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反比例函数与一次函数的综合
【知识点睛】
一次函数与反比例函数的知识总结
函数 一次函数 反比例函数
图象 直线 双曲线（分两支）
x取值范围 全体实数
增减性应用 k＞0 ①y随x的增大而增大； ②直线从左往右看上升 ③若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象上，则有：当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同） ①在其每一象限内，y随x的增大而减小 ②若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象的同一支上，则有：当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）
k＜0 ①y随x的增大而减小 ②直线从左往右看下降 ③若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象上，则有：当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反） ①在其每一象限内，y随x的增大而增大 ②若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象的同一支上，则有：当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）
对称性 即是中心对称图形，又是轴对称图形
与方程间的练习 求交点坐标，联系解析式，得二元一次方程组，方程的解即为交点的坐标 求反比例函数的k值，用待定系数法时，会与一元一次方程相结合；求直线与双曲线交点坐标时，联立函数解析式，会与分式方程相结合
与不等式间的关系
反比例函数和一次函数的综合应用主要在与求交点，然后在这个基础上考察函数的性质或者与不等式的关系等
【典题练习】
1．（2024 启东市一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点P（﹣3，0）的直线y＝x+b与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（ ）
A．﹣2≤k＜﹣1 B． C． D．
2．（2024 东营一模）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
3．（2024 宝安区二模）如图，直线y＝x﹣1交双曲线于A、B两点，交y轴于点C，作AD⊥y轴于点D，点E为上任意一点，当S四边形BCDE＝S△ABE时，DE与x轴交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，0）
4．（2024 梧州模拟）在直角坐标系中，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数的图象交于点A，点B是函数y＝kx+2与x轴的交点，连接AO，若函数的图象过点（1，3），则△ABO的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024 武汉模拟）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC BD＝8，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
6．（2024 关岭县一模）如图，反比例函数与正比例函数y＝kx的图象相交于两点，若其中一个交点到坐标轴x的距离是2，则两交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024 邗江区校级一模）平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x与双曲线相交于A，B两点，其中点B在第三象限．设M（﹣1，n）为双曲线上一点（点M异于点B），直线AM，BM分别交x轴于C，D两点，则C，D两点横坐标的和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．﹣2
8．（2024 南山区一模）若一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
9．（2024 大渡口区模拟）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G，若DE EG＝，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023秋 永州期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：
①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；
②的图象关于点（﹣a，0）对称；
③的图象关于直线y＝﹣x﹣a对称；
④若a＝4，根据图象可知，的解集是x＜0．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
11．（2023秋 中阳县期末）如图，直线y＝x与双曲线交于点A．将直线y＝x向右平移4个单位长度后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C．若OA＝2BC，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
12．（2023秋 安州区期末）如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式＜0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3；④若双曲线y＝（k＞0）上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．（2024 建昌县一模）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E，且AE＝AC．则k＝ ．
