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反比例函数k的几何意义
【知识点睛】
反比例函数K的几何意义常见图形
【典题练习】
1．（2024春 伊川县期中）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的面积为3的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 朝阳区模拟）如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上两点．若点D的坐标是（b，a），则a﹣b的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
3．（2024春 南安市期中）双曲线l1：y＝﹣和l2：y＝（k≠0）的图象如图所示，点A是l1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与l2交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
4．（2024春 萧山区期中）对于平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），我们把点Q（x+y，x﹣y）称为点P的“和差点”．如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，点B（3，2），若点P在反比例函数的图象上，点Q为点P的“和差点”，且点Q在Rt△OAB的直角边OA上，则△OBQ的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（2024 宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴负半轴上，函数的图象经过顶点A和对角线OB的中点D，AE∥OB交y轴于点E，若△AOE的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
6．（2024 石峰区一模）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10 B．4 C．3 D．5
7．（2024春 二道区校级月考）双曲线和如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形OAPB的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024 双阳区一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB∥y轴，交x轴于点C，连结OA，取OA的中点D，连结BD，则△ADB（阴影部分）的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
9．（2024 长沙模拟）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线和的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，垂足分别为点M和点N，先给出如下四个结论：
①；
②阴影部分的面积是；
③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；
④若OABC是菱形，则k1+k2＝0，
以上结论正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④
10．（2024春 晋江市期中）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．OE＝ED＝DC，若S1+S2+S3＝27，则k的值为 ；若S1+S3＝27，则S2的值为 ．
11．（2024 北仑区一模）如图，Rt△ABC顶点A落在y轴上，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点C，若△BCD的面积为5，则k的值为 ．
12．（2024 西安校级四模）如图，Rt△AOB放置在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上，点A落在第一象限，若∠AOB＝30°，且Rt△AOB的面积为，若反比例函数的图象经过点A，则k＝ ．
13．（2024 拱墅区二模）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为 ．
14．（2024 苏州一模）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形OABC的面积是9，则k＝ ．
15．（2024 无棣县一模）如图，双曲线图象上有A，B两点，过A点作AC⊥x轴于点C，过B点作BD⊥y轴于点D，AC、BD交于点E，若△AOB的面积为2，△COD的面积为3，则k的值为 ．
16．（2024 恩施市一模）在反比例函的图象上有P1，P2，P3，P2025等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…S2024，则S1+S2+S3+…S2024＝ ．
17．（2024 张家口一模）如图，在△AOB中，点A（0，4），点B（﹣4，0），双曲线与边AB交于C，D两点，点D的纵坐标大于点C的纵坐标．
（1）当点D的坐标为时，求k的值；
（2）若k＝﹣3，求点C的坐标；
（3）连接DO，记△AOD的面积为S，若2＜S＜4，求k的取值范围．
18．（2024春 伊川县期中）如图，点A（1，2）、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．
（1）m＝ ；n＝ ；点C的坐标为 ；
（2）求 ABCO面积；
（3）将平行四边形ABCO沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为 ．
