFE=∠CFD，
∴ △AEF≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC=6，CD=AB=4，
∵ △AEF≌△CDF，
∴ AF=CF，
∴ DF+CF=6，即CF=6-DF，
∴ DF2+CD2=CF2，即DF2+42=(6-DF)2，
解得：DF=.
18．如图，、是矩形边上的两点，．
（1）若，则 °；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【解析】 (1) ∠AFB＝∠DAF，若 则 ∠DAF＝55+7∠DAB=55+7×90°=37. 5°故填：37.5
19．在矩形中，点在上，，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形中，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴在中，
20．如图，矩形的对角线、相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求矩形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形
∴，
∵
∴四边形为平行四边形
∴
∵
∴
（2）解：∵四边形是矩形
∴，，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴在中，
∴
21．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边 BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H.
（1）求证：四边形 AGPH 是矩形.
（2）在点 P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）略
（2）存在.
【解析】(1)证明：AC=9 AB=12 BC=15,
∴ AC =81，AB =144，BC =225，
∴ AC +AB =BC ,
∴ ∠A=90°.
∵ PG⊥AC，PH⊥AB,
∴ ∠AGP=∠AHP=90°,
∴ 四边形AGPH是矩形;
(2)存在. 理由如下:
连结AP.
∵ 四边形AGPH是矩形，
∴ GH=AP.
∵ 当AP⊥BC时AP最短.
∴ 9x12=15AP.
AP=，所以GH=时，GH的长是最小值.
22．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P从点A出发，以每秒 1个单位的速度沿A →B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．
（1）当t= 时，两点停止运动；
（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？
【答案】（1）7
（2）分情况讨论：
当0当4当6综上所述，当t为2或时，△BPQ是等腰三角形．
【解析】(1)四边形是矩形，，，
，，
，，
当时，两点停止运动.
故答案为：7.
23．如图，在矩形中，，，点P在边上，连接，点A关于直线为对称点为，
（1）点落在边上，求的长
（2）点落在线段上，求的长；
（3）点到直线的距离等于的长，求的长．
【答案】（1）解：点落在边上，如下图所示．
∵点A与点关于对称，
∴．
由得，，
∴．
∴．
（2）解：点落在线段上，如下图．
根据矩形的对边相等可得：．
设．则．
∵点A与点关于对称，
，则．
在直角中，．
在直角中，由勾股定理得：
，即
∴，
解得：．
（3）解：点到直线的距离等于的长，自点作，垂足为H，则依题意知，．自点作BC的垂线交于点M、交于点N，垂足为点N．则因，
∴，垂足为点N．
∵点A与点关于对称，
∴，并设．
又四边形、四边形、四边形均有三个角为直角，故均是矩形．
∴．
在直角中，，
∴．
则．
．
在直角△A′MP中， ，，，
由勾股定理得：．
解得：．
24．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．
（1）证明：；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
∴；
（2）解：∵，
∴，
又
∴，
∵
∴，
∴，
由（1）可得
则是等边三角形，
在中，设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，则，，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∴的面积为
（3）解：∵，，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，则，
如图所示，延长，使得，则是是中位线，，，
∴，
在中，，，
∴
∴
∴，，
则，
∴，
如图所示，过点作，则四边形是矩形，
∴，，
在中，．
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