浙教版数学八年级下册5.3正方形培优练习（含解析）

浙教版数学八年级下册5.3正方形培优练习
一、选择题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
2．如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为 （　　）
A．37.5° B．30° C．22.5° D．12.5°
3．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　）
A．1 B． C． D．
4．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
5．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF.若EF＝2，则BF2＝（　　）
A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
6．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为.若，，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，不 添 加任何 辅 助线，请 添加一个条件：　 　，使得四边形ABCD 是正方形.
8．如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点B的坐标为　 　．
9．勾股定理被合为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵夹弦图”（如图①所示）．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，若，则的值是　 　．
10．如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连接，．若，，则的面积为　 　．
三、解答题
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
12．如图，是的一条角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，当 ▲ 度时，四边形为正方形并证明．
13．如图，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到（点的对应点为点），延长交于点。
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长。
14．如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE右侧作正方形AEFG．
（1）如图1，若EF与CD交于点H，且∠EHD＝125°，求∠BAG的度数；
（2）连接DG，求证：C、D、G三点共线；
（3）如图2，当点E是线段BC中点，连接CF，求线段CF的长．
15．在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．
（1）四边形如图1所示，四边形是　 　（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；　 　（填“”或“”）；
（2）四边形如图2所示，且，四边形是 ▲ （填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗 若成立，请说明理由．
（3）四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠BAE=45°，
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=67.5°，
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC=90°，∠BAE=45°，由等腰三角形的性质可得∠ABE=67.5°，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE即可求得.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，
∴S阴= S正方形ABCD= ，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的轴对称性得出四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，从而得出答案。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴BC2=AB2-AC2=132-122=25，
S阴影=BC2=25.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出BC2值，再由勾股定理求出阴影部分面积即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，
设正方形的边长为x，
∵EF＝2，
∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，
∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，
解得x＝22，
∴FC＝x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴FG＝CG，
∴BG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4.
故答案为：D.
【分析】过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知：DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，则DE=2，EC＝x-2，AC=x，根据勾股定理可得x，进而得到FC、FG、BG，然后利用勾股定理进行计算.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：连接、，，
由题意可知：，，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
则：，
∴四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴C，F，H在同一直线上，
又∵，
∴，
∵
∴，则，
∴四边形是正方形，
∴D，G，F在同一直线上；A，E，G在同一直线上；B，H，E在同一直线上；
设，
则，，
∵，即：，
∴，（负值已舍去）
∴，
故答案为：D.
【分析】连接GF、HF、HE，由题意可得DE=CG=BF=AH，DG=CF=BH=AE，∠ADE=∠DCG=∠CBF=∠BAH，∠DAE=∠CDG=∠BCF=∠ABH，根据正方形的性质可得∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，推出∠EDG=∠GCF，利用SAS证明△EDG≌△GCF，同理可证△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE，得到EG=GF=FH=HE，推出四边形EGFH为菱形，根据全等三角形的性质可得∠BHC=∠CFG=∠DGE=∠AEH=90°，得到四边形EGFH为正方形，设DG=CF=BH=AE=x，根据三角形的面积公式表示出S1、S2，结合可得x的值，然后根据S阴影=4S1进行计算.
7．【答案】∠BAD=90°(答案不唯一)
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴当∠BAD=90°或BD=AC时， 四边形ABCD是正方形.
故答案为：∠BAD=90°(答案不唯一).
【分析】有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此解答即可.
8．【答案】（2，3）
【解析】【解答】解：过点B做BE垂直于y轴，交y轴于点E，如下图：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°
∵BE⊥y轴，OD⊥y轴
∴∠EBA+∠EAB=∠EAB+∠OAD
∴∠EBA=∠OAD
同理，可得∠EAB=∠ODA
∵∠EBA=∠OAD，AB=AD，∠EAB=∠ODA
∴△BEA≌△AOD
∴BE=OA，AE=OD
∵A（0，2），D（1，0）
∴BE=OA=2，AE=OD=1
∴点B的坐标为（2，3）
故答案为：（2，3）.
【分析】根据正方形的性质，可得AB=AD，∠BAD=90°；根据等量代换原则，可得∠EBA=∠OAD，∠EAB=∠ODA；根据三角形全等的判定和性质，可得BE=OA，AE=OD；根据点在坐标中的位置，可以确定点B的坐标.