19．（2023秋 祁阳市期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A（x，y），我们把点B称为点A的“倒数点”．
（1）写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标 ；
（2）点P是反比例函数图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
（3）如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求△OBC的面积．
20．（2023 新荣区三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣4，3），将点A向右平移2个单位，再向上平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求点C的坐标；
（2）点P为△COD直角边上一个动点，连接AP，BP，已知△ABP的面积为5，求点P的坐标．
21．（2023春 北碚区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AD⊥BC，∠B＝30°，CD＝3，点E在BD上且DE＝2，动点P从点B出发，沿B→A→C运动，到达点C时停止．设点P运动路程为x，△PED的面积为y1．
（1）求y1关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在坐标系中画出y1的函数图象；
（3）观察函数图象，请写出一条该函数的性质 ；
（4）在坐标系中画出的函数图象，并结合图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．
22．（2022秋 固始县期末）九年级某数学兴趣小组研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ ；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：
① ；
② ；
（3）①观察发现：如图2，若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，OB，则S△OAB＝ ；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S△OAB＝ ；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，OB，则S△OAB＝ ．
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反比例函数k的几何意义
【知识点睛】
反比例函数K的几何意义常见图形
【典题练习】
1．（2024春 伊川县期中）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的面积为3的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【解答】解：A．阴影面积＝，故符合题意；
B．阴影面积＝xy＝6，故不符合题意；
C．阴影面积＝，故不符合题意；
D．阴影面积，故不符合题意；
故选：A．
2．（2024 朝阳区模拟）如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上两点．若点D的坐标是（b，a），则a﹣b的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【分析】由几何意义得S矩形DEOM＝S矩形BFON，进而得S矩形ADEF＝S矩形ABNM，证明出AF＝AM，再由正方形ABCD的面积为4，求出a﹣b即可．
【解答】解：如图，延长CD、BA交y轴于点E、F，延长DA、CB交x轴于点M、N，
由几何意义得，S矩形DEOM＝S矩形BFON，
∴S矩形ADEF＝S矩形ABNM，
∵AB＝AD，
∴AF＝AM，
∵点D的坐标是（b，a），
∴OM＝b＝AF＝AM，DM＝a＝BF，
∴DA＝BA＝a﹣b，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴（a﹣b）2＝4，
∴a﹣b＝2．
故选：B．
3．（2024春 南安市期中）双曲线l1：y＝﹣和l2：y＝（k≠0）的图象如图所示，点A是l1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与l2交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【分析】根据反比例函数k值的几何意义求出三角形BOD的面积即可得到k值．
【解答】解：∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴S△ABO＝＝3，
∵S△AOD＝2，
∴S△BOD＝S△ABO﹣S△ADO＝3﹣2＝1，
∵点D在l2上，
∴丨k丨＝2S△BOD＝2，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣2．
故选：D．
4．（2024春 萧山区期中）对于平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），我们把点Q（x+y，x﹣y）称为点P的“和差点”．如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，点B（3，2），若点P在反比例函数的图象上，点Q为点P的“和差点”，且点Q在Rt△OAB的直角边OA上，则△OBQ的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据题意设出点P的坐标，即可得出点Q的坐标，根据点Q在Rt△OAB的直角边OA上求出a的值，从而求出△OBQ的面积．
【解答】解：根据题意可设点P的坐标为（a，），且a＞0，
则点Q的坐标为（a+，a﹣），
∵点Q在线段OA上，
∴则a﹣＝0，
解得：a1＝，a2＝﹣（舍），
此时点Q的坐标为（2，0），
此时OQ＝2，
∴△OBQ的面积＝×2×2＝2，
故选：B．