14．（2024 石峰区一模）反比例函数的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值是 ．
15．（2024 石峰区一模）已知直线l：y＝kx+b（k≠0）与双曲线交于点A（m1，n1），B（m2，n2）．
（1）若m1+m2＝0，则n1+n2＝ ；
（2）若m1+m2＞0时，n1+n2＞0，则k 0，b 0（填“＞”“＝”或“＜”）．
16．（2024 河北一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点P（3，2），直线y＝tx﹣1与y轴相交于Q点，与双曲线相交于M点，线段PQ、QM及P、M两点之间的曲线所围成的区域记作G．
（1）k＝ ；
（2）若区域G（不包括边界）内的整点的个数大于等于3，则t的取值范围是 ．
17．（2024 碑林区校级四模）如图，直线AB与双曲线交于A，B两点，交x轴于点C，若AB＝2BC，则△ABO的面积为 ．
18．（2024 福田区模拟）如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC＝，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y＝（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 ．
19．（2024 合肥一模）如图，直线y＝x+2与x，y轴相交于点C，B，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，且AB＝BC．
（1）k＝ ；
（2）在y正半轴上取点D，作DE∥x轴交反比例函数图象于点E，以DE为边向上作正方形DEFG，若该反比例函数的图象恰好经过GF的中点Q，则DB的长为 ．
20．（2024 肥西县一模）如图，矩形AOBC中，A（0，3），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．
（1）若F为线段BC中点时，则△AOE的面积为 ．
（2）若DE EG＝，则k的值为 ．
21．（2024 浙江模拟）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于A（n﹣1，yA），B（n+1，yB）两点，点C（n，yC）在一次函数的图象上，且n＞1．
（1）求证：yA+yB＝2yC；
（2）比较与的大小关系．
22．（2024 北仑区一模）如图，一次函数y＝k1（x﹣1）+3与反比例函数（k1k2≠0）的图象相交于A（1，m）、两点．
（1）求m、n的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）过A、B两点分别作x轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线CD经过原点．
23．（2024春 万州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝x﹣4与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（5n，n）和（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数y1＞y2时，自变量的取值范围；
（3）点P为反比例函数图象上第一象限的一点，若S△POC＝2S△AOC，求P点坐标．
24．（2024 市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线CD：y＝﹣x﹣2与y轴交于点D，与反比例函数y＝在第二象限内的图象相交于点C（﹣4，a）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当﹣6≤x≤﹣1时，求y＝的函数值的取值范围；
（3）将直线CD向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且△ACD的面积为18，求平移后直线的关系式．
25．（2024 泰山区校级模拟）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标．
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反比例函数与一次函数的综合
【知识点睛】
一次函数与反比例函数的知识总结
函数 一次函数 反比例函数
图象 直线 双曲线（分两支）
x取值范围 全体实数
增减性应用 k＞0 ①y随x的增大而增大； ②直线从左往右看上升 ③若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象上，则有：当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同） ①在其每一象限内，y随x的增大而减小 ②若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象的同一支上，则有：当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）
k＜0 ①y随x的增大而减小 ②直线从左往右看下降 ③若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象上，则有：当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反） ①在其每一象限内，y随x的增大而增大 ②若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象的同一支上，则有：当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）
对称性 即是中心对称图形，又是轴对称图形
与方程间的练习 求交点坐标，联系解析式，得二元一次方程组，方程的解即为交点的坐标 求反比例函数的k值，用待定系数法时，会与一元一次方程相结合；求直线与双曲线交点坐标时，联立函数解析式，会与分式方程相结合
与不等式间的关系
