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2023-2024学年度第二学期八年级数学下册第4章《平行四边形》单元复习与检测
时间：100分钟 总分：120分
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，
下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形是（ ）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
4．如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（ ）
A． B． C． D．
5 .某班同学在学完平行四边形的判定后,开展了一次课外活动课,
课上探索出如下结论,其中正确的是（ ）
A．当四边形的一组邻角相等且一组对角互补时,此四边形一定为平行四边形
B．当四边形的一组对角相等且一组对边相等时,此四边形一定为平行四边形
C．当四边形的一组邻角相等且一组对边平行时,此四边形一定为平行四边形
D．当四边形的一组对角相等且一组邻角互补时,此四边形一定为平行四边形
6．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2
7 .某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花．
如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花，白花种植面积一定相等
B．红花，蓝花种植面积一定相等
C．蓝花，黄花种植面积一定相等
D．紫花，橙花种植面积一定相等
8 .如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，
点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，
同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．
当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
9 .如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，
交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，
作交于点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，于点D，于点E，，
连接，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接．
过点D作交于点G． 则下列结论：
①； ②为等腰直角三角形；
③四边形平行四边形；④四边形的周长为．
其中正确的有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．如果正多边形的一个外角为45°，那么它的边数是 ．
12 .点关于原点对称的点的坐标是 ．
13．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为 ．
如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，
则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 ．
如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，，，，
则点D的坐标为 ．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，
已知AB＝12，CD＝6，则EF ＝ ．
解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，
第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．如图，在中，E，F是对角线上两点，且满足，连接． 求证：．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
(1)将平移，使得点A的对应点的坐标为，在所给图的坐标系中画出平移后的；
(2)如图，若与关于某点P成中心对称，且点B的对应点是点，
①对称中心P的坐标是_________；
②画出．
19．如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长．
淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的，
她先作出了如图所示的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中，，__________．
求证：四边形是__________四边形
(1)填空，补全已知和求证；
(2)按淇淇的想法写出证明；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________．
如图，在 ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝FE；
（2）若DC＝2BC，∠F＝33°．求∠BAE的度数．
22．如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
如图，在四边形ABCD中，，，，，．
动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，
以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，
设点M运动的时间为．
(1)当时，__________；
(2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值．
24 .【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，
若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，
MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：BD＝AC．
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2023-2024学年度第二学期八年级数学下册第4章《平行四边形》单元复习与检测解析
时间：100分钟 总分：120分
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，
下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2．如图，在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
故选：C．
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形是（ ）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
【答案】B
【解答】解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2） 180°＝720°，
解得：n＝6．
故这个正多边形是六边形．
故选：B．
4．如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键．根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围．
【详解】解：∵．
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∴A不符合题意；
故选：A．
5 .某班同学在学完平行四边形的判定后,开展了一次课外活动课,
课上探索出如下结论,其中正确的是（ ）
A．当四边形的一组邻角相等且一组对角互补时,此四边形一定为平行四边形
B．当四边形的一组对角相等且一组对边相等时,此四边形一定为平行四边形
C．当四边形的一组邻角相等且一组对边平行时,此四边形一定为平行四边形
D．当四边形的一组对角相等且一组邻角互补时,此四边形一定为平行四边形
【答案】D
【分析】根据给出的条件，利用平行四边形的判定定理判定即可．
【详解】A、等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，故此选项错误；
B、根据条件“一组对边相等，一组对角相等”证不出是平行四边形，故此选项错误；
C、等腰梯形也满足此条件，但不是平行四边形，故此选项错误；
D、一组邻角互补，一组对角相等，可得到任意两对邻角互补，那么可得到两组对边分别平行，为平行四边形，故此选项正确；
故选D．
6．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2
【答案】A
【详解】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2，故选A．
7 .某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花．
如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花，白花种植面积一定相等
B．红花，蓝花种植面积一定相等
C．蓝花，黄花种植面积一定相等
D．紫花，橙花种植面积一定相等
【答案】B
【分析】由题意得出四边形ABCD、四边形DEOH、四边形BGOF、四边形AGOE、四边形CHOF是平行四边形，得出△ABD的面积＝△CBD的面积，△DOE的面积＝△DOH的面积，△BOG的面积＝△BOF的面积，得出四边形AGOE的面积＝四边形CHOF的面积，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，
∴四边形ABCD、四边形DEOH、四边形BGOF、四边形AGOE、四边形CHOF是平行四边形，
∴△ABD的面积＝△CBD的面积，△DOE的面积＝△DOH的面积，△BOG的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AGOE的面积＝四边形CHOF的面积，
∴A、C、D正确，B不正确；
故选：B．
8 .如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，
点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，
同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．
当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
【答案】B
【详解】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
9 .如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，
交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，
作交于点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
如图，过点作交于．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
10．如图，在中，，，于点D，于点E，，连接，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接． 过点D作交于点G． 则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③四边形平行四边形；④四边形的周长为．正确的有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①根据是等腰直角三角形得到，根据得到，根据得到，即可根据证明；②根据可得，然后结合即可证明；③证明，，根据平行四边形的判定方法，可以证明四边形是平行四边形；④根据勾股定理求出的长度，然后进一步求出的长度，根据为等腰直角三角形可求出的长度，即可求出四边形的周长．