5．（2024 宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴负半轴上，函数的图象经过顶点A和对角线OB的中点D，AE∥OB交y轴于点E，若△AOE的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【分析】依据题意，如图，连接AD，延长BA交y轴于点F，又点A，D，C三点共线．BF⊥y轴，设点D（m，n），则B（2m，2n），推出k＝mn，推出A（，2n），再由△AOE的面积＝3．可得×（﹣m）×（﹣n）＝3，从而可得mn＝8，即可判断得解．
【解答】解：如图，连接AD，延长BA交y轴于点F，
∵点D是菱形对角线OB的中点，AB∥OC，
∴点A，D，C三点共线．BF⊥y轴，
设点D（m，n），则B（2m，2n），
∴k＝mn，
∴A（，2n）．
∴直线OB：y＝x．
∵AE∥OB，
∴直线AE：y＝x+n．
∴E（0，n）．
∴AF＝﹣m，OE＝﹣n．
∴△AON的面积＝AF OE＝×（﹣m）×（﹣n）＝mn＝3．
∴mn＝8．
∴k＝8．
故选：C．
6．（2024 石峰区一模）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10 B．4 C．3 D．5
【分析】设A点的坐标为（）则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：（），即（），进而可得出BC的长度．然后将坐标代入函数解析式即可求出k的值．
【解答】解：设 A（ ），
∴AB＝，
∵矩形的面积为10，
∴BC＝，
∴矩形对称中心的坐标为：（），即（）
∵对称中心在 的图象上，
∴，
∴mk﹣5m＝0，
∴m（k﹣5）＝0，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或k＝5，
故选：D．
法二：解：连接BE，作EH⊥AB于H．
设 A（ ），
∴AB＝，
∴E（2m，），
∵矩形ABCD的面积为10，
∴△ABE的面积为＝，
∴＝，
即××（2m﹣m）＝，
∴k＝5．
故选：D．
7．（2024春 二道区校级月考）双曲线和如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形OAPB的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC＝S△BOD＝×|2|＝1，S矩形PCOD＝|4|＝4，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积．
【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝×2＝1，S矩形PCOD＝4，
∴四边形PAOB的面积＝4﹣2×1＝2．
故选：B．
8．（2024 双阳区一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB∥y轴，交x轴于点C，连结OA，取OA的中点D，连结BD，则△ADB（阴影部分）的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可．
【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，
∴S△AOC＝，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴S△BOC＝＝2，
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝6﹣2＝4，
∵D是OA的中点，
∴S阴影＝S△AOB＝＝2．
故选：D．
9．（2024 长沙模拟）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线和的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，垂足分别为点M和点N，先给出如下四个结论：
①；
②阴影部分的面积是；
③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；
④若OABC是菱形，则k1+k2＝0，
以上结论正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④
【分析】作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB＝S△COB，利用三角形面积公式得到AE＝CF，则有OM＝ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM＝|k1|＝OM AM，S△CON＝|k2|＝ON CN，所以有；由S△AOM＝|k1|，S△CON＝|k2|，得到S阴影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k1|+|k2|）＝（k1﹣k2）；当∠AOC＝90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM＝CN，则不能确定|k1|＝|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA＝OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM＝CN，所以|k1|＝|k2|，即k1＝﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
【解答】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOB＝S△COB，
∴AE＝CF，
∴OM＝ON，
∵S△AOM＝|k1|＝OM AM，S△CON＝|k2|＝ON CN，
∴，故①正确；
∵S△AOM＝|k1|，S△CON＝|k2|，
∴S阴影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S阴影部分＝（k1﹣k2），故②错误；
当∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM＝ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM＝CN，
∴不能确定|k1|＝|k2|，故③错误；
若四边形OABC是菱形，则OA＝OC，
而OM＝ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO（HL），
∴AM＝CN，
∴|k1|＝|k2|，
∴k1＝﹣k2，
∴k1+k2＝0，故④正确．
故选：D．
10．（2024春 晋江市期中）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．OE＝ED＝DC，若S1+S2+S3＝27，则k的值为 27 ；若S1+S3＝27，则S2的值为 ．
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义可得k＝S四边形OARE＝27，根据OE＝ED＝DC求解S1，S2，S3，然后利用S1+S3＝27列方程求解即可得到答案．
【解答】解：由题意知：四边形OARE是矩形，
若四边形OARE的面积是27，
∵R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上，且四边形OARE的面积是27，
∴k＝S四边形OARE＝27；
若S1+S2+S3＝27，
同理：矩形OGQD，矩形OFPC的面积都为k，
∴k＝S1+S2+S3＝27；
若S1+S3＝27，
∵OE＝DE＝DC，
∴，
∵OE＝DE＝DC，
∴，
∴，
∵S1+S3＝27，
∴，
∴，
∴．
故答案为：27，．
11．（2024 北仑区一模）如图，Rt△ABC顶点A落在y轴上，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点C，若△BCD的面积为5，则k的值为 10 ．
【分析】连接OC，依题意得S△ACD＝S△BCD＝5，再根据△OCD和△ACD的公共边CD上的高相等得S△OCD＝S△ACD＝5，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得S△OCD＝1/2|k|，据此可得k的值．
【解答】解：连接OC，如下图所示：
∵在Rt△ABC中，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，△BCD的面积为5，
∴S△ACD＝S△BCD＝5，CD∥y轴，
∴△OCD和△ACD的公共边CD上的高相等，
∴S△OCD＝S△ACD＝5，
∵反比例函数经过直角顶点C，
∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△OCD＝|k|，
∴|k|＝2S△OCD＝10，
∵反比例函数的图象在第一象限，
∴k＝10．
故答案为：10．
12．（2024 西安校级四模）如图，Rt△AOB放置在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上，点A落在第一象限，若∠AOB＝30°，且Rt△AOB的面积为，若反比例函数的图象经过点A，则k＝ 3 ．
【分析】过点A作AC⊥y轴于点C，设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，进而得点A（a，a），则k＝a a＝a2，在Rt△OAB中，AB＝OA tan∠AOB＝a，根据Rt△AOB的面积为得AB OA＝，由此得a2＝3，由此可得k的值．
【解答】解：过点A作AC⊥y轴于点C，设AC＝a，如下图所示：
在Rt△OAC中，∠AOB＝30°，AC＝a，
∴OA＝2AC＝2a，
由勾股定理得：OC＝＝a，
∴点A的坐标为（a，a），
∵反比例函数的图象经过点A（a，a），
∴k＝a a＝a2，
在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，OA＝2a，
∴tan∠AOB＝，
∴AB＝OA tan∠AOB＝2a tan30°＝a，
∵Rt△AOB的面积为2，
∴AB OA＝2，
即×a 2a＝2，
∴a2＝3，
∴k＝a2＝3．
故答案为：3．
13．（2024 拱墅区二模）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出＝，即BC EO＝AB CO，求得ab的值即可．
【解答】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝ab，
∵△BCE的面积是2，
∴×BC×OE＝2，即BC×OE＝4，
∵AB∥OE，
∴＝，即BC EO＝AB CO，
∴4＝b×（﹣a），即ab＝﹣4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
14．（2024 苏州一模）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形OABC的面积是9，则k＝ ﹣5 ．
【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+4＝9，进而即可求得k的值．
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD＝|k|，S△BOD＝2，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝|k|+2，
∴S平行四边形OABC＝2S△AOB＝|k|+4，
∵平行四边形OABC的面积是9，
∴|k|＝5，
∵在第四象限，
∴k＝﹣5，
故答案为：﹣5．
15．（2024 无棣县一模）如图，双曲线图象上有A，B两点，过A点作AC⊥x轴于点C，过B点作BD⊥y轴于点D，AC、BD交于点E，若△AOB的面积为2，△COD的面积为3，则k的值为 ．
【分析】设，可得点，从而得到，再由四边形OCED是矩形，S矩形OCED＝2S△COD＝6，，从而得到，然后根据反比例函数比系数的几何意义，可得，再由S矩形OCED＝S△AOB+S△AOC+S△BOD+S△ABE，列出方程，即可求解．
