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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.2菱形（2）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，AC 是 ABCD 的对角线，若当它满足：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠B=∠3；④∠1=∠3 中某一条件时， ABCD是菱形，则这个条件是 （ ）
A．①或② B．①或④ C．②或③ D．③或④
【答案】B
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB=BC，
∴ ABCD 是菱形.①符合题意；
②∵AD//BC，一定有∠2=∠3.②条件多余，不能证明菱形，不符合题意；
③∵∠B=∠3，
∴AB=AC，不能得到一组邻边相等，所以不能证明菱形，不符合题意；
④∵∠1=∠3，
∴AB=BC，
∴ ABCD 是菱形.④符合题意；
故答案为：B
2．用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、由作图知：AC⊥BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
B、由作图知：AB=BC，AD=AB，即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
C、由作图知，只能判定四边形是平行四边形，符合题意；
D、由作图知：AC平分∠BAD、∠DCB，由全等三角形的性质可得AB=BC=CD=AD，即四边相等的四边形是菱形，不符合题意.
故答案为：C.
3．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相等且互相垂直
【答案】C
【解析】A、 两条对角线相等不能判定四边形是菱形，故此选项不符合题意；
B、两条对角线互相垂直不能判定四边形是菱形，故此选项不符合题意；
C、两条对角线互相垂直平分能判定四边形是菱形，故此选项符合题意；
D、两条对角线相等且互相垂直不能判定四边形是菱形，只能判定是矩形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
4．现有一矩形，借助此矩形作菱形，两位同学提供了如下方案：
方案I： 取边的中点，顺次连接这四点，围成的四边形即为所求． 方案II： 连接，作的垂直平分线交于点，连接，四边形即为所求．
对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．I可行、Ⅱ不可行 B．I不可行、Ⅱ可行
C．I、Ⅱ都可行 D．I、Ⅱ都不可行
【答案】C
【解析】方案Ⅰ：
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD =BC，∠A= ∠B= ∠C= ∠D，
∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点，∴AE =BE =DG=CG，AH =DH =BF=CF，
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，∴EH =EF= GF= GH，
∴四边形EFGH是菱形，
∴方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：
如图所示：令AC与EF的交点为O，
∴∠AOF= ∠COE = 90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴CE//AF，∴∠FAO=∠ECO，
∵OA=OC，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC，EF是对角线，且AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∴方案Ⅱ可行；
综上所述：方案Ⅰ、Ⅱ都可行，
故答案为：C.
5．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（ ）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【解析】当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
即∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：A．
6．如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，点M在边BC上，且BM=1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】作点C关于AB的对称点C'，连接AC'，BC'，取AN'=AN，连接PN'，
则CA=C'A=CB=BC'，
∴四边形ACBC'是菱形，∴PN=PN'，∴PM+PN=PM+PN'，
∴当M、P、N'共线，且MN'⊥AC'时，PM+PN最小，
过点C'作C'H⊥BC于H，
∵∠ACB=120°，∴∠C'BH=60°，
∴C'H=BC'=2，
∴PM+PN的最小值为BC和AC'之间的距离即为C'H为2.
故答案为：B.
7．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE＝3，BF＝1，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴∠AEF=∠CFE，
∵∠AEF=∠CEF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∵图形翻折后EC与AE完全重合，
∴AE=CF，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵CE=CF，
∴四边形CEAF是菱形.
， ，
故答案为：A.
8．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．16
【答案】D
【解析】∵两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC，∠AGB＝30°
∴，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
四边形周长为16．
故答案为：D．
9．如图，在四边形中，，，，点G为上一点，，且平分，点E为中点，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，
∴四边形ABGD是平行四边形，∠ADB＝∠CBD，∠ADC＝180°－∠BCD＝90°，
∵ ，
∴四边形ABGD是菱形，
∴BG＝DG＝2，
∴∠BDG＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠BDG＝∠CBD，
∵ 平分 ，
∴∠CDG＝∠BDG，
∴∠CDG＝∠BDG＝∠ADB＝∠CBD＝ ∠ADC＝30°，∠BDC＝60°，
∵ ，
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，故①符合题意，
∵∠CDG＝30°，
∴CG＝ DG＝1，
∴CD＝ ，故②不符合题意，
∵ ， ，
∴ ，故③符合题意．
∵点E为 中点，
∴CE＝BE＝DE＝ BD，
∵∠BDC＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，故④符合题意，
综上，正确的有①③④，
故答案为：C
10．如图 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD=4OE.③四边形AECF是菱形④其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．②③④
【答案】A
【解析】①∵点E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AB⊥AC；故结论正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点，AD=BC，
∵点E为BC的中点，
∴OE∥AB，BC=2CE，
由①得：AB⊥AC，
∴OE⊥AC，则∠EOC=90°，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=CE，
由①得：∠ECA=30°，
∴BC=2AB，
∴AD=BC=4OE，故结论正确；
③在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB⊥AC，E为BC中点，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故结论正确；
④在平行四边形ABCD中，AO=CO，
∵点E为BC中点，
∴S△BOE=S△BOC=S△ABC，故结论正确.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，两条宽都为的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】过点A作EA⊥CB于点E，AF⊥CD于点F，如图所示：
由题意得CB∥DA，CD∥BA，
∴重叠的四边形为平行四边形，
∴∠EBA=∠FDA=60°，
∵FA=EA，∠DFA=∠BEA，∠FDA=∠EBA，
∴△FDA≌△EBA（AAS），
∴DA=BA，
∴重叠的四边形为菱形，
∴，
设EB=a，BA=2a，
由勾股定理得，
解得，
∴CB=BA=，
∴重叠四边形的面积为，
故答案为：
12．若菱形ABCD的两条对角线的长分别为一元二次方程 的两个实数根，则菱形ABCD的面积为 .