反比例函数和一次函数的综合应用主要在与求交点，然后在这个基础上考察函数的性质或者与不等式的关系等
【典题练习】
1．（2024 启东市一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点P（﹣3，0）的直线y＝x+b与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（ ）
A．﹣2≤k＜﹣1 B． C． D．
【分析】先求出直线解析式，与反比例函数解析式联立方程组确定M、N的横坐标，利用平行线得到PD、PE的代数式，根据条件进行判断即可．
【解答】解：∵P（﹣3，0）在y＝x+b图象上，
∴b＝3，
∴y＝x+3，
令x+3＝，
∴x2+3x﹣k＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣k）＝9+4k，
∵y＝x+3与y＝有两个交点，
∴9+4k＞0，
∴k，
∵x2+3x﹣k＝0，
∴x＝，
∴点M的横坐标为，N点的横坐标为，
作ME⊥x于点E，作ND⊥x轴于点D，则ME∥ND，
∴，
∵P（﹣3，0），
∴PD＝，PE＝，
∵，
∴PD≤2PE，
∴，
∴≤1，
∵9+4k＞0，
∴9+4k≤1，
∴k≤﹣2．
∴﹣，
故选：B．
2．（2024 东营一模）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【解答】解：∵A（1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为，
∵B（m，﹣1）在反比例函数图象上，
∴，
∴B（﹣2，﹣1），
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：C．
3．（2024 宝安区二模）如图，直线y＝x﹣1交双曲线于A、B两点，交y轴于点C，作AD⊥y轴于点D，点E为上任意一点，当S四边形BCDE＝S△ABE时，DE与x轴交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，0）
【分析】根据S四边形BCDE＝S△ABE，导出S△ADE＝S△ADC，则点E必在过点C且与AD平行的直线上，联立求出点E坐标，再利用待定系数法求出直线DE解析式，令y＝0，即可求出与x轴的交点坐标．
【解答】解：令x﹣1＝，整理得：x2﹣x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2，
∴A（3，2），B（﹣2，﹣3），
∵AD⊥y轴于点D，
∴D（0，2），
∵S四边形BCDE＝S△ABE，
∴S△EDF＝S△ACF，
∴S△ADE＝S△ADC，
∵直线AB解析式为y＝x﹣1，
∴C（0，﹣1），
过点C平行于x轴的直线为y＝﹣1，
在反比例函数y＝中，当y＝﹣1时，x＝﹣6，
∴E（﹣6，﹣1），
设直线DE的解析式为y＝kx+2，代入点E坐标得：
﹣1＝﹣6k+2，解得k＝，
∴直线DE解析式为：y＝，
当y＝0时，x＝﹣4，
∴DE与x轴交点坐标为（﹣4，0）．
故选：C．
4．（2024 梧州模拟）在直角坐标系中，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数的图象交于点A，点B是函数y＝kx+2与x轴的交点，连接AO，若函数的图象过点（1，3），则△ABO的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出两个函数解析式，再求出点B坐标，联立方程组得到点A坐标，最后根据三角形面积公式代入数据计算即可．
【解答】解：∵函数的图象过点（1，3），
∴k＝3，
∴反比例函数解析式为：y＝，一次函数解析式为：y＝3x+2，
在一次函数y＝3x+2中，令y＝0，则x＝﹣，
∴B（﹣，0），
令3x+2＝，整理得：3x2+2x﹣3＝0，解得x＝或（舍去），
∴A（，1+），
∴S△AOB＝×OB×yA＝×（1+）＝）．
故选：C．
5．（2024 武汉模拟）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC BD＝8，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∠OAB＝∠OBA＝45°，再设M（x，y），从而可表示出BD与AC的长度，根据AC BD＝8列出即可求出k的值．
【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
令x＝0代入y＝x+b，
∴y＝b，
∴B（0，b），
∴OB＝﹣b，
令y＝0代入y＝x+b，
∴x＝﹣b，
∴（﹣b，0），
∴OA＝OB＝﹣b，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
设M（x，y），
∴CF＝﹣y，ED＝x，
∴﹣y＝AC，x＝BD，
∴AC＝﹣y，BD＝x，
∵AC BD＝8，
∴﹣y x＝8，
∴xy＝﹣4，
∵M在反比例函数的图象上，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
6．（2024 关岭县一模）如图，反比例函数与正比例函数y＝kx的图象相交于两点，若其中一个交点到坐标轴x的距离是2，则两交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可计算出第一象限的交点坐标为（1，2），继而求出交点与原点之间的距离，再根据反比例函数中心对称性质得到结果．
【解答】解：∵中一个交点到坐标轴x的距离是2，即y＝±2，
∴其中在第一象限的交点坐标为（1，2），
∴交点到原点的距离为＝，
∴两交点之间的距离为2．
故选：B．
7．（2024 邗江区校级一模）平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x与双曲线相交于A，B两点，其中点B在第三象限．设M（﹣1，n）为双曲线上一点（点M异于点B），直线AM，BM分别交x轴于C，D两点，则C，D两点横坐标的和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．﹣2
