浙教版八年级下册数学5.1矩形练习（含解析）

浙教版八年级下册数学5.1矩形练习
一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
3．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，：：，且，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，B的对应点为E，AE与CD相交于点F.若∠FCE=40°，则∠CAB的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．40°
6．如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= AC.④∠1=∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有 （　　）
A．① B．①②③ C．②③④ D．①②③④
7．如图，矩形中，，，点P为平面内一点，且，点Q为CD上一个动点，则的最小值为（　　）
A．11 B． C． D．13
8．已知，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：
①；②当点和点互相重合时，；③；④．正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，已知ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为一个矩形．你添加的条件是__．
10．已知矩形的面积是 ，其中一边长为 ，则对角线长为　 　．
11．如图．将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8．则BF的长是　 　．
12．如图，已知矩形ABCD，，，E为CD边上一点，，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为　 　时，是以PE为腰的等腰三角形．
三、解答题
13．如图，在 中， 于E，点F在边 上， ，求证：四边形 是矩形.
14．如图， 四边形是矩形， 把矩形沿对角线折叠， 点落在点处，与相交于点．
（1）求证∶
（2）若求的面积．
15．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边 BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H.
（1）求证：四边形 AGPH 是矩形.
（2）在点 P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。
【解答】矩形是一个特殊的平行四边形，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有。
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：D.
【分析】矩形的判定定理有：对角线相等的平行四边形是矩形；一个角是直角的平行四边形是矩形；结合题意分别判断即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=2OA=10，∠ADC=90°，
∴AD=
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得AC=2OA=10，∠ADC=90°，进而根据勾股定理直接计算即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OD=OC，∠ADC=
∵：：
∴∠EDC+∠EDA=3∠EDC=
∴∠EDC=
又∵DEAC
∴∠ECD=
∵OD=OC，∠ECD=
∴是等边三角形
∴OC=2EC
设EC=x，则在含角得直角三角线中，DC=2x；
∴=，解得x=2
∴AC=2OC=4EC=8
故答案为：C.
【分析】根据矩形得性质，可得OA=OD=OC，∠ADC=；根据角得比例关系，可得∠EDC=；根据等边三角形得判定和性质，可得OC=2EC；根据含角得直角三角线得性质，可得DC=2x；最后根据勾股定理，可得EC的值，进而可得AC的值.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由折叠的性质得： ∠ACE=∠ACB，
∵∠FCE=40°，∠DCB=90°，
∴∠ECB=∠FCE+∠DCB=130°，
∴，
∴∠CAB =90°-∠ACB=90°-65°=25°.
故答案为：C.
【分析】由折叠的性质及矩形的性质可得∠ECB=130°，，结合余角的性质即可得解.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
②∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∵OBAC，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
综上所述，能判断 ABCD是矩形的有4个，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质和矩形的判定方法分别对各个条件进行判断即可解答．
7．【答案】A
8．【答案】C
【解析】【解答】解： ①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
由旋转可知：DE=DF，∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠FDG，
∵FG⊥CD，
∴∠DAB=∠FGD=90°，
∴△ADE≌△GDF（AAS），故正确；
②当点H和点G互相重合时，如图，
由旋转可知：DE=DF，∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEG=45°，
∵G是EF的中点，FG⊥DC，
∴DG平分，
∴∠GDE=∠FDE=45°，
∴∠ADE=∠ADG-∠GDE=45°，
∴∠AED=90°-∠ADE=45°，
∴AE=AD=BC=6，故正确；
③由旋转可知：DE=DF，
∵H是EF的中点，
∴DH平分∠EDF，
∴∠DHF=90°，
∵FG⊥DC，
∴∠FGD=90°
∴∠GFH=∠HDC，故错误；
④点E从点A运动到B的过程中，点H在∠DAB的平分线上运动，当点E在点A处时，AH最短为；当点E在点B处时，AH最长为，所以，故正确.
故答案为：C.
【分析】 ① 利用旋转的性质和矩形的性质，可证明 △ADE≌△GDF ；
②通过证明△ADE是等腰直角三角形，可知AD=AE，由矩形的性质可知AD=BC，故可得AE=6；
③可证明∠GFH=∠HDC，但不能说明；
④ 通过运动，发现点H的运动路径，再求解.
9．【答案】AC＝BD（答案不唯一）
【解析】【解答】解：添加的条件是AC =BD(答案不唯一)，
理由如下：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC = BD(答案不唯一).
【分析】利用矩形的判定方法证明即可。
10．【答案】
【解析】【解答】解：∵矩形的面积是 ，其中一边长为 ，
∴另一边＝ ，
∴对角线长＝ ．
故答案为： ．
【分析】先运用矩形面积公式求出它的另一边，再运用勾股定理求出对角线即可．
11．【答案】4
【解析】【解答】解：依题意，AE=EF=AB-BE=8-3=5；
在Rt△BEF中，EF=5，BE=3，
故答案为：4.
【分析】根据折叠的性质得出EF的长，再根据勾股定理求解即可．
12．【答案】或
13．【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD DF＝BC BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，结合已知得AF＝CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由垂线定义得∠AEC＝90°，再根据一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形AECF是菱形.
14．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
又由折叠可知，
，
（2）解：在中，，
，
又，
在中，由勾股定理可得，解得，
，
15．【答案】（1）略
（2）存在.
【解析】【解答】(1)证明：AC=9 AB=12 BC=15,
∴ AC =81，AB =144，BC =225，
∴ AC +AB =BC ,
∴ ∠A=90°.
∵ PG⊥AC，PH⊥AB,
∴ ∠AGP=∠AHP=90°,
∴ 四边形AGPH是矩形;
(2)存在. 理由如下:
连结AP.
∵ 四边形AGPH是矩形，
∴ GH=AP.
∵ 当AP⊥BC时AP最短.
∴ 9x12=15AP.
AP=，所以GH=时，GH的长是最小值.
【分析】(1)根据“矩形的定义”证明结论;
(2)连结AP.当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值
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