中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式的运算
类型一 二次根式的计算
【知识总结】
二次根式乘法公式：
二次根式除法公式：
【方法技巧】
【典例训练】
1．（2022秋 曲阳县期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝2，故A不符合题意．
B、原式＝4，故B符合题意．
C、原式＝4，故C不符合题意．
D、原式＝4，故D不符合题意．
故选：B．
2．（2023 晋城模拟）观察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究过程蕴含的思想方法是（ ）
A．特殊与一般 B．整体
C．转化 D．分类讨论
【分析】根据题意确定蕴含的思想方法．
【解答】解：探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般，
故选：A．
3．（2021 绵阳）计算×的结果是（ ）
A．6 B．6 C．6 D．6
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：×
＝
＝
＝6，
故选：D．
4．（2015 湖北）下列各式计算正确的是（ ）
A．+＝ B．4﹣3＝1 C．2×3＝6 D．÷＝3
【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可．
【解答】解：A.，无法合并，故此选项错误，
B.4﹣3＝，故此选项错误，
C.2×3＝6×3＝18，故此选项错误，
D.＝，此选项正确，
故选：D．
5．（2022秋 卧龙区校级期末）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：
＝
＝
＝．
故选：C．
6．（2023春 宁明县期末）下列计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的加减法则，以及二次根式的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵＝2，
∴选项A不正确；
∵＝2，
∴选项B正确；
∵3﹣＝2，
∴选项C不正确；
∵+＝3≠，
∴选项D不正确．
故选：B．
7．（2022秋 益阳期末）如果与的和等于3，那么a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵与＝2的和等于3，
∴＝3﹣2＝，
故a+1＝3，
则a＝2．
故选：C．
8．（2023春 西城区校级期中）若＝成立，则x的取值范围为（ ）
A．x≥0 B．x≥0或x＜1 C．x＜1 D．0≤x＜1
【分析】根据二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：若＝成立，
则x≥0，1﹣x＞0，
解得：0≤x＜1，
故选：D．
9．（2023春 五莲县期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】二次根式的加减法运算，根据法则，必须是被开方数相同的二次根式才能合并；而对于二次根式的化简，，再根据a的符号去绝对值符号．
【解答】解：A、与不能进行合并；故A错误．
B、；故B错误．
C、＝2+；故C正确．
D、＝﹣2；故D错误．
故选：C．
10．（2023秋 坪山区期中）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；
B.4﹣3＝，故此选项不合题意；
C.+无法合并，故此选项不合题意；
D.2＝2×＝，故此选项符合题意；
故选：D．
11．（2023秋 皇姑区期末）下列计算正确的是（ ）
A．2+3＝5 B．÷＝2 C．5×5＝5 D．＝2
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．
【解答】解：A、2与3不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝2，所以B选项正确；
C、原式＝25＝25，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：B．
12．（2022秋 陵水县期末）下列选项中，计算正确的是（ ）
A．＝±2 B．（﹣）2＝3 C．÷＝9 D．＝1
【分析】根据算术平方根的定义判断A，根据二次根式的性质判断B，根据二次根式的除法法则判断C，D．
【解答】解：A选项，＝2，故该选项计算错误；
B选项，（﹣）2＝3，故该选项计算正确；
C选项，÷＝＝3，故该选项计算错误；
D选项，＝，故该选项计算错误；
故选：B．
13．（2021秋 南召县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减．
【解答】解：原式＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3
＝4+2﹣3
＝3，
故选：A．
14．（2023春 芝罘区期中）若y﹣＝﹣2023，则（x+y）2023的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2023
【分析】先根据二次根式有意义求出x和y的值，再计算即可．
【解答】解：∵y﹣＝﹣2023，
∴x﹣2022≥0，2022﹣x≥0，
∴x＝2022，
∴y＝﹣2023，
∴（x+y）2023＝（2022﹣2023）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：C．
15．（2023秋 九原区期中）计算：＝ 6 ．
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行解题即可．
【解答】解：原式＝＝6．
故答案为：6．