【解答】解：设，由函数图象得：k＞0，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，AC、BD交于点E，
∴点，
∴，
∵∠COD＝∠OCE＝∠ODE＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∵△COD的面积为3，
∴S矩形OCED＝2S△COD＝6，，
，
∵双曲线图象上有A，B两点，
∴，
∵△AOB的面积为2，△COD的面积为3，S矩形OCED＝S△AOB+S△AOC+S△BOD+S△ABE，
∴，
整理得：k2＝12，
∴，
∵k＞0，
∴，
故答案为：．
16．（2024 恩施市一模）在反比例函的图象上有P1，P2，P3，P2025等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…S2024，则S1+S2+S3+…S2024＝ ．
【分析】分别将它们的横坐标代入解析式中，即可得到纵坐标；再求出每个阴影部分的面积；最后根据规律性来解答．
【解答】解：当x＝1时，P1的纵坐标为＝12；
当x＝2时，P2的纵坐标为＝6；
当x＝3时，P3的纵坐标为＝4；
当x＝4时，P4的纵坐标为＝3；
当x＝5时，P5的纵坐标为；
……
当x＝n时，Pn的纵坐标为．
则S1＝1×（12﹣6）＝12﹣6；
S2＝1×（6﹣4）＝6﹣4；
S3＝1×（4﹣3）＝4﹣3；
S4＝1×（3﹣）＝3﹣；
……
Sn＝1×（﹣）＝﹣．
∴S1+S2+S3+ +S2023+S2024＝12﹣6+6﹣4+5﹣3+3﹣+ +＝12﹣＝，
故答案为：．
17．（2024 张家口一模）如图，在△AOB中，点A（0，4），点B（﹣4，0），双曲线与边AB交于C，D两点，点D的纵坐标大于点C的纵坐标．
（1）当点D的坐标为时，求k的值；
（2）若k＝﹣3，求点C的坐标；
（3）连接DO，记△AOD的面积为S，若2＜S＜4，求k的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求出直线解析式，把代入y＝x+4中即可；
（2）设点C的坐标为（a，a+4），利用反比例函数k值建立方程解答即可；
（3）设点D的横坐标为m，由题意，解得1＜|m|＜2，根据点在第二象限确定﹣2＜m＜﹣1，再将x1＝﹣2，x2＝﹣1分别代入y＝x+4中根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，4），B（﹣4，0）在直线AB上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为：y＝x+4，
当时，，
∴点D），
∵点D在反比例函数图象上，
∴；
（2）设点C的坐标为（a，a+4），
∵k＝﹣3，
∴a（a+4）＝﹣3，解得a＝﹣1或a＝﹣3，
∵点D的纵坐标大于点C的纵坐标，
∴a＝﹣3，
∴点C的坐标为（﹣3，1）；
（3）根据题意，连接OD，
设点D的横坐标为m，由题意，解得1＜|m|＜2，
∵点D在第二象限，
∴﹣2＜m＜﹣1，将x1＝﹣2，x2＝﹣1分别代入y＝x+4中，
解得y1＝2，y2＝3，
∵﹣2×2＝﹣4，﹣1×3＝﹣3，
∴﹣4＜k＜﹣3．
18．（2024春 伊川县期中）如图，点A（1，2）、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．
（1）m＝ 2 ；n＝ 5 ；点C的坐标为 ；
（2）求 ABCO面积；
（3）将平行四边形ABCO沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为 ．
【分析】（1）把A（1，2）、分别在反比例函数和代入即可；
（2）根据平行四边形的面积公式计算即可；
（3）求出E点坐标利用三角面积公式计算即可；
【解答】解：（1）把A（1，2）代入得，
m＝2，
把代入得，
n＝5，
∵A（1，2）、，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2，5，；
（2） ABCO面积＝，
（3）C往上平移后为D，设，
∵D是的图象上的点，
∴，即，
∴平行四边形ABCO沿y轴向上平移了个单位，
设OA的解析式为y＝kx，代入A（1，2），
得k＝2，即OA的解析式为y＝2x，
如图：
当时，，则点，
A到DE的距离，
∴重叠的阴影部分的面积为＝，
故答案为：．
19．（2023秋 祁阳市期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A（x，y），我们把点B称为点A的“倒数点”．
（1）写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标 （﹣1，﹣1） ；
（2）点P是反比例函数图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
（3）如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求△OBC的面积．
【分析】（1）在第三象限，只有﹣1的倒数是它本身，所以第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标（﹣1，﹣1）；
（2）点P（x，y）的“倒数点”Q满足的坐标是（，）据此可得点Q满足的函数表达式；
（3）设A点坐标为（m，）则B（，），点B的纵横坐标满足，根据反比例函数的性质可知点B在y＝的图象上，且点B不会在坐标轴上，只能再边ED或CD上，分情况讨论即可得到三角形OBC的面积．
【解答】解：（1）根据倒数的规定，在第三象限，只有﹣1的倒数是它本身，所以第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（2）∵点P是反比例函数图象上的一点，
∴点P（x，y）的“倒数点”Q满足的坐标是（，），
∴xy＝，
∴y＝；
（3）设A点坐标为（m，）
∵点B是点A的“倒数点”，
∴B（，），
∴点B的纵横坐标满足，
∴点B在y＝的图象上，且点B不会在坐标轴上，只能再边ED或CD上，
①点B在边ED上时，点A、B纵坐标相同，即，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），点B的纵坐标为1，