【答案】6
【解析】∵AC、BD的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个实数根，
∴AC BD=12，
∴菱形的面积=AC BD=6．
故答案为：6．
13．如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密铺可得到如图②所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足的条件是 ．
【答案】AC=BD
【解析】∵ 密铺后的平行四边形为矩形 ，∴密铺后的平行四边形四个角均为直角，
∴EG⊥FH，
连接EF、FG、GH、EH，AC、BD，设EG交FH于点O，
∵点EFGH分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF∥AC∥GH，EF=GH=AC，GF=BD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵EG⊥FH，∴平行四边形EFGH为菱形，
∴EF=FG，
EF=AC，GF=BD，
∴AC=BD，
∴ 四边形需要满足的条件AC=BD；
故答案为：AC=BD.
14．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2020＝__．
【答案】
【解析】∵ △ABC是等边三角形 ，且边长为1，
∴AB=BC=AC=1，
∵E是BC的中点， ED∥AB ， EF∥AC ，
∴D、F分别是AC、AB的中点，
∴AD=AC=，AF=AB=，DE=AB=，EF=AC=，
即AD=DE=EF=AF，
∴四边形ADEF是菱形，
∴四边形ADEF的周长C1=4×=2，
同理可求出四边形E1D1FF1的周长C2 =4×=1，······，
∴Cn=4×，
∴C2020＝4× ；
故答案为：.
15．如图，菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，点E，F分别是AB，BC边上的动点（不与点A，B，C重合），且BE＝BF，若EG∥BC，FG∥AB，EG与FG相交于点G，当△ADG为等腰三角形时，BE的长为 .
【答案】4﹣ 或
【解析】如图，连接AC交BD于O，
∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝4，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，
∵EG∥BC，FG∥AB，
∴四边形BEGF是平行四边形，
又∵BE＝BF，
∴四边形BEGF是菱形，
∴∠ABG＝30°，
∴点B，点G，点D三点共线，
∵AC⊥BD，∠ABD＝30°，
∴AO＝ AB＝2，BO＝ AO＝2 ，
∴BD＝4 ，AC＝4，
同理可求BG＝ BE，
若AD＝DG'＝4时，
∴BG'＝BD﹣DG'＝4 ﹣4，
∴BE'＝4﹣ ，
若AG''＝G''D时，过点G''作G''H⊥AD于H，
∴AH＝HD＝2，
∵∠ADB＝30°，G''H⊥AD，
∴HG''＝ ，DG''＝2HG''＝ ，
∴BG''＝BD﹣DG''＝ ，
∴BE''＝ ，
综上所述：BE为4﹣ 或 .
16．如图，四边形是平行四边形，，点 E为的中点，连接，点F为线段 上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】 解：连接DE，BD，如下图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，且CD=CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=4，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵点E为BC的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，线段DF长度的最小，
∵，
∴，
∴解得，
∴线段DF长度的最小值为.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 ABCD中，E 为边 BC 上的一点，连结AE，BD，且AE=AB.
（1）求证：∠ABE=∠EAD.
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形 ABCD 是菱形.
【解析】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB．
∴∠ABE=∠EAD．
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE．
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠ADB．
∴∠ABD=∠ABE－∠DBE=2∠ADB－∠ADB=∠ADB．
∴AB=AD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
18．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC 的垂线，分别交 AB，DC 于点E，F，连结AF，CE.
（1）若 求EF的长.
（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解： ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AB//CD，DO=BO，AO=CO
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∴△FDO≌△EBO(AAS).
∴，
∴EF=3.
（2）解：四边形 AECF 是菱形.理由如下：
由（1）得AO=CO，FO=EO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形.
