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平行四边形存在性问题
【知识储备】
①平行四边形是中心对称图形
②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分
③中点公式：
类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题
【典题练习】
1．（2023 河北二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8cm，BC＝6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当t＝3s时，四边形ABMP为矩形
B．当t＝4s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD＝PM时，t＝3s
D．当CD＝PM时，t＝3s或5s
【分析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可．
【解答】解：根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm，
∵AD＝8cm，BC＝6cm，
∴AP＝（8﹣t）cm，CM＝（6﹣t）cm，
当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，
即8﹣t＝t，
解得t＝4，
故A选项不符合题意；
当四边形CDPM为平行四边形，DP＝CM，
即t＝6﹣t，
解得t＝3，
故B选项不符合题意；
当CD＝PM时，分两种情况：
①四边形CDPM是平行四边形，
此时CM＝PD，
即6﹣t＝t，
解得t＝3，
②四边形CDPM是等腰梯形，
过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：
则∠MGP＝∠CHD＝90°，
∵PM＝CD，GM＝HC，
∴△MGP≌△CHD（HL），
∴GP＝HD，
∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，
又∵BM＝t，
∴8﹣t+＝t，
解得t＝5，
综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，
故C选项不符合题意，D选项符合题意，
故选：D．
2．（2023春 盱眙县期末）如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（ ）
A． B．8 C．4或 D．或8
【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，
∴10﹣t＝30﹣4t，
解得：t＝；
当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，
∴10﹣t＝4t﹣30，
解得：t＝8．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
故选：D．
3．（2022春 曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（ ）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．2 B．3 C．3或5 D．4或5
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC
∠ADB＝∠FBM
∴BF＝DF＝12cm
∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，
∵点E是BC的中点
∴EC＝BC＝9cm，
∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形
∴PF＝EQ
∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9
∴t＝3或5
故选：C．
4．（2023春 大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝ 2 时，四边形AECF是平行四边形．
【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，
∴OB＝OD＝6cm，
∴OE＝6﹣t，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE＝OF，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2，
∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，
故答案为：2．
5．（2023秋 红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．
（1）求DQ、PC的代数表达式；
（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；
（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；
（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．
【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，
PC＝（21﹣2t）cm；
（2）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ＝CP，
当P从B运动到C时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，
∴16﹣t＝21﹣2t，
解得：t＝5，
∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，
∵cm，AH＝BP，
∴，
∴．
当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，
∵QD2＝PQ2＝t2+122，
∴（16﹣t）2＝122+t2，
解得．
当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，
∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+（16﹣2t）2，
∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，
