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浙教版八年级数学下册第4章《平行四边形》单元复习与检测
时间：100分钟 总分：120分
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为（ ）
A．6cm B．3cm C．9cm D．12cm
3．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2
4.如图，已知 ABCD的周长为20，∠ADC的平分线DE交AB于点E，若AD＝4，则BE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
5．如图，下面不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD∥BC B．AB＝CD，AB∥CD
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝CD，AD＝BC
如图，中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件，使，
则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
如图，是内一点，，，，，
，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9 .如图，在Rt△ABC中，，，，点P为BC上任意一点，
连结PA，以PA、PC为邻边作PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．5
如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S ABCD＝AC CD；④S四边形OECD＝S△AOD，
其中成立的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
12.如图，某公园有一块三角形空地，米，沿放置一道栅栏把分成两个区域
种植不同的花卉，点、分别是、的中点，则栅栏的长为 米．
13．如图平行四边形中，线段长，这个平行四边形的面积是 ．
14．如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O与相交于点，若，，，那么四边形的周长是 ．
如图，在图1中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，
在图2中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，…，按此规律，
则第n个图形中平行四边形的个数共有 个．
如图，O是平面直角坐标系原点，，，，，P为线段上一个动点，
连结并延长至点E，使得点E落在直线上，以，为邻边作，
则对角线的最小值为 ．
解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，
第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
如图，在中，点，分别是，上的点，且，连结，．
求证：．
18.提出命题：
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形．
小明提供了如下解答过程：
证明：连接BD．
∵∠1+∠3=180 －∠A，∠2+∠4=180 ―∠C，∠A=∠C，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∴，．
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
反思交流：
(1)请问小明的解法正确吗？如果有错，说明错在何处，并给出正确的证明过程．
(2)用语言叙述上述命题：___________________________________________________．
运用探究：
(3)下列条件中，能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4 B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶3∶2 D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶1∶3∶3
19．如图，在平行四边形中，相交于O，交于E点．
(1)求证：平分；
(2)若平行四边形的周长为20，求的周长．
20 .淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的，
她先作出了如图所示的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中，，__________．
求证：四边形是__________四边形
(1)填空，补全已知和求证；
(2)按淇淇的想法写出证明；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________．
21．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点E，于点H．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
23 .如图，在四边形中，，，，，，
动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，
以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，
另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示______cm；
(2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
24 .如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，
直线与轴相交于点，点在第四象限，．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点在轴上，点在直线上，
如果以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点和点的坐标．
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浙教版八年级数学下册第4章《平行四边形》单元复习与检测解析
时间：100分钟 总分：120分
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】
解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意．
故选：A．
2．平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为（ ）
A．6cm B．3cm C．9cm D．12cm
【答案】B
【分析】设平行四边形较短的边长为x,根据平行四边形的性质和已知条件列出方程求解即可
【详解】解：设平行四边形较短的边长为x，
∵相邻两边长的比为3：1，
∴相邻两边长分别为3x、x，
∴2x+6x＝24，
即x＝3cm，
故选B．
3．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2
【答案】A
【详解】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2，故选A．
4.如图，已知 ABCD的周长为20，∠ADC的平分线DE交AB于点E，若AD＝4，则BE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【分析】只要证明AD=AE=4，AB=CD=6即可解决问题.
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝4，
∴EB＝AB﹣AE＝6﹣4＝2．
故选C．
5．如图，下面不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD∥BC B．AB＝CD，AB∥CD
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝CD，AD＝BC
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、∵AB=CD，AD∥BC，不能得出四边形ABCD是平行四边形，错误；
B、∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，正确；
C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，正确；
D、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，正确；
故选：A．
如图，中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件，使，
则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行判断即可．
【详解】A、在中，，，
∴，
∵，
∴；
B、在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
C、不能证明；
D、在中，，，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
如图，是内一点，，，，，
，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理．由，，，根据勾股定理可求出，根据，，，分别是，，，的中点，结合中位线定理即可求解．
【详解】解：，，，，，
，
，，，分别是，，，的中点，
，，，，
四边形的周长为：，
故选：A．
8．若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】首先画出平面直角坐标系，根据A、B、C三点的坐标找出其位置，然后再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形找出D的位置，进而可得答案．
【详解】如图所示：
第四个顶点不可能在第三象限．
故选C．
9 .如图，在Rt△ABC中，，，，点P为BC上任意一点，
连结PA，以PA、PC为邻边作PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【分析】设PQ与AC交于点O，作于．先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值．
【详解】解：设PQ与AC交于点O，作于．
在Rt△ABC中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值．
故选：C．
如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S ABCD＝AC CD；④S四边形OECD＝S△AOD，
其中成立的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S ABCD＝AB AC＝AC CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称两点坐标特征，
根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数这一特征求解即可．
【详解】解：已知点与点关于原点对称，
则，即
故答案为：
12.如图，某公园有一块三角形空地，米，沿放置一道栅栏把分成两个区域
种植不同的花卉，点、分别是、的中点，则栅栏的长为 米．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，米，
∴米．
故答案为：．
13．如图平行四边形中，线段长，这个平行四边形的面积是 ．
【答案】540
【分析】根据平行四边形的面积公式：，把数据代入公式解答．
【解析】解：．
故答案为：540．
14．如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O与相交于点，若，，，那么四边形的周长是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．先证明，得出，，可求得，即可得出四边形的周长，进而可求解．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长
．
故答案为：15．
如图，在图1中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，
在图2中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，…，按此规律，
则第n个图形中平行四边形的个数共有 个．
【答案】3n
【分析】在图１中，有3个平行四边形；在图2中，有6个平行四边形；.观察发现规律即可完成解答．.