16．（2022秋 重庆期末）设a、b都是有理数，规定a*b＝，则（4*8）*[9*（﹣64）]＝ 1 ．
【分析】根据新定义运算的运算方法和有理数的运算顺序计算即可．
【解答】解：原式＝（+）*（+）
＝4*（﹣1）
＝+
＝1．
17．（2022秋 南关区校级期末）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7﹣]的值为 4 ．
【分析】直接估算的取值范围，进而结合符号[m]表示一个实数m的整数部分，进而得出答案．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴[7﹣]＝4．
故答案为：4．
18．（2023秋 高新区校级月考）已知，，则2y﹣3x的平方根为 ±4 ．
【分析】根据，，可以求得x、y的值，然后即可求得2y﹣3x的平方根．
【解答】解：∵，
∴96﹣x≥0，
∴x≤96，
∴100﹣x+96﹣x＝200，
解得x＝﹣2，
∵，
∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，
解得m＝2，
∴y＝5，
∴±＝±＝±4，
故答案为：±4．
19．（2023秋 龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（﹣）]＝ 9 ．
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：2★[（﹣2）★（﹣）]
＝2★[（﹣2）﹣（﹣）2]
＝2★[（﹣2）﹣3]
＝2★（﹣5）
＝22﹣（﹣5）
＝4+5
＝9，
故答案为：9．
20．（2023秋 南关区校级期中）（1）填空： 32 ；
（2）填空：＝ 80 ，＝ 0.4 ；
（3）已知≈1.772，则≈ 177.2 ，≈ 0.1772 ．
【分析】（1）开二次根式后相乘；
（2）开二次根式；
（3）开二次根式后相乘、相除．
【解答】解：（1）×＝8×4＝32，
故答案为：32；
（2）＝80，＝0.4，
故答案为：80，0.4；
（3）＝100≈177.2，＝0.1772，
故答案为：177.2，0.1772．
21．（2023秋 石家庄期中）二次根式计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的除法法则进行计算即可；
（3）根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
【解答】解：（1）原式＝2×4＝16；
（2）原式＝
＝
＝
＝；
（3）原式＝4+2+5＝11．
22．（2023秋 浦东新区期中）计算：．
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝3×××
＝3×××
＝．
23．（2023秋 二道区期末）计算：．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3﹣2+2﹣3
＝（3+2）﹣（2+3）
＝5﹣5．
24．（2023秋 杨浦区期中）计算：．
【分析】先化简二次根式，再合并二次根式．
【解答】解：原式＝2﹣﹣﹣
＝﹣．
25．（2023秋 黄浦区期中）计算：﹣+﹣．
【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，再进行加减法的运算．
【解答】解：原式＝5﹣+﹣3
＝（5﹣+﹣3）
＝3．
26．（2023秋 沈北新区期末）（1）；
（2）+（﹣2）2﹣（）．
【分析】（1）根据二次根式的除法和乘法法则运算；
（2）先利用二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝2﹣；
（2）原式＝+12﹣（4﹣）
＝+12﹣4+
＝12﹣2．
27．（2023秋 沈丘县期末）（1）计算：2﹣3+5；
（2）计算：（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式；
（2）依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝2﹣6+15＝11；
（2）原式＝﹣+﹣3﹣（12﹣4+1）
＝﹣2﹣12+4﹣1
＝﹣2+4﹣13．
28．（2022秋 沐川县期末）计算（﹣）×+（﹣3）2÷．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+（3+9﹣6）÷
＝+（12﹣6）÷
＝+4﹣6
＝5﹣6．
29．（2023秋 渠县校级期中）计算：
（1）﹣+
（2）（+）（﹣）﹣
（3）﹣3+．
【分析】（1）利用二次根式性质化简即可；
（2）利用平方差公式运算；
（3）利用二次根式性质化简即可．
【解答】解：（1）﹣+
＝2﹣3+5
＝4；
（2）（+）（﹣）﹣
＝7﹣3﹣4
＝0；
（3）﹣3+
＝﹣3+3+6
＝6．
30．（2022秋 唐山期末）下面是小明和大刚分别计算：，的做法．
小明的做法：
解：＝＝＝6，．
大刚的做法：
解：＝＝6，．
两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目：
（1）；
（2）．
【分析】（1）（2）先判断正确性，再对照已知做法计算即可．
【解答】解：两人的做法都正确，
（1）＝＝；
（2）＝＝＝．
31．（2023秋 漳州期中）观察下列等式及其验证过程：
，验证：＝＝＝2；
，验证：＝＝＝3．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想＝ 4 ；
（2）针对上述等式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【分析】（1）仿照上述两个等式的特征猜测得到结果即可；
（2）依次类推得到一般性规律，用n表示出等式，验证即可．
【解答】解：（1）根据题意得：＝4；
故答案为：4；