∴S△OBC＝＝，
②当点B在CD上时，点B的横坐标为3，点B的纵坐标为，
∴S△OBC＝＝．
综上所述，三角形OBC的面积为或．
20．（2023 新荣区三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣4，3），将点A向右平移2个单位，再向上平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求点C的坐标；
（2）点P为△COD直角边上一个动点，连接AP，BP，已知△ABP的面积为5，求点P的坐标．
【分析】（1）由点A（2，6）求出反比例函数的解析式为y＝，可得k值，进而求得B（4，3），由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+9，即可求出C点的坐标；
（2）由（1）求出CD，根据S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD可求得结论．
【解答】解：（1）把A（﹣4，3）代入，
∵k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为．
∵把点A向右平移2个单位，再向上平移a个单位得到点B，
∴点B的横坐标为﹣2．当x＝﹣2时，
．
∴B（﹣2，6），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
由题意可得，
∴，
∴．
∵当x＝0时，y＝9，
∴C（0，9）．
（2）分两种情况：
当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y），
∵，
∴y＝4，
∴点P的坐标为（0，4），
当点P在OD上时，设点P的坐标为（x，0），DP＝x+6．
∴，
∴．，
∴点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为（0，4）或．
21．（2023春 北碚区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AD⊥BC，∠B＝30°，CD＝3，点E在BD上且DE＝2，动点P从点B出发，沿B→A→C运动，到达点C时停止．设点P运动路程为x，△PED的面积为y1．
（1）求y1关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在坐标系中画出y1的函数图象；
（3）观察函数图象，请写出一条该函数的性质 当0＜x≤8时，y随x的增大而增大； ；
（4）在坐标系中画出的函数图象，并结合图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．
【分析】（1）分两种情况进行讨论，当点P在AB边上时，作PM⊥BC，此时；当点P在AC边上时，作PN⊥BC，此时；分别用含x的代数式表示线段长度，计算得出答案；
（2）根据第1问求出的函数解析式，在平面直角坐标系中描点绘制函数图象；
（3）直接观察函数图象可得；
（4）在平面直角坐标系中描点绘制函数y2图象，观察函数图象可知有两个交点，计算求出交点横坐标，当y1＞y2时，y1图象在y2图象上方，得到x的取值范围．
【解答】解：（1）动点P从点B出发，沿B→A→C运动，
当点P在AB边上时，如图所示：作PM⊥BC，垂足为点M，
∴
∵BP＝x，∠B＝30°，
∴，
∵DE＝2，
∴＝；
当点P在AC边上时，如图所示：
作PN⊥AC，垂足为点N，
，
∵AB＝8，∠B＝30°，CD＝3，
∴，，
∵AB+AP＝x，
∴PC＝13﹣x，
∵，，
∴，＝；
综上，，
故答案是．
（2）由（1）得，，
在平面直角坐标系中描出相应的点，画出y1的函数图象，
故答案如图所示：
（3）由图可得，当0＜x≤8时，y随x的增大而增大；
当8＜x＜13时，y随x的增大而减小；
故答案为：当0＜x≤8时，y随x的增大而增大．
（4）在平面直角坐标系中描点画出y2的函数图象，
如图所示：
当0＜x≤8时，
令，
解得，
当8＜x＜13时，
令，
解得或（不符合题意舍），∴y1＞y2时，，
故答案是．
22．（2022秋 固始县期末）九年级某数学兴趣小组研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ 1 ；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：
① 函数的图象关于y轴对称 ；
② 当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小 ；
（3）①观察发现：如图2，若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，OB，则S△OAB＝ 2 ；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S△OAB＝ 2 ；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，OB，则S△OAB＝ k ．
【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．
【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，
∴m＝1，
补全图象如图所示：
故答案为：1；
（2）由函数图象的对称性可知，函数的图象关于y轴对称，
从函数的增减性可知，在y轴的左侧（x＜0），y随x的增大而增大；在y轴的右侧（x＞0），y随x的增大而减小；
故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；
（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得三角形OABC是平行四边形，且S三角形OAB＝2×|k|＝2，
②同①可知：S三角形OAB＝|k|＝2，
③S三角形OAB＝|k|＝k，
故答案为：①2，②2，③k．
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