即3t2﹣32t+144＝0，
∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
6．（2023春 和平区校级月考）已知 ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为 cm2．
（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝ 4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒 秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；
（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△PAB，即可求解；
（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠CBP，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∵AB＝BP，
∴AB＝BP＝AP，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠ABP＝60°，
∴∠ABC＝120°．
（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△CDF＝ CD＝S ABCD，
S△PBC＝h2 BC＝S ABCD，
∴S△PBC＝S△CDF＝S ABCD，
∴S△PCD+S△DPF＝S ABCD，
∴S△PAB+S△PCD＝S ABCD，
∴S△PCD+S△DPF＝S△PAB+S△PCD，
∴S△DPF＝S△PAB，
∵△ABP是等边三角形，
∴S△DPF＝S△PAB＝＝3，
故答案为：；
（3）∵PD∥BQ，
∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，
∵（s），
∴0≤t＜12，
①当12﹣t＝12﹣4t时，
解得：t＝0（不合题意，舍去）；
此时当P与A重合，Q与C重合；
②当12﹣t＝24﹣4t时，
解得：t＝4；
③当12﹣t＝4t﹣12时，
解得：t＝4.8；
④当12﹣t＝4t﹣24时，
解得：t＝7.2；
⑤当12﹣t＝36﹣4t时，
解得：t＝8；
⑥当12﹣t＝4t﹣36时，
解得：t＝9.6；
综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．
类型二 “三定一动”求平行四边形的顶点坐标
当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：
①设第4个点的坐标
②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论
③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解
例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；
【典题练习】
7．（2022春 西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 （4，0）或（﹣2，0）或（2，2） ．
【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．
【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）
③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）
综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；
故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．
8．（2018春 大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；
（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；
（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2如图，△A2B2C2为所作；
（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．
9．（2023春 凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；
（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，
∴OA＝8，OB＝6，
∴A（﹣8，0），B（0，6），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
代入A点和B点的坐标得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝；
（2）∵△ABC的面积为15，
∴AC OB＝15，
即AC×6＝15，
∴AC＝5，
∵OA＝8，
∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，
即C（﹣3，0）；
（3）存在，
∵D点在直线AB上，
设D（a，a+6），
∵BC平分∠ABO，
∴CD＝OC，
即＝3，
解得a＝﹣，
∴D（﹣，），
设直线DE的解析式为y＝sx+t，
∴，
解得，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，
∴E（0，﹣4），
设点P的坐标为（m，n），
①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，
∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），
∴P（﹣3，﹣4）；
②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，
，
解得，
即P'（3，﹣4）；
③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，
，
解得，
即P''（﹣3，4）；
综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．
类型三 “两定两动”求平行四边形的顶点坐标