【分析】依据题意，设A（m，3m），M（﹣1，n），则B（﹣m，﹣3m），分别计算直线AM和BM的解析式，令y＝0可得C和D的横坐标，相加可得结论．，其中点B在第三象限．设M（﹣1，n）为双曲线上一点（点M异于点B），直线AM，BM分别交x轴于C，D两点，则C，D两点横坐标的和为（ ）
【解答】解：设A（m，3m），M（﹣1，n），则B（﹣m，﹣3m），
∵A，M（﹣1，n）为双曲线上一点，
∴k＝m 3m＝﹣1 n，
∴n＝﹣3m2，
∴M（﹣1，﹣3m2），
设直线AM的解析式为：y＝ax+b，
则，解得：，
∴直线AM的解析式为：y＝3mx+3m﹣3m2，
令y＝0，则x＝m﹣1，
∴C点的横坐标为m﹣1，
同理得：直线BM的解析式为：y＝﹣3mx﹣3m﹣3m2，
令y＝0，则x＝﹣m﹣1，
∴D点的横坐标为﹣m﹣1，
∵m﹣1﹣m﹣1＝﹣2，
∴C，D两点横坐标的和为﹣2．
故选：D．
8．（2024 南山区一模）若一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】两个函数图象没有交点，即两个图象的函数解析式组成的方程组无解．
【解答】解：因为一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，
所以方程无解，
原方程可整理为x2+kx﹣k＝0，
则k2﹣4×1×（﹣k）＜0，
解得﹣4＜k＜0，
所以四个选项中的选项符合题意．
故选：B．
9．（2024 大渡口区模拟）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G，若DE EG＝，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m），设直线EF的解析式为：y＝ax+b，则有：，解得，得到直线EF解析式y＝﹣+3m+3，令x＝0，y＝3m+3，D（0，3m+3），由勾股定理可得DE＝5m和EG＝5，代入DE EG＝可计算出m值，继而k值可得．
【解答】解：设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m），
设直线EF的解析式为：y＝ax+b，则有：
，解得，
∴y＝﹣+3m+3，
令x＝0，y＝3m+3，
∴D（0，3m+3），
作EM⊥x轴，垂足为M，则OM＝AE＝4m，EM＝3，
在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，
∴DE＝5m，
在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，
∴EG＝5，
∴DE EG＝5m×5＝25m＝，
∴m＝，
∴k＝12m＝12×＝1．
故选：A．
10．（2023秋 永州期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：
①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；
②的图象关于点（﹣a，0）对称；
③的图象关于直线y＝﹣x﹣a对称；
④若a＝4，根据图象可知，的解集是x＜0．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
【分析】根据反比例函数的平移特征和图象上点的坐标特征，逐项分析判断即可．
【解答】解：①y＝的图象象向左平移3个单位得到函数y＝的图象，故①错误；
②设函数y＝上一点P（x，y），则点P关于（﹣a，0）的对称点P′（﹣2a﹣x，﹣y），将P′坐标代入y＝，﹣y＝＝﹣，故P′在函数图象上，②正确；
③因为y＝向左平移a个单位得到y＝图象，随之图象对称轴也向左平移a个单位，y＝﹣x向左平移a个单位得到直线y＝﹣x﹣a，故③正确，
④当a＝4时，y＝与y＝的图象没有交点，故的无解集，故④错误．
故选：B．
11．（2023秋 中阳县期末）如图，直线y＝x与双曲线交于点A．将直线y＝x向右平移4个单位长度后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C．若OA＝2BC，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【分析】设点A（2t，2t），则点B（4+t，t），则k＝2t×2t＝t（4+t），即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BC的表达式为：y＝x﹣4，
由OA、BC的表达式知，两条直线和x轴正半轴的夹角均为45°，
当OA＝2BC时，yA＝xA＝2yB，
设点A（2t，2t），则点B（4+t，t），
则k＝2t×2t＝t（4+t），
解得：k＝，
故选：D．
12．（2023秋 安州区期末）如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式＜0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3；④若双曲线y＝（k＞0）上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①由A点横坐标为3，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值；
②根据直线和双曲线的性质即可判断；
③结合图象，即可求得关于x的不等式＜0的解集；
④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S△AOC＝S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE＝S梯形AEDC，由点C的纵坐标为6，可求得点C的坐标，继而求得答案．
【解答】解：①∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，
∴点A的纵坐标为：y＝×3＝2，
∴点A（3，2），
∴k＝3×2＝6，故①正确；
②∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）是中心对称图形，
∴A点与B点关于原点O中心对称，故②正确；
③∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，
∴B（﹣3，﹣2），
∴关于x的不等式＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3，故③正确；
④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点C的纵坐标为6，
∴把y＝6代入y＝得：x＝1，
∴点C（1，6），
∴S△AOC＝S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE＝S梯形AEDC＝×（2+6）×（3﹣1）＝8，故④正确；
故选：A．
13．（2024 建昌县一模）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E，且AE＝AC．则k＝ ． ．
【分析】作CF⊥x轴，由直线解析式可知A（3，0），B（0，﹣），∠CAF＝30°，利用解直角三角形得到线段CF、AF长，列出OF＝OA+AF＝3+＝6，解答即可．
【解答】解：作CF⊥x轴，垂足为F，
在函数中，令y＝0，x＝3；令x＝0，则y＝﹣，
∴A（3，0），B（0，﹣），∠CAF＝30°，
∴E（3，），
∴AE＝AC＝，
∴CF＝＝＝，AF＝CF＝＝，
∴C（6，），
∴OF＝OA+AF＝3+＝6，
解得：k＝6．
故答案为：6．
14．（2024 石峰区一模）反比例函数的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值是 12 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）两点关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
把A（x1，y1）代入反比例函数解析式得：x1 y1＝﹣6，
∴x1y2+x2y1＝﹣x1y1﹣x2y2＝6+6＝12．
故答案为：12．
15．（2024 石峰区一模）已知直线l：y＝kx+b（k≠0）与双曲线交于点A（m1，n1），B（m2，n2）．
（1）若m1+m2＝0，则n1+n2＝ 0 ；
（2）若m1+m2＞0时，n1+n2＞0，则k ＜ 0，b ＞ 0（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）根据题意可知m1＝﹣m2，将点A、B坐标代入反比例函数解析式即可得到结果；
（2）根据题意得到点A（m1，n1），B（m2，n2）在不同的象限，设A（m1，n1）在第二象限，B（m2，n2）在第四象限，则m1＜0，n1＞0，n2＜0，且丨m2丨＞丨m1丨，丨n1丨＞丨n2丨，则直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、二、四象限，据此得到结果．
【解答】解：（1）由m1+m2＝0可知，m1＝﹣m2，点A（m1，n1），B（m2，n2）在反比例函数图象上，
∴n1＝＝＝，n2＝，
∴n1+n2＝0，
故答案为：0．
（2）∵反比例函数图象在第二、四象限，且m1+m2＞0时，n1+n2＞0，
∴点A（m1，n1），B（m2，n2）在不同的象限，
设A（m1，n1）在第二象限，B（m2，n2）在第四象限，则m1＜0，n1＞0，n2＜0，且丨m2丨＞丨m1丨，丨n1丨＞丨n2丨，
∴直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故答案为：＜；＞．
16．（2024 河北一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点P（3，2），直线y＝tx﹣1与y轴相交于Q点，与双曲线相交于M点，线段PQ、QM及P、M两点之间的曲线所围成的区域记作G．
（1）k＝ 6 ；
（2）若区域G（不包括边界）内的整点的个数大于等于3，则t的取值范围是 或t＞3 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）分M在P的上方和下方两种情况讨论：当QM过点（1，2）时，则2＝t﹣1，解得t＝3，此时区域G（不包括边界）内的整点为（1，1），（2，2）两个；当QM过点（2，0）时，则0＝2t﹣1，解得t＝，此时QM过点（4，1），区域G（不包括边界）内的整点为（3，1），结合图象即可求得t的取值范围．
【解答】解：（1）∵双曲线经过点P（3，2），
∴2＝，
∴k＝6，
故答案为：6；
（2）∵直线y＝tx﹣1与y轴相交于Q点，
∴Q（0，﹣1），
∵P（3，2），
∴直线PQ为y＝x﹣1，
∴直线PQ过点（1，0），（2，1），
当QM过点（1，2）时，则2＝t﹣1，解得t＝3，
此时区域G（不包括边界）内的整点为（1，1），（2，2）两个，
故若区域G（不包括边界）内的整点的个数大于等于3，则t的取值范围是t＞3；
当QM过点（2，0）时，则0＝2t﹣1，解得t＝，
此时QM过点（4，1），区域G（不包括边界）内的整点为（3，1），
故若区域G（不包括边界）内的整点的个数大于等于3，则t的取值范围是0＜t；
综上，若区域G（不包括边界）内的整点的个数大于等于3，则t的取值范围是0＜t或是t＞3．
故答案为：0＜t或是t＞3．
17．（2024 碑林区校级四模）如图，直线AB与双曲线交于A，B两点，交x轴于点C，若AB＝2BC，则△ABO的面积为 ．
【分析】作AH⊥OC于H，BT⊥OC于T．设A（a，）．利用平行线分线段成比例定理，求出点B的坐标，再证明S△AOB＝S梯形AHTB，利用梯形的面积公式求解即可．
【解答】解：如图，作AH⊥OC于H，BT⊥OC于T．设A（a，）．
∵AH⊥OC于H，BT⊥OC于T，
∴AH∥BT，
∴，
∵AB＝2BC，
∴，
∴AH＝3BT，
∵AH＝
∴BT＝，
∴B（3a，），
∵OH＝a，OT＝3a，
∴TH＝2a，
∵S△AOB＝S△AOH+S梯形AHTB﹣S△OBT，S△AOH＝S△BOT，
∴S△AOB＝S梯形AHTB＝（+） 2a＝，
故答案为：．
18．（2024 福田区模拟）如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC＝，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y＝（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 1 ．