【详解】解：如图所示，设和相交于点，
∵，于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在和中，
∴，故①正确；
由①可得，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，故②正确；
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵沿直线翻折至所在的平面内，得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故③正确；
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴设，
∴在中，，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形的周长为：
，故④错误．
综上所述，正确的个数是3．
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．如果正多边形的一个外角为45°，那么它的边数是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
∴边数＝360°÷45°＝8，
那么它的边数是8．
故答案为：8．
12 .点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
利用关于原点对称的点的坐标的特征（关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数）写出对应点的坐标即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
13．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为 ．
【答案】2
【分析】根据三角形中位线定理得到，，，根据等腰三角形的判定定理求出，计算即可．
【详解】解：是的中位线，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：2．
如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，
则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 ．
【答案】/72度
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答．
【详解】解：如图所示，
根据题意得，，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故答案为：．
如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，，，，
则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质．先求出，根据平行四边形的对边相等且平行求出，，进而即可求出点D的坐标．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴点A、D的纵坐标相等，
∵，
∴，
故答案为：．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，
已知AB＝12，CD＝6，则EF ＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接CF并延长交AB于G，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠FBG，
在△FDC和△FBG中，
，
∴△FDC≌△FBG（ASA）
∴BG＝DC＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，
∵CE＝EA，CF＝FG，
∴EF＝AG＝3，
故答案为：3．
解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，
第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．如图，在中，E，F是对角线上两点，且满足，连接． 求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，得到，再证明，即可求证，掌握平行线的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
(1)将平移，使得点A的对应点的坐标为，在所给图的坐标系中画出平移后的；
(2)如图，若与关于某点P成中心对称，且点B的对应点是点，
①对称中心P的坐标是_________；
②画出．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】本题主要考查作图旋转变换和平移变换，解题的关键是：
（1）将三个顶点分别向左平移5个单位，再向下平移1个单位，再首尾顺次连接即可得；
（2）①连接，找到线段的中点即可对称中心；②根据对称中心的位置找到对应点，再依次连接．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）①如图，点P即为所求，坐标为；
②如图，即为所求．
19．如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长．
【答案】(1)∠APB＝90°； (2)△APB的周长是24cm．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出ADCB，ABCD，推出∠DAB+∠CBA=180°，
求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB即可；
（2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴ ，，，
∴ ，
又∵和分别平分和，
∴ ，
∴；
（2） ∵平分， ，
∴，
∴，同理：，
∴，
在中，，
∴，
∴△的周长．
淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的，
她先作出了如图所示的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中，，__________．
求证：四边形是__________四边形
(1)填空，补全已知和求证；
(2)按淇淇的想法写出证明；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________．
【答案】(1)，平行；
(2)证明过程见详解；
(3)平行四边形的对角线互相平分．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，
熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
（1）根据题意补全已知和求证；
（2）证明得出，，同理，即可得证．
（3）交换原命题的条件和结论即可得到它的逆命题．
【详解】（1）解：已知：如图，在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形，
故答案为：，平行．
（2）证明：在与中，
，
，
，
，同理，
四边形是平行四边形．
（3）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是：平行四边形的对角线互相平分，
故答案为：平行四边形的对角线互相平分．
如图，在 ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝FE；
（2）若DC＝2BC，∠F＝33°．求∠BAE的度数．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠BAE的度数是33°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DAE和△CFE中，
，
∴△DAE≌△CFE（AAS），
∴AE＝FE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC＝AB，
∵DC＝2BC，
∴AB＝2BC，
∵△DAE≌△CFE，
∴AD＝FC，
∴BC＝FC，
∴FB＝BC+FC＝2BC，
∴AB＝FB，
∴∠BAE＝∠F＝33°，
∴∠BAE的度数是33°．
22．如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，得到得证，结合平分，得继而得到即得．
（2）根据，，得，过点D作，交的延长线与点H，结合，得到，结合，根据勾股定理确定，根据计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
过点D作，交的延长线与点H，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
如图，在四边形ABCD中，，，，，．
动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，
以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，
设点M运动的时间为．
(1)当时，__________；
(2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质是解决问题的关键．
（1）当时，，可知为等边三角形，即可求得；
（2）由题意可知，，，分两种情况：当时，点在点右侧，当时，点在点左侧，建立等式即可求解；
（3）分两种情况：当对称点落在线段上时，当对称点落在线段的延长线上时，建立等式即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
又∵，，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
过点作，
∵，，则，，
∴，四边形是矩形，
∴，则，
∴，则，
由题意可知，，，
当时，点在点右侧，则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即：，解得：；
当时，点与点重合，符不符合题意；
当时，点在点左侧，则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即：，解得：；
综上，当或时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形；
（3）如图，当对称点落在线段上时，根据题意，得平分，
此时，由（2）可知，
∵，，平分，
∴，
∴，即：，
解得：；
如图，当对称点落在线段的延长线上时，根据题意，得的反向延长线平分，
此时，由（2）可知，
∵，，平分，
∴，则，
∴，
∴为等边三角形，
∴，即：，
解得：，
综上，动点M关于直线对称的点恰好落在直线上时，或．
24 .【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，
若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，
MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：BD＝AC．
【答案】【三角形中位线定理】见解析；
【应用】135°；
【拓展】见解析．
【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MH＝AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得NH∥BD且NH＝BD．
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
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