（2）根据题意得：＝n（其中n＞1的整数），
验证：左边＝＝＝n＝右边，
则等式成立．
32．（2023春 大化县期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．
∴1﹣x＞0．
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a，b在数轴上的位置判断出a+b＜0、a+b＜0，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形的三边关系得出a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，再利用二次根式的性质化简可得．
【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；
（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；
（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c．
33．（2023春 麻章区期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1＝1；；；；；；；
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：＝ n ，Sn＝ ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入Sn＝2求出n即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，
所以OAn2＝n．Sn＝ 1 ＝，
故答案为：n，；
（2）当Sn＝2时，有：2＝，
解之得：n＝32，
即：说明它是第32个三角形；
（3）+++…+
＝++…+
＝
＝11.25．
即：+++…+的值为11.25．
34．（2023秋 红古区期末）先阅读，后解答：
＝＝，＝＝＝3+．
像上述解题过程中，与相乘、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这样的两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
（1）的有理化因式是 ； 的有理化因式是 ﹣4 ．
（2）计算：+++…+．
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义，即可解答；
（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）的有理化因式是；，的有理化因式是﹣4，
故答案为：；﹣4；
（2）+++…+
＝+++…+
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1
＝2﹣1．
35．（2023秋 锦江区校级期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
；
．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①＝ ﹣ ；
②＝ （1﹣）2 ．
（2）应用：求+…+的值．
（3）拓广：直接写出的值．
【分析】（1）①根据（一）中的解法解答即可；
②根据（二）中的解法解答即可；
（2）根据平方差公式和分母有理化可以解答本题；
（3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．
【解答】解：（1）①＝＝＝﹣，
故答案为：﹣；
②＝1﹣2+2＝12﹣2+（）2＝（1﹣）2，
故答案为：（1﹣）2；
（2）+…+
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1；
（3）
＝﹣+﹣
＝﹣+﹣
＝
＝
＝
＝﹣1．
类型二 与二次根式有关的化简求值
【知识总结】
二次根式的化简求值解题步骤：
①根据整式、分式与二次根式的性质法则将所给代数式化到最简
②将所给字母的值带入结果计算，得出结果，结果必须是最简二次根式或者实数
二次根式化简求值常见结合思想：
①利用整式的乘法公式，将代求代数式转化后，带入化简后的结果计算；
②先利用二次根式的非负性求出未知数的值，再带入化简后的结果计算；
③不求出单独自己的值，利用整体思想带入组合字母部分的值，算出最后结果；
④与新定义结合，根据新定义的性质计算结果。
【典例训练】
1．（2022秋 卧龙区校级期末）已知x＝+1，则x2﹣2x+1的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．
【分析】先利用完全平方公式把代数式因式分解，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
当x＝+1时，
原式＝（+1﹣1）2＝3．
故选：B．
2．（2022秋 安化县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则x+y的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【分析】先确定x＜0，y＜0，再利用二次根式的性质化简得到原式＝﹣2，然后把xy＝4代入计算即可．
【解答】解：∵x+y＝﹣5＜0，xy＝4＞0，
∴x＜0，y＜0，
∴原式＝x+y
＝﹣x ﹣y
＝﹣2，
∵xy＝4，
∴原式＝﹣2＝﹣2×2＝﹣4．
故选：B．
3．（2023秋 兴文县期中）若x，y均为实数，且y＞+2，则化简：x﹣＝（ ）
A．x+y﹣1 B．2+y C．2﹣y D．4﹣y
【分析】先利用二次根式的性质确定x的值和y的取值范围，再利用绝对值的意义化简后代入求值．
【解答】解：∵式子++2有意义，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