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及S△BOC＝即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后令﹣2x+5﹣n＝，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，由题意Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，解方程即可求得n＝1．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
令直线y＝﹣2x+5中y＝0，则0＝﹣2x+5，解得：x＝，
即OC＝．
∵S△BOC＝，
∴OC BE＝× BE＝，
解得：BE＝1．
∴点B的纵坐标为1，
当y＝1时，有1＝﹣2x+5，
解得：x＝2，
∴点B的坐标为（2，1），
∴k＝2×1＝2，
即双曲线解析式为y＝．
将直线y＝﹣2x+5向下平移n个单位得到的直线的解析式为y＝﹣2x+5﹣n，
令﹣2x+5﹣n＝，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，
∵有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，
解得n＝1或n＝9（舍去），
∴n的值为1，
故答案为：1．
19．（2024 合肥一模）如图，直线y＝x+2与x，y轴相交于点C，B，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，且AB＝BC．
（1）k＝ 8 ；
（2）在y正半轴上取点D，作DE∥x轴交反比例函数图象于点E，以DE为边向上作正方形DEFG，若该反比例函数的图象恰好经过GF的中点Q，则DB的长为 2 ．
【分析】（1）先求出点B、C坐标，利用中点坐标公式求出点A坐标，继而求出k值；
（2）设点D坐标为（0，m），则E（，m），F（，m+），G（0，m+），利用中点坐标求出点Q坐标，代入反比例函数解析式求出m值，最后计算线段BD长即可．
【解答】解：（1）在一次函数y＝x+2中，令x＝0，则y＝2；令y＝2，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），B（0，2），
∵AB＝BC，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在反比例函数图象上，
∴k＝2×4＝8；
故答案为：8．
（2）由（1）可知反比例函数解析式为：y＝；设点D坐标为（0，m），则E（，m），F（，m+），G（0，m+），
∵Q是GF的中点，
∴Q（，m+），
∵点Q在反比例函数图象上，
∴，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
∴D（0，2），
∴BD＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
20．（2024 肥西县一模）如图，矩形AOBC中，A（0，3），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．
（1）若F为线段BC中点时，则△AOE的面积为 3 ．
（2）若DE EG＝，则k的值为 4 ．
【分析】（1）根据点F为线段BC中点，可得出点F的坐标，进而得出反比例函数的解析式，即可求出△AOE的面积．
（2）过点E作x轴的垂线，设出点E，点F的坐标，进而可表示直线EF的函数解析式，再表示出点D和点G的坐标，最后根据DE EG＝即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，且B（4，0），C（4，3），
又∵点F为线段BC的中点，
∴点F的坐标为（4，）．
将点F坐标代入反比例函数解析式得，
k＝4×＝6，
则反比例函数的解析式为y＝．
∴．
故答案为：3．
（2）过点E作x轴的垂线，垂足为M，
设k＝12m，
则点E坐标为（4m，3），点F坐标为（4，3m）．
设直线EF的函数解析式为y＝ax+b，
则，
解得，
所以直线EF的函数解析式为y＝．
将x＝0代入得，
y＝3m+3，
则D（0，3m+3）．
将y＝0代入得，
x＝4m+4，
则G（4m+4，0）．
所以AD＝3m+3﹣3＝3m．
在Rt△ADE中，
DE＝；
又因为MG＝4m+4﹣4m＝4，EM＝3，
则EG＝．
由DE EG＝得，
5m×5＝，
解得m＝．
所以k＝12m＝4．
故答案为：4．
21．（2024 浙江模拟）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于A（n﹣1，yA），B（n+1，yB）两点，点C（n，yC）在一次函数的图象上，且n＞1．
（1）求证：yA+yB＝2yC；
（2）比较与的大小关系．
【分析】（1）将点A（n﹣1，yA），B（n+1，yB），C（n，yC）代入一次函数y＝ax+b即可证明；
（2）通过数形结合和反比例函数图象上点的坐标特征比较大小即可．
【解答】（1）证明：∵点A（n﹣1，yA），B（n+1，yB），C（n，yC）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴yA＝a（n﹣1）+b．yB＝a（n+1）+b，yC＝an+b，
∴yA+yB＝a（n﹣1）+b+a（n+1）+b＝2（an+b）＝2yC，
∴yA+yB＝2yC；
（2）如图示，点C为线段AB的中点，由（1）可知yA+yB＝2yC；
∵yA+yB＝，yC＞yD＝，
∴2yC＞2yD＝，
∴＞，
22．（2024 北仑区一模）如图，一次函数y＝k1（x﹣1）+3与反比例函数（k1k2≠0）的图象相交于A（1，m）、两点．
（1）求m、n的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）过A、B两点分别作x轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线CD经过原点．