当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。
【典题练习】
10．（2022春 邗江区校级月考）在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m+1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （﹣，0）或（，0） ．
【分析】需要以已知线段AB为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点D坐标．
【解答】解：设D（n，0），
∵A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m+1），
∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：
①若四边形ABCD为平行四边形，
对角线中点坐标为：（，）或（，），
∴，
解得：，
∴D（﹣，0），
∵D，A，B三点共线，
∴此种情况不满足；
②若四边形ADBC为平行四边形，
对角线中点坐标为：（，）或（，），
∴，
解得：，
∴D（﹣，0），
③若四边形ABDC为平行四边形，
对角线中点坐标为：（，）或（，），
∴，
解得：，
∴D（，0），
故答案为：（﹣，0）或（，0）．
11．（2022春 长春期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（0，8）、（6，0）．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）求PC的长．（用含t的代数式表示）
（2）当点P在OB的垂直平分线上时，求t的值．
（3）若另一动点Q，以每秒2个单位长度的速度从点O出发，在OA上往返运动．P、Q两点同时出发，当t＝20时，Q点停止运动，点P也随之停止运动．当以P、C，Q、A为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【分析】（1）分两种情况：当0≤t≤8时；当t＞8时，即可求解；
（2）由线段的垂直平分线的性质得出PO＝PB＝t，再利用勾股定理即可求出结论；
（3）分类讨论点Q在往返运动AQ的代数式，通过CP＝AQ求解即可．
【解答】解：（1）BC＝OA＝8，
当0≤t≤8时，由题意得，PC＝8﹣t，
当t＞8时，由题意得，PC＝t﹣8；
（2）如图，连接OP，
∵点P是OB的垂直平分线上，
∴PO＝PB＝t，
∴PC＝BC﹣PB＝8﹣t，
在Rt△POC中，OC＝6，
根据勾股定理得，OC2+PC2＝OP2，
∴62+（8﹣t）2＝t2，
∴t＝；
（3）∵以P、C，Q、A为顶点的四边形是平行四边形，AQ∥PC，
∴AQ＝PC，
当0≤t≤4时，由题意得，8﹣2t＝8﹣t，解得t＝0；
当4＜t≤8时，由题意得，2t﹣8＝8﹣t，解得t＝；
当8＜t≤12时，由题意得，24﹣2t＝t﹣8，解得t＝；
当12＜t≤16时，由题意得，2t﹣24＝t﹣8，解得t＝16．
当16＜t≤20时，由题意得，40﹣2t＝t﹣8，解得t＝16（舍去）．
综上所述，当t的值为0或或或16时，以P、C，Q、A为顶点的四边形是平行四边形．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A的坐标．
（2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）联立两直线解析式，解方程组可求得A点坐标；
（2）可设E（t，t+1），当AO为平行四边形的边时，则有DE∥AO，可求得直线AO的解析式，则用t可表示出直线DE的解析式，联立直线DE和直线AC解析式可求得D点坐标，从而可用t表示出DE的长，再由DE＝AO可得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得E点坐标；当AO为平行四边形的对角线时，可求得线段AO的中点，从而可用t表示出D点坐标，代入直线AC解析式可得到关于t的方程，可求得E点坐标．
【解答】解：
（1）联立直线AC与直线AB解析式可得，解得，
∴A（，）；
（2）∵点E在直线AB上，
∴可设E（t，t+1），
当AO为平行四边形的边时，则有DE∥AO，且DE＝AO，
∵A（，），
∴直线AO解析式为y＝x，
∴可设直线DE解析式为y＝x+b，
把E点坐标代入可得t+1＝t+b，解得b＝1﹣t，
∴直线DE解析式为y＝x+1﹣t，
联立直线AC和直线DE解析式可得，解得，
∴D（t+，﹣t+），
∴DE＝，
∵AO＝，
∴＝，解得t＝或t＝﹣，
此时E点坐标为（，）或（﹣，）；
当AO为对角线时，
∵A（，），
∴线段AO的中点坐标为（，），
∵E（t，t+1），
∴D（﹣t，﹣t﹣1），
∵D在直线AC上，
∴﹣t﹣1＝﹣（﹣t）+3，解得t＝﹣，此时E点坐标为（﹣，）；
综上可知存在满足条件的点E，其坐标为（，）或（﹣，）．
13．（2023春 丰泽区校级期中）如图，在直角坐标系中，B（0，4），D（5，0），一次函数y＝的图象过C（8，n），与x轴交于A点．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OB1，问：能否使以O、A1、D、B1为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A1的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由一次函数解析式可求得点A、点C两点的坐标，则可求得BC、AD的长，可证得结论
（2）分三种情况，以直角三角形A1OB的面积求出斜边上的高再利用勾股定理即可得点A1的坐标
【解答】解：
（1）证明：
当x＝8时，n＝×8+＝4
∴点C（8，4）
∵点B（0，4）
∴BC＝8，BC∥x轴
当y＝0时，0＝x+，解得x＝﹣3
∴点A坐标为（﹣3，0）
∴AD＝5﹣（﹣3）＝8
∵AD∥BC，AD＝8
∴四边形ABCD为平行四边形
（2）由题意可知；AB＝A1B1＝5，∠AOB＝∠A1OB1＝90°
①△AOB旋转后，若A1B1∥x轴，成四边形OA1B1D，如图1
∵A1B1＝OD＝5
∴四边形OA1B1D构成平行四边形，
此时，设A1B1与y轴交于H
则OH＝＝，A1H＝＝
∴点A1的坐标为，
②△AOB旋转后，若A1B1的中点E在x轴上，成四边形OA1DB1，如图2
∵∠A1OB1＝90°
∴OE＝A1B1＝
∴OE＝ED＝
∴四边形OA1DB1构成平行四边形
设作A1N⊥x轴交于N，∠A1OB1＝∠OA1D＝90°
则AN＝，ON＝
∴点A1的坐标为，
③△AOB旋转后，若A1B1∥x轴，成四边形ODA1B1，如图3，
又∵A1B1＝OD＝5
∴四边形ODA1B1构成平行四边形