∴x＝3．
当x＝3时，y＞+2，
y＞2．
当x＝3，y＞2时，
x﹣＝x﹣|1﹣y|
＝x﹣（y﹣1）
＝x﹣y+1
＝3﹣y+1
＝4﹣y．
故选：D．
4．（2023秋 巴州区期中）已知a＝，b＝1﹣，则a2+ab+b2的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直接把a＝，b＝1﹣代入a2+ab+b2中即可得到答案．
【解答】解：把a＝，b＝1﹣代入a2+ab+b2中得：
（+1）2+（+1）（1﹣）+（1﹣）2，
＝3+2+1﹣2+3﹣2，
＝5．
故选：A．
5．（2023 蚌山区模拟）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．n B．n C．n D．n+
【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
6．（2023春 雄县期中）已知，，求a2﹣b2的值．
嘉琪同学的解题步骤如下：
a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）…①
＝…②
＝…③
＝0…④
其中，首先出错的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】先用平方差公式分解，再代入数据求解即可．
【解答】解：a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝
＝
＝．
首先出错的步骤是②．
故选：B．
7．（2023春 绥江县期中）若，则代数式x2﹣4x+4的值为（ ）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣2023 D．2023
【分析】先把已知条件变形得到x﹣2＝，再两边平方，然后利用完全平方公式展开即可．
【解答】解：∵x＝2+，
∴x﹣2＝，
∴（x﹣2）2＝2023，
∴x2﹣4x+4＝2023，
故选：D．
8．（2023春 和县校级期末）已知，，则a2﹣b2的值为（ ）
A． B． C．14 D．
【分析】根据二次根式的加减法法则分别求出a+b、a﹣b，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵a＝+，b＝﹣，
∴a+b＝（+）+（﹣）＝2，a﹣b＝（+）﹣（﹣）＝2，
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×2＝4，
故选：D．
9．（2023 江岸区校级模拟）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将0.化成分数，设0.＝x，则有10x＝7.，9x＝7，解得x＝，类比上述方法及思想则＝（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】设＝x，等式两边平方得6+x＝x2，然后解一元二次方程即可．
【解答】解：设＝x，
两边平方得6+x＝x2，
整理得x2﹣x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2（舍去），
即则＝3．
故选：A．
10．（2023 安徽模拟）设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（ ）
A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代入、化简、运算、求值，即可解决问题．
【解答】解：∵﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝＝，
∴a的小数部分＝﹣1；
∵﹣
＝
＝﹣
＝
＝，
∴b的小数部分＝﹣2，
∴﹣＝
＝
＝
＝．
故选：B．
11．（2023春 涡阳县期中）已知x+y＝+，xy＝，则x﹣y的值为 （ ）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2
【分析】根据（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，然后代入计算可得答案；
【解答】解：∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，x+y＝+，xy＝，
∴（x﹣y）2＝6+4+10﹣4＝16，
∴x﹣y＝±4．
故选：C．
12．（2023春 莱西市期中）已知，，则 等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，，
∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝（++﹣）2﹣2（+）（﹣）
＝（2）2﹣2×（3﹣2）
＝12﹣2
＝10，
故选：C．
13．（2023秋 东乡区期中）已知，，则＝ 10 ．
【分析】将x1、x2的值代入，再根据完全平方公式计算可得．
【解答】解：当，时，
原式＝（﹣）2+（）2
＝5﹣2+5+2
＝10，
故答案为：10．
14．（2022秋 成都期末）已知x，y是实数，且，则＝ 1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的取值范围，据此化简绝对值和二次根式即可得到答案
【解答】解：由题意知，，，
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，
∴x＝1，
∴，
∴y﹣1＜0，
∴．
故答案为：1．
15．（2023秋 乐清市校级期中）已知实数m使得成立，则＝ ．
【分析】利用平方差公式得到（+）（﹣）＝11，然后利用+＝9可得到﹣的值．
【解答】解：∵（+）（﹣）＝23﹣m﹣（12﹣m）＝11，
而+＝9，
∴﹣＝．
故答案为：．
16．（2023秋 松江区期中）已知，则＝ 2 ．