【详解】解：在图1中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1//AC,A1B1∥AB,BC //B1C , A1C1=AC,A1B1=AB,BC =B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个；
同理，第2个图形有6个，第3个图形有9个，以此类推可得，第n个图形有3n个．
故答案为3n．
如图，O是平面直角坐标系原点，，，，，P为线段上一个动点，
连结并延长至点E，使得点E落在直线上，以，为邻边作，
则对角线的最小值为 ．
【答案】6
【分析】作轴于N，轴于M，连接，利用全等三角形的性质证明，推出，根据垂线段最短解决问题即可．
【解析】解：作轴于N，轴于M，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，的值最小，此时，
∴最小值为6．
故答案为6．
解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，
第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．如图，在中，点，分别是，上的点，且，连结，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件证明四边形为平行四边形即可．
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴．
又，
∴四边形为平行四边形．
∴．
18.提出命题：
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形．
小明提供了如下解答过程：
证明：连接BD．
∵∠1+∠3=180 －∠A，∠2+∠4=180 ―∠C，∠A=∠C，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∴，．
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
反思交流：
(1)请问小明的解法正确吗？如果有错，说明错在何处，并给出正确的证明过程．
(2)用语言叙述上述命题：___________________________________________________．
运用探究：
(3)下列条件中，能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4 B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶3∶2 D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶1∶3∶3
【答案】（1）答案见解析；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）B
【分析】（1）利用四边形的内角和和已知条件中的对角相等得到邻角互补，从而判定两组对边平行，进而证得结论；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）由（1）即可得出结论．
【详解】解：（1）小明的解法不正确，错在推出∠1+∠3=∠2+∠4后，由∠ABC=∠ADC，不能直接推出∠1=∠4，∠2=∠3
正确证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，
∴2∠A+2∠ABC=360°．
∴∠A+∠ABC=180°．
∴．
同理∠A+∠ADC=180°．
∴．
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）∵∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），
∴故B正确．
19．如图，在平行四边形中，相交于O，交于E点．
(1)求证：平分；
(2)若平行四边形的周长为20，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质证得，，
进而证得即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，进而推导出的周长为即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴,，
∴，
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵平行四边形的周长为20，
∴，
∵，
∴的周长为．
20 .淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的，
她先作出了如图所示的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中，，__________．
求证：四边形是__________四边形
(1)填空，补全已知和求证；
(2)按淇淇的想法写出证明；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________．
【答案】(1)，平行；
(2)证明过程见详解；
(3)平行四边形的对角线互相平分．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
（1）根据题意补全已知和求证；
（2）证明得出，，同理，即可得证．
（3）交换原命题的条件和结论即可得到它的逆命题．
【详解】（1）解：已知：如图，在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形，
故答案为：，平行．
（2）证明：在与中，
，
，
，
，同理，
四边形是平行四边形．
解：对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是：平行四边形的对角线互相平分，
故答案为：平行四边形的对角线互相平分．
21．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点E，于点H．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定， 角平分线的定义：
（1）先证明，得到，再根据，利用等腰三角形性质得到结论；
（2）根据平行四边形性质和，求出BE和AB，问题得解．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，即，
，
平分，
，
，
又，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
．
22．如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，得到得证，结合平分，得继而得到即得．
（2）根据，，得，过点D作，交的延长线与点H，结合，得到，结合，根据勾股定理确定，根据计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
过点D作，交的延长线与点H，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
23 .如图，在四边形中，，，，，，
动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，
以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，
另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示______cm；
(2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式：
（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；
（2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
（2）解：过点作，则：，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况：
①当四边形为平行四边形时：则：，
∴，
解得：；
②当四边形为平行四边形时，则：，
∴，
解得：；
综上：或．
24 .如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，
直线与轴相交于点，点在第四象限，．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点在轴上，点在直线上，
如果以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点和点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，或，或，．
【分析】（1）先求出点的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴于点，根据、、三点的坐标，得出，，，由勾股定理得到，再结合，求出，证明是等腰直角三角形，推出，即可得出点的坐标；
（3）分三种情况讨论：①四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，得到点的纵坐标为，进而得到点的坐标，再根据，得到点的坐标；②四边形为平行四边形时，同①理求解；③四边形为平行四边形时，结合平行四边形的性质，利用待定系数法，求出直线的解析式，进而的得到点的坐标，再根据坐标两点的中点公式，求出点的坐标．
【详解】（1）解：直线分别与轴交于点，
令，则，
,
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，
直线分别与轴交于点，
令，则，解得：，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
轴，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
点的坐标为；
（3）解：以点为顶点的四边形是平行四边形，
①如图，四边形为平行四边形时，
轴，，
点的纵坐标为，
点在直线上，
令，则，解得：，
，
，
，
；
②如图，四边形为平行四边形时，
同①理可得，，，
，
，
；
③如图，四边形为平行四边形时，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
设点，
则，解得：，
综上可知，以点为顶点的四边形是平行四边形，点和点的坐标为，或，或，．
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