此时，设A1B1与y轴交于M
则OM＝，A1M＝＝
A1M＝＝
∴点A1的坐标为，
综上所述，满足条件A1为，，
14．（2022春 武侯区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+b（b＞0）分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．
（1）若b＝6，连接BC交x轴于点D．
（ⅰ）求点C的坐标；
（ⅱ）点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（2）P为x轴上的动点，连接PB，PC，当|PB﹣PC|的值最大时，点A到直线PC的距离为6，求此时直线PC的函数表达式．
【分析】（1）（ⅰ）由直线y＝3x+6可得A（﹣2，0）、B（0，6），由旋转得AB＝AC，过点C作CH⊥x轴于H，证明△ABO≌△CAH，根据全等三角形的性质得CH＝OA＝2，AH＝BO＝6，即可得点C的坐标；
（ⅱ）求出直线BC、AC的解析式，设点E（x，﹣x﹣），分三种情况：①点E在x轴上方，②点E在x轴下方，③BD为对角线时，分别点F的坐标即可；
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′、PB′，x轴于点P′，根据三角形内两边之差小于第三边找出当点P和P′点重合时，PB﹣PC的值最大，再由点B的坐标可得出点B′的坐标，结合点C、B′的坐标即可求出直线CB′的解析式，令其y＝0求出x即可找出点P′的坐标，可得OB′＝OP′＝b，∠AP′B′＝45°，AP′＝OA﹣OP′＝b，由点A到直线PC的距离AM为6，可得AP′＝AM＝b＝6，即可得出结论．
【解答】解：（1）（ⅰ）∵b＝6，
∴直线y＝3x+6，
∴A（﹣2，0）、B（0，6），
∴OA＝2，BO＝6，
过点C作CH⊥x轴于H，
∵∠CAD+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴∠AHC＝∠BOA＝90°，
由旋转得AB＝AC，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴CH＝OA＝2，AH＝BO＝6，
∴OH＝AH﹣OA＝4，
∴点C的坐标为（4，﹣2）；
（ⅱ）设直线AC的解析式y＝kx+b，
∵A（﹣2，0）、C（4，﹣2），
∴，解得，
∴直线AC的解析式y＝﹣x﹣，
同理：直线AC的解析式y＝﹣2x+6，
∴D（3，0），
设点E（x，﹣x﹣），
分三种情况：
①点E在x轴上方，如图：
∵四边形BDFE是平行四边形，
∴BE∥x轴，
∴﹣x﹣＝6，
∴x＝﹣20，
∴E（﹣20，6），
∵B（0，6），D（3，0），
∴F（﹣17，0）；
②点E在x轴下方，如图：过点E作EG⊥x轴于G，
∴∠EGF＝∠BOD，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BD∥EF，BD＝EF，
∴∠EFG＝∠CDF，
∵∠CDF＝∠BDO，
∴∠EFG＝∠BDO，
∴△EFG≌△BDO（AAS），
∴EG＝BO＝6，
∴﹣x﹣＝﹣6，
∴x＝16，
∴E（16，﹣6），
∵B（0，6），D（3，0），
∴F（13，0）；
③BD为对角线时，如图，
∵BE∥DF，
∴﹣x﹣＝6，
∴x＝﹣20，
∴E（﹣20，6），
∵B（0，6），D（3，0），
∴F（23，0）；
综上所述，点F的坐标为（﹣17，0）或（13，0）或（23，0）；
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′、PB′，延长B′C交x轴于点P′，如图所示．
∵直线y＝3x+b（b＞0），
∴点B（0，b），A（﹣，0），
由（1）得C（b，﹣），
∵点B和B′关于x轴对称，
∴PB＝PB′，P′B′＝P′B，
∵在△CPB′中，CB′＞PB′﹣PC，
∴P′B′﹣P′C＝CB′＞PB′﹣PC＝PB﹣PC，
∴当点P与点P′重合时，PB﹣PC最大．
设直线CB′的解析式为y＝mx+n，
∵点B（0，b），
∴点B′（0，﹣b），
∴，解得：，
∴直线CB′的解析式为y＝x﹣b．
令y＝x﹣b中y＝0，则x﹣b＝0，
解得：x＝b，
∴点P′（b，0）．
∴OB′＝OP′＝b，
∴∠AP′B′＝45°，AP′＝OA﹣OP′＝b，
∵点A到直线PC的距离AM为6，
∴AP′＝AM＝b＝6，
∴b＝
∴直线PC的函数表达式为y＝x﹣．
15．（2018春 沙坪坝区校级月考）如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．
（1）求出直线EF的解析式．
（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
（3）点M是直线EF上的一个动点，且满足OM：OF＝1：，在坐标平面内是否存在另一点N，使以O、F，M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出E、F的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，连接GQ交OC于H′，作H′P′⊥AB于P′．因为FG＝OG＝PH，可知当点P与P′重合时，PF+PH+HQ的值最小．求出最小GQ的解析式即可解决问题；
（3）设M（m，﹣3m+8），构建方程求出m的值，再利用平行四边形的性质求出点N坐标即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OE＝EB，
∵A（﹣2，4），B（4，4），OG＝GF，
∴G（0，4），F（0，8），E（2，2），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴直线EF的解析式为y＝﹣3x+8．
（2）如图1中，连接GQ交OC于H′，作H′P′⊥AB于P′．
∵FG＝OG＝PH，
∴当点P与P′重合时，PF+PH+HQ的值最小．
由题意Q（4，﹣4），G（0，4），
∴直线QG的解析式为y＝﹣2x+4，
∴H′（2，0），
∴P′（2，4），
∴当点P坐标为（2，4）时，PF+PH+HQ的值最小．
（3）设M（m，﹣3m+8），
∵OM：OF＝1：，
∴OM＝4，
∴m2+（﹣3m+8）2＝32，
解得m＝4或，
∴M（4，﹣4）或（，），
当M（4，﹣4）时，∵F（0，8），又O、F，M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴满足条件的N坐标为（﹣4，12）或（4，4）或（4，﹣12）．
当M（，）时，满足条件的点N坐标为（，）或（，﹣）或（﹣，）．