【分析】设，可得（a+3）（a﹣1）＝5，再解方程并结合非负数的性质即可求解．
【解答】解：设，
则（a+3）（a﹣1）＝5，
整理得，a2+2a＝8，
配方得，a2+2a+1＝8+1，
即（a+1）2＝9，
开平方得，a+1＝±3，
∴a1＝2，a2＝﹣4，
∵，
∴，
故答案为：2．
17．（2023春 天河区期末）阅读下列材料：因为，即2＜3，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为[m]，小数部分记为{m}，可得[]＝2，{}＝﹣2．按照此规定计{5﹣}的值是 3﹣ ．
【分析】根据题意即可得到5﹣的小数部分．
【解答】解：{5﹣}＝5﹣﹣2＝3﹣．
故答案为：3﹣．
18．（2023秋 通川区校级期中）已知a＝，b＝．求：
（1）ab的值；
（2）a2+b2﹣ab的值．
【分析】（1）先分母有理化得到a＝3+2，b＝3﹣2，然后利用平方差公式计算ab的值；
（2）先计算出a+b的值，再把a2+b2﹣ab变形为（a+b）2﹣3ab，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵a＝＝3+2，b＝＝3﹣2，
∴ab＝（3+2）×（3﹣2）＝9﹣8＝1；
（2）∵a+b＝3+2+3﹣2＝6，ab＝1，
∴a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝62﹣3×1＝33．
19．（2023春 益阳期末）先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．
【解答】解：∵x＝＝3﹣2，
∴x﹣2＝1﹣2＜0，
则原式＝x﹣1+
＝x﹣1﹣1
＝x﹣2
＝1﹣2．
20．（2023秋 东城区校级期中）已知，，求．
【分析】利用二次根式的性质将a，b的值化简，求得a+b，ab的值，再利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵a＝＝＝4，
b＝＝＝4﹣，
∴a+b＝8，ab＝（4+）（4﹣）＝16﹣15＝1．
∴原式＝
＝
＝
＝62．
21．（2023秋 苏州期中）已知，求的值．
【分析】根据算术平方根和偶次方的数是非负数，求出a和b的值，再代入代数式中求出结果．
【解答】解：由题意得：
解得：a＝2，b＝3，
把a＝2，b＝3，代入，
得到：4﹣＝4＝2．
22．（2023秋 兰州期中）先化简，后求值：，其中．
【分析】先按照二次根式混合运算的法则把原式进行化简，然后将代入计算即可．
【解答】解：
＝a2﹣5﹣a2+2a
＝2a﹣5，
将代入2a﹣5得，
＝2+2﹣5
＝．
23．（2023 北碚区校级开学）化简求值：
已知a＝，b＝，求的值．
【分析】利用二次根式的性质化简a，b，利用分式的混合运算的法则化简式子，最后将a，b的值代入运算即可．
【解答】解：a＝，b＝，
原式＝（）×
＝
＝
＝
＝
＝．
24．（2023秋 双流区校级月考）已知：，．
（1）化简求值：求x2﹣3xy+y2的值；
（2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求m﹣nx的值．
【分析】（1）先分母有理化求出x＝+2，y＝﹣2，求出x﹣y和xy的值，再根据完全平方公式得出x2﹣3xy+y2＝（x﹣y）2﹣xy，再代入求出答案即可；
（2）先估算出的范围，求出4＜+2＜5，0﹣2＜1，求出m、n的值，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）∵x＝＝＝+2，y＝＝＝﹣2，
∴x﹣y＝（+2）﹣（﹣2）＝4，xy＝（+2）×（﹣2）＝5﹣4＝1，
∴x2﹣3xy+y2
＝（x﹣y）2﹣xy
＝42﹣1
＝16﹣1
＝15；
（2）∵2＜3，
∴4＜+2＜5，0﹣2＜1，
∵x的整数部分是m，y的小数部分是n，x＝+2，y＝﹣2，
∴m＝4，n＝﹣2，
∴m﹣nx
＝4﹣（﹣2）×（+2）
＝4﹣（5﹣4）
＝4﹣1
＝3．
25．（2023春 香洲区校级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：
（1）的整数部分是 3 ，的小数部分是 ﹣4 ．
（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1．
（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求的值．
【分析】（1）根据算术平方根的性质可确定的整数部分；先确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值；
（3）由得，从而得x＝9，，将x、y的值代入原式即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分为3，
∵，
∴的整数部分为4，
∴的小数部分为，
故答案为：3，；
（2）∵，a是的整数部分，
∴a＝9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，即，
∵，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝9，，
∴．
26．（2023春 青川县期末）阅读下面的文字后，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中a＝5．”甲、乙两人的解答不同；
甲的解答是：；
乙的解答是：．
（1） 甲 的解答是错误的．
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ＝|a|，当a＜0时，＝﹣a ．
（3）模仿上题解答：化简并求值：，其中a＝2．
【分析】（1）当a＝5时，1﹣3a＜0，甲求的算术平方根为负数，错误；
（2）二次根式的性质，＝|a|，当a＜0时，＝﹣a；