【分析】（1）将A点坐标代入直线解析式可得m，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得n；
（2）根据函数图象直接写出不等式解集即可；
（3）根据题意可得C（﹣2，3），D（1，﹣），待定系数法求出直线CD解析式是正比例函数即可．
【解答】（1）解：当x＝1时，一次函数m＝k1（1﹣1）+3＝3，
∴A（1，3），
∵A（1，m）、两点都在反比例函数图象上．
∴1×m＝﹣，即3＝﹣，
∴n＝﹣2．
∴m＝3，n＝﹣2．
（2）解：由（1）可知A（1，3），B（﹣2，﹣），
根据函数图象可知不等式的解集为：x＞1或﹣2＜x＜0．
（3）证明：由（1）可知，A（1，3），B（﹣2，﹣），
根据题意可得C（﹣2，3），D（1，﹣），
设直线CD解析式为y＝kx+b，代入C、D坐标得：
，解得，
∴直线CD解析式为y＝﹣，
故直线CD经过原点．
23．（2024春 万州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝x﹣4与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（5n，n）和（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数y1＞y2时，自变量的取值范围；
（3）点P为反比例函数图象上第一象限的一点，若S△POC＝2S△AOC，求P点坐标．
【分析】（1）将点B坐标代入一次函数解析式，可得点B坐标，再将所得点B坐标代入反比例函数解析式即可解决问题．
（2）利用数形结合的思想即可解决问题．
（3）先求出△AOC的面积，进而可求出△POC的面积，据此可解决问题．
【解答】解：（1）将点B坐标代入一次函数解析式得，
m﹣4＝﹣5，
解得m＝﹣1，
所以点B坐标为（﹣1，﹣5）．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝﹣1×（﹣5）＝5，
所以反比例函数的解析式为y＝．
（2）将点A坐标代入一次函数解析式得，
5n﹣4＝n，
解得n＝1，
所以点A的坐标为（5，1）．
由函数图象可知，
当﹣1＜x＜0或x＞5时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2时，自变量的取值范围是：﹣1＜x＜0或x＞5．
（3）将y＝0代入y＝x﹣4得，
x﹣4＝0，
解得x＝4，
所以点C的坐标为（4，0），
所以．
因为S△POC＝2S△AOC，
所以S△POC＝2×2＝4，
则，
所以yP＝2，
则，
所以点P的坐标为（）．
24．（2024 市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线CD：y＝﹣x﹣2与y轴交于点D，与反比例函数y＝在第二象限内的图象相交于点C（﹣4，a）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当﹣6≤x≤﹣1时，求y＝的函数值的取值范围；
（3）将直线CD向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且△ACD的面积为18，求平移后直线的关系式．
【分析】（1）把点C（﹣4，a）代入y＝﹣x﹣2求得点C坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）首先求出x＝﹣6和x＝﹣1时的函数值，然后判断出在第二象限内，y随x的增大而减小，进而求解即可；
（3）设平移后的直线y＝﹣x+b交y轴于点M，设点M坐标为M（0，b），连接BM，由△ACD的面积为18，求得DM＝9，再根据一次函数平移的性质即可求解．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为，
∵直线y＝﹣x﹣2图象经过点C（﹣4，a），
∴a＝﹣（﹣4）﹣2＝2，
∴C（﹣4，2），
又∵反比例函数图象经过点C（﹣4，2），
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数解析式为；
（2）当x＝﹣6时，，
当x＝﹣1时，，
∵﹣8＜0
∴在第二象限内，y随x的增大而减小
∴当﹣6≤x≤﹣1时，；
（3）设平移后的直线y＝﹣x+b交y轴于点M，设点M坐标为M（0，b），连接BM，如图，
则，即
∴DM＝9，
∴b﹣（﹣2）＝9，
∴b＝7，
∴平移后直线解析式为y＝﹣x+7．
25．（2024 泰山区校级模拟）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标．
【分析】（1）根据题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）设P（﹣1，a），当∠PAO＝90°，如图2，当∠APO＝90°，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
设反比例函数的解析式为y＝，
则﹣2＝，
得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A的纵坐标是4，
∴4＝，
得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，
解得：，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）存在，
∵直线AB于x轴交于D，
∴D（﹣1，0），
∴OD＝1，
设P（﹣1，a），
如图2，当∠APO＝90°，
∵OP2＝OA2﹣PA2＝PD2+OD2，
∴12+42﹣[（1+1）2+（4﹣a）2]＝12+a2，
解得：a＝2±，
∴P（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣），
综上所述，点P的坐标为（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．
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