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平行四边形存在性问题
【知识储备】
①平行四边形是中心对称图形
②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分
③中点公式：
类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题
【典题练习】
1．（2023 河北二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8cm，BC＝6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当t＝3s时，四边形ABMP为矩形
B．当t＝4s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD＝PM时，t＝3s
D．当CD＝PM时，t＝3s或5s
2．（2023春 盱眙县期末）如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（ ）
A． B．8 C．4或 D．或8
3．（2022春 曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（ ）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．2 B．3 C．3或5 D．4或5
4．（2023春 大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝ 时，四边形AECF是平行四边形．
5．（2023秋 红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．
（1）求DQ、PC的代数表达式；
（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
6．（2023春 和平区校级月考）已知 ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为 cm2．
（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝ 秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
类型二 “三定一动”求平行四边形的顶点坐标
当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：
①设第4个点的坐标
②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论
③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解
例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；
【典题练习】
7．（2022春 西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 ．
8．（2018春 大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；
（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．
9．（2023春 凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 “两定两动”求平行四边形的顶点坐标
当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。
【典题练习】
10．（2022春 邗江区校级月考）在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m+1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．
11．（2022春 长春期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（0，8）、（6，0）．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）求PC的长．（用含t的代数式表示）
（2）当点P在OB的垂直平分线上时，求t的值．
（3）若另一动点Q，以每秒2个单位长度的速度从点O出发，在OA上往返运动．P、Q两点同时出发，当t＝20时，Q点停止运动，点P也随之停止运动．当以P、C，Q、A为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A的坐标．
（2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2023春 丰泽区校级期中）如图，在直角坐标系中，B（0，4），D（5，0），一次函数y＝的图象过C（8，n），与x轴交于A点．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OB1，问：能否使以O、A1、D、B1为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A1的坐标；若不能，请说明理由．
14．（2022春 武侯区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+b（b＞0）分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．
（1）若b＝6，连接BC交x轴于点D．
（ⅰ）求点C的坐标；
（ⅱ）点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（2）P为x轴上的动点，连接PB，PC，当|PB﹣PC|的值最大时，点A到直线PC的距离为6，求此时直线PC的函数表达式．
15．（2018春 沙坪坝区校级月考）如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．
（1）求出直线EF的解析式．
（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
（3）点M是直线EF上的一个动点，且满足OM：OF＝1：，在坐标平面内是否存在另一点N，使以O、F，M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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