（3）将被开方数写成完全平方式，先判断当a＝2时，1﹣a，1﹣4a的符号，再去绝对值，代值计算．
【解答】解：（1）当a＝5时，甲没有判断1﹣3a的符号，错误的是：甲；
（2）＝|a|，当a＜0时，＝﹣a．
（3）|1﹣a|+＝|1﹣a|+．
∵a＝2，
∴1﹣a＜0，1﹣4a＜0，
∴原式＝a﹣1+4a﹣1＝5a﹣2＝8．
27．（2022秋 盐湖区期末）阅读材料：像（）×＝1，（a≥0），……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．”聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为a＝＝＝+1，所以a﹣1＝，所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2，所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2，请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 + ，＝ + ；的有理化因式是 +2或﹣2 ，＝ ﹣2 ；
（2）若a＝，求﹣2a2+12a+3的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义，进行求解即可；
（2）根据题干给出的解题方法，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵（﹣）（+）＝3﹣2＝1，
∴﹣的有理化因式是+；
∴＝＝+，
∵（﹣2）（+2）＝3﹣4＝﹣1，（﹣2）（﹣﹣2）＝1，
∴﹣2的有理化因式是+2或﹣2；
∴；＝＝﹣﹣2；
故答案为：；+；+2或﹣2；﹣﹣2；
（2）∵a＝＝＝3+，
∴a﹣3＝，
∴（a﹣3）2＝7，
∴a2﹣6a+9＝7，
∴a2﹣6a＝﹣2，
∴﹣2a2+12a＝4，
∴﹣2a2+12a+3＝7．
28．（2023秋 南山区校级期中）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵a＝＝＝2﹣
∴a﹣2＝，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简
（2）若a＝，①求4a2﹣8a+1的值；②a3﹣3a2+a+1＝ 0 ．
【分析】（1）根据分母有理化的方法可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题．
【解答】解：（1）
＝（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），
＝（﹣1），
＝（11﹣1），
＝5．
（2）①∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5；
②∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+1
＝a（a2﹣2a）﹣a2+a+1
＝a﹣a2+a+1
＝﹣a2+2a+1
＝﹣（a2﹣2a）+1
＝﹣1+1
＝0，
故答案为：0．
29．（2023秋 卫辉市期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求：①＝ 2 ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（2）代数式中x的取值范围是 2≤x≤10 ，最大值是 4 ，最小值是 2 ；
（3）计算：．
【分析】（1）①根据平方差公式可解答；
②两边同时平方将根号化去，解方程并进行检验；
（2）根据被开方数大于等于0，列不等式组可得结论；
（3）分别进行分母有理化可解答．
【解答】解：（1）①∵（+）×（﹣）＝（）2﹣（）2＝20﹣x﹣4+x＝16，且，
∴﹣＝2；
故答案为：2；
②，
＝8﹣，
两边同时平方得：20﹣x＝64﹣16+4﹣x，
＝3，
两边同时平方得：4﹣x＝9，
∴x＝﹣5，
经检验：x＝﹣5是原方程的解；
（2）由题意得：，
解得：2≤x≤10，
当x＝2时，＝＝2，
当x＝6时，＝2+2＝4，
∴最大值是4，最小值是2；
故答案为：2≤x≤10，4，2；
（3）
＝+++…+
＝﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式的运算
类型一 二次根式的计算
【知识总结】
二次根式乘法公式：
二次根式除法公式：
【方法技巧】
【典例训练】
1．（2022秋 曲阳县期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023 晋城模拟）观察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究过程蕴含的思想方法是（ ）
A．特殊与一般 B．整体
C．转化 D．分类讨论
3．（2021 绵阳）计算×的结果是（ ）
A．6 B．6 C．6 D．6
4．（2015 湖北）下列各式计算正确的是（ ）
A．+＝ B．4﹣3＝1 C．2×3＝6 D．÷＝3
5．（2022秋 卧龙区校级期末）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023春 宁明县期末）下列计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋 益阳期末）如果与的和等于3，那么a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2023春 西城区校级期中）若＝成立，则x的取值范围为（ ）
A．x≥0 B．x≥0或x＜1 C．x＜1 D．0≤x＜1
9．（2023春 五莲县期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023秋 坪山区期中）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝
11．（2023秋 皇姑区期末）下列计算正确的是（ ）
A．2+3＝5 B．÷＝2 C．5×5＝5 D．＝2
12．（2022秋 陵水县期末）下列选项中，计算正确的是（ ）
A．＝±2 B．（﹣）2＝3 C．÷＝9 D．＝1
13．（2021秋 南召县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春 芝罘区期中）若y﹣＝﹣2023，则（x+y）2023的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2023
15．（2023秋 九原区期中）计算：＝ ．
16．（2022秋 重庆期末）设a、b都是有理数，规定a*b＝，则（4*8）*[9*（﹣64）]＝ ．
17．（2022秋 南关区校级期末）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7﹣]的值为 ．
18．（2023秋 高新区校级月考）已知，，则2y﹣3x的平方根为 ．
19．（2023秋 龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（﹣）]＝ ．
20．（2023秋 南关区校级期中）（1）填空： ；
（2）填空：＝ ，＝ ；
（3）已知≈1.772，则≈ ，≈ ．
21．（2023秋 石家庄期中）二次根式计算：
（1）；
（2）；
（3）．
22．（2023秋 浦东新区期中）计算：．
23．（2023秋 二道区期末）计算：．
24．（2023秋 杨浦区期中）计算：．
25．（2023秋 黄浦区期中）计算：﹣+﹣．
26．（2023秋 沈北新区期末）（1）；
（2）+（﹣2）2﹣（）．
27．（2023秋 沈丘县期末）（1）计算：2﹣3+5；
（2）计算：（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．
28．（2022秋 沐川县期末）计算（﹣）×+（﹣3）2÷．
29．（2023秋 渠县校级期中）计算：
（1）﹣+
（2）（+）（﹣）﹣
（3）﹣3+．
30．（2022秋 唐山期末）下面是小明和大刚分别计算：，的做法．
小明的做法：
解：＝＝＝6，．
大刚的做法：
解：＝＝6，．
两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目：
（1）；
（2）．
31．（2023秋 漳州期中）观察下列等式及其验证过程：
，验证：＝＝＝2；
，验证：＝＝＝3．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想＝ ；
（2）针对上述等式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
32．（2023春 大化县期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．
∴1﹣x＞0．
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：
．
33．（2023春 麻章区期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1＝1；；；；；；；
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：＝ ，Sn＝ ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
34．（2023秋 红古区期末）先阅读，后解答：
＝＝，＝＝＝3+．
像上述解题过程中，与相乘、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这样的两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
（1）的有理化因式是 ； 的有理化因式是 ．
（2）计算：+++…+．
35．（2023秋 锦江区校级期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
；
．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①＝ ；
②＝ ．
（2）应用：求+…+的值．
（3）拓广：直接写出的值．
类型二 与二次根式有关的化简求值
【知识总结】
二次根式的化简求值解题步骤：
①根据整式、分式与二次根式的性质法则将所给代数式化到最简
②将所给字母的值带入结果计算，得出结果，结果必须是最简二次根式或者实数
二次根式化简求值常见结合思想：
①利用整式的乘法公式，将代求代数式转化后，带入化简后的结果计算；
②先利用二次根式的非负性求出未知数的值，再带入化简后的结果计算；
③不求出单独自己的值，利用整体思想带入组合字母部分的值，算出最后结果；
④与新定义结合，根据新定义的性质计算结果。
【典例训练】
1．（2022秋 卧龙区校级期末）已知x＝+1，则x2﹣2x+1的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．
2．（2022秋 安化县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则x+y的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
3．（2023秋 兴文县期中）若x，y均为实数，且y＞+2，则化简：x﹣＝（ ）
A．x+y﹣1 B．2+y C．2﹣y D．4﹣y
4．（2023秋 巴州区期中）已知a＝，b＝1﹣，则a2+ab+b2的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2023 蚌山区模拟）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．n B．n C．n D．n+