9．【答案】43
【解析】【解答】解：设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，S1+S2+S3=129，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=129，
故3x+12y=129，
x+4y=43，
∴S2=x+4y=43，即正方形EFGH的面积为43．
故答案为43．
【分析】设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，利用正方形的性质可得S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，再结合，可得3x+12y=129，求出x+4y=43，最后求出S2=x+4y=43即可。
10．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点E作于点H，则，，，
∴，
∴，
已知：，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】由正方形的性质及SAS可证明，可得，过点E作于点H，则，，再用AAS证明，可得，根据，结合勾股定理可建立方程，解得，即可得解．
11．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF
【解析】【分析】根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，然后利用SAS判断出△ABE≌△BCF。
12．【答案】（1）证明：∵交于点E，交于点F．
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∵是的一条角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴FA=FD，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，此时∠C=55°，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
由（1）可得四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形，
∵∠B=35°，∠BAC=90°，
∴∠C=55°，
故答案为：55°.
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义及等量代换可得∠ADF=∠FAD，利用等角对等边的性质可得FA=FD，再结合四边形AEDF是平行四边形，可得四边形AEDF是菱形；
（2）根据△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，四边形AEDF是菱形，可得四边形AEDF是正方形，再结合∠B=35°，∠BAC=90°，求出∠C=55°即可.
13．【答案】（1）解：四边形是正方形．理由如下：
是由绕点逆时针方向旋转得到的，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
由旋转可知，
四边形是正方形。
（2）解：四边形是正方形，
，
在Rt中，，
由勾股定理得，
或（舍去），
，
，
，
【解析】【分析】（1）先根据旋转得到， 再结合题意求出，进而根据矩形的判定结合正方形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的性质得到，再运用勾股定理求出BF，进而结合题意求出AF，从而根据三角形全等的性质即可求解。
14．【答案】（1）解：∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF＝∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEH﹣∠EHD＝360°﹣90°﹣90°﹣125°＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BAG＝∠EAG+∠BAE＝90°+35°＝125°；
（2）证明：连接DG，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G三点共线；
（3）解：过点F作FK⊥BC，交BC的延长线于点K，连接CF，
则∠EKF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝EF，∠B＝∠AEF＝90°，
∴∠B＝∠EKF，
∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEK＝90°，
∴∠BAE＝∠FEK，
∴△AEB≌△EFK（AAS），
∴BE＝FK，AB＝EK＝5，
∵点E是线段BC的中点，
∴BE＝EC＝×5＝，
∴FK＝CK＝，
∵∠CKF＝90°，
∴△CFK是等腰直角三角形，
∴CF＝FK＝．
15．【答案】（1）菱形；=
（2）解：同理可得，四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形；
过点P作MN⊥BC交AD于点M，交BC于点N，如图所示：
∴AB//MN，
∴∠ABP=∠BPN，
∵PEPB，PN⊥BE，
∴PN平分∠BPE，
∴∠BPN=∠EPN，
∴∠ABP=∠EPN，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠EPN=∠ADP，
∵∠PMD=90°，
∴∠DPM+∠PDM=90°，
∴∠DPM+∠EPN=90°，
∴∠DPE=180°-（∠DPM+∠EPN）=180°-90°=90°，
∴∠DPE=∠ABC；
故答案为：正方形；∠DPE=∠ABC；
（3）解：
【解析】【解答】（1）设CD、PE相交于点F，如图所示：
根据轴对称的性质可得：AD=AB，BC=CD，PB=PD，
∵BA=BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠ABC=∠DCE，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SSS），
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEC，
∴PDC=∠PEC，
∵∠PFD=∠CFE，
∴∠DPE=∠DCE，
∴∠DPE=∠ABC，
故答案为：菱形；=；
（3）∵PE=PB，，
∴∠PBE=，
∵，
∴∠APB=∠ACB+∠PBE=，
同理可证：△BCP≌△DCP，
∴∠BPC=∠DPC，
∴∠APB=∠APD=，
∴∠DPB=∠APD+∠APB=2（）=，
故答案为：.
【分析】（1）利用轴对称的性质及等量代换可得AB=BC=CD=AD，即可证出四边形ABCD是菱形，再利用“SSS”证出△BCP≌△DCP可得∠PBC=∠PDC，再利用等量代换可得∠DPE=∠ABC；
（2）结合∠ABC=90°，可证出菱形ABCD是正方形；过点P作MN⊥BC交AD于点M，交BC于点N，再利用角的运算和等量代换可得∠DPE=180°-（∠DPM+∠EPN）=180°-90°=90°，即可证出∠DPE=∠ABC；
（3）先利用角的运算求出∠APB=∠ACB+∠PBE=，再结合∠APB=∠APD=，求出∠DPB=∠APD+∠APB=2（）=即可.
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