19．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
20．已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点O，平分，过点D作分别交、于点E、F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，四边形为平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴
过点分别作，垂足分别为：，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
21．人教版数学八年级下册教材的数学活动折纸，引起许多同学的兴趣实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开：以为折痕再一次折叠纸片，使点落在折痕上的点处，把纸片展开，连接．
（1）求；
（2）如图，折叠矩形纸片，使点落在边上点处，并且折痕交边于点，交边于点把纸片展开，连接交于点，连接求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
垂直平分，
，
以为折痕再一次折叠纸片，使点落在折痕上的点处，
，，
，
为等边三角形，，
，
（2）证明：折叠矩形纸片，使点落在边上点处，
垂直平分，
，，
∵，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
22．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，四边形ABQP成为矩形？
（2）当t= 时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
【答案】（1）
（2）或4
（3）解：四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD∥BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得16-t=22-3t，
解得：t=3，
当t=3时，PD=BQ=13，BP====≠13，
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意，得，解得．
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．
【解析】 (1)、 由题意，AP=t，BQ=22-3t
当AP=BQ时，即t=22-3t，此时t=，四边形ABQP为矩形。
(2)、 矩形是特殊的四边形，故 (1)的结论是本题的答案之一，当PD=QC时，四边形PQCD是平行四边形，此时PD=16-t，QC=3t，16-t=3t，解得t=4
故填：或4，
23．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴相交于点，与轴相交于点，为直线上一点，四边形是平行四边形，且，．
（1）求直线的函数解析式；
（2）点从点出发，沿路线以每秒3个单位的速度匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动时间为秒，在运动过程中是否存在点使的面积为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，
则，解得，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，轴，
∴四边形是菱形，，
∵，∴，∴，
当点M在BC上，，
若存在，则，
即，解得：，
∴，
∴；
当点M在上，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，解得，
∴，
此时，点M为的中点，
∵，
∴；
综上，存在点M，使的面积为，点的坐标为或．
24．在矩形中，，对角线相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，连接．
（1）如图，求证：四边形是菱形；
（2）当点分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如果是等腰三角形，直接写出的长度．
【答案】（1）证明：∵矩形，
∴与互相平分，且，
∴，
在中，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵菱形，
∴，设，则，
在中，，
∴，得，即，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，即，
∵，且，
∴，
∴，
∴关于的函数关系式为：．
（3）或
【解析】（3）①如下图所示：
当点E在线段AD上时，ED=EO，则Rt△CED≌Rt△CEO (HL)，
∴CD=CO=AO=，
∴；
如下图所示：
当点E在线段AD的延长线上时，DE=DO，
∵DE=DO=OC，EC=CE，
∴Rt△ECD≌Rt△CEO(HL)，
∴CD=EO，
∵∠DAC=∠EAO，∠ADC=∠AOE=90°，
∴△ADC≌△AOE (AAS) ，
∴AE=AC，
∵EO垂直平分线段AC，
∴EA=EC，
∴EA=EC=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AD=CD·tan30°=1，
综上所述：AD的长度为3或1.
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浙教版2023-2024学年八下数学第5章特殊平行四边形 5.2菱形（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，AC 是 ABCD 的对角线，若当它满足：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠B=∠3；④∠1=∠3 中某一条件时， ABCD是菱形，则这个条件是 （ ）
A．①或② B．①或④ C．②或③ D．③或④
（第1题） （第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
2．用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相等且互相垂直
4．现有一矩形，借助此矩形作菱形，两位同学提供了如下方案：
方案I： 取边的中点，顺次连接这四点，围成的四边形即为所求． 方案II： 连接，作的垂直平分线交于点，连接，四边形即为所求．
对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．I可行、Ⅱ不可行 B．I不可行、Ⅱ可行
C．I、Ⅱ都可行 D．I、Ⅱ都不可行
5．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（ ）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
6．如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，点M在边BC上，且BM=1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
7．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE＝3，BF＝1，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
8．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．16
9．如图，在四边形中，，，，点G为上一点，，且平分，点E为中点，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD=4OE.③四边形AECF是菱形④其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．②③④
（第9题） （第10题） （第11题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，两条宽都为的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 ．
12．若菱形ABCD的两条对角线的长分别为一元二次方程 的两个实数根，则菱形ABCD的面积为 .
13．如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密铺可得到如图②所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足的条件是 ．
14．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2020＝__．
15．如图，菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，点E，F分别是AB，BC边上的动点（不与点A，B，C重合），且BE＝BF，若EG∥BC，FG∥AB，EG与FG相交于点G，当△ADG为等腰三角形时，BE的长为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
16．如图，四边形是平行四边形，，点 E为的中点，连接，点F为线段 上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 ABCD中，E 为边 BC 上的一点，连结AE，BD，且AE=AB.
（1）求证：∠ABE=∠EAD.
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形 ABCD 是菱形.
18．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC 的垂线，分别交 AB，DC 于点E，F，连结AF，CE.
（1）若 求EF的长.
（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.
19．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
20．已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点O，平分，过点D作分别交、于点E、F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
21．人教版数学八年级下册教材的数学活动折纸，引起许多同学的兴趣实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开：以为折痕再一次折叠纸片，使点落在折痕上的点处，把纸片展开，连接．
（1）求；
（2）如图，折叠矩形纸片，使点落在边上点处，并且折痕交边于点，交边于点把纸片展开，连接交于点，连接求证：四边形是菱形．
22．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，四边形ABQP成为矩形？
（2）当t= 时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
23．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴相交于点，与轴相交于点，为直线上一点，四边形是平行四边形，且，．
（1）求直线的函数解析式；
（2）点从点出发，沿路线以每秒3个单位的速度匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动时间为秒，在运动过程中是否存在点使的面积为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
24．在矩形中，，对角线相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，连接．
（1）如图，求证：四边形是菱形；
（2）当点分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如果是等腰三角形，直接写出的长度．
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