6．（2023春 雄县期中）已知，，求a2﹣b2的值．
嘉琪同学的解题步骤如下：
a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）…①
＝…②
＝…③
＝0…④
其中，首先出错的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2023春 绥江县期中）若，则代数式x2﹣4x+4的值为（ ）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣2023 D．2023
8．（2023春 和县校级期末）已知，，则a2﹣b2的值为（ ）
A． B． C．14 D．
9．（2023 江岸区校级模拟）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将0.化成分数，设0.＝x，则有10x＝7.，9x＝7，解得x＝，类比上述方法及思想则＝（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2023 安徽模拟）设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（ ）
A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1
11．（2023春 涡阳县期中）已知x+y＝+，xy＝，则x﹣y的值为 （ ）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2
12．（2023春 莱西市期中）已知，，则 等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．（2023秋 东乡区期中）已知，，则＝ ．
14．（2022秋 成都期末）已知x，y是实数，且，则＝ ．
15．（2023秋 乐清市校级期中）已知实数m使得成立，则＝ ．
16．（2023秋 松江区期中）已知，则＝ ．
17．（2023春 天河区期末）阅读下列材料：因为，即2＜3，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为[m]，小数部分记为{m}，可得[]＝2，{}＝﹣2．按照此规定计{5﹣}的值是 ．
18．（2023秋 通川区校级期中）已知a＝，b＝．求：
（1）ab的值；
（2）a2+b2﹣ab的值．
19．（2023春 益阳期末）先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
20．（2023秋 东城区校级期中）已知，，求．
21．（2023秋 苏州期中）已知，求的值．
22．（2023秋 兰州期中）先化简，后求值：，其中．
23．（2023 北碚区校级开学）化简求值：
已知a＝，b＝，求的值．
24．（2023秋 双流区校级月考）已知：，．
（1）化简求值：求x2﹣3xy+y2的值；
（2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求m﹣nx的值．
25．（2023春 香洲区校级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：
（1）的整数部分是 ，的小数部分是 ．
（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1．
（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求的值．
26．（2023春 青川县期末）阅读下面的文字后，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中a＝5．”甲、乙两人的解答不同；
甲的解答是：；
乙的解答是：．
（1） 的解答是错误的．
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ．
（3）模仿上题解答：化简并求值：，其中a＝2．
27．（2022秋 盐湖区期末）阅读材料：像（）×＝1，（a≥0），……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．”聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为a＝＝＝+1，所以a﹣1＝，所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2，所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2，请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ，＝ ；的有理化因式是 ，＝ ；
（2）若a＝，求﹣2a2+12a+3的值．
28．（2023秋 南山区校级期中）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵a＝＝＝2﹣
∴a﹣2＝，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简
（2）若a＝，①求4a2﹣8a+1的值；②a3﹣3a2+a+1＝ ．
29．（2023秋 卫辉市期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求：①＝ ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（2）代数式中x的取值范围是 ，最大值是 ，最小值是 ；
（3）计算：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
