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三角形的中位线专题探究
类型一 三角形中位线定理
【知识点睛】
当题目中出现2个及以上的中点时，一般都需要应用中位线定理了。
三角形中位线定理的应用类型：
（1）证明平行问题;
（2）证明一边是另一边的2倍
（3）解决"中点问题".
注意∶在处理这些问题时，必须出现三角形及其中位线，当中位线不能用时，常见辅助线有：
①有中点连线而无三角形，要作辅助线产生三角形;
②有三角形而无中位线，要作中点的连线或过中点作平行线.
【典题练习】
1．（2023秋 隆回县期末）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是10，则△ABC的周长是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【分析】根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD＝AB，AE＝AC，
∴DE＝BC，
∵△ADE的周长＝10，
∴AD+AE+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（AD+AE+DE）＝20，
故选：D．
2．（2023秋 六安期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，，若E，F分别为AB，BC的中点，则EF＝ ．
【分析】由三角形内角和得，∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，则，，由题意得EF是△ABC的中位线，根据，计算求解即可．
【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，
∴，，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
故答案为：．
3．（2023秋 电白区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝16cm，AC＝10cm，则DF＝ 3 cm．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，结合图形即可求出DF．
【解答】解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×16＝8（cm），
在Rt△AFC中，点E是AC的中点，
∴FE＝AC＝×10＝5（cm），
∴DF＝DE﹣EF＝3（cm），
故答案为：3．
4．（2023秋 淄川区期末）如图，在△ABC中，，∠CAB＝120°，D是AB的中点，E是BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】延长BC至F，使CF＝CA，连接AF，根据等边三角形的性质求出AF，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：延长BC至F，使CF＝CA，连接AF，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACF＝60°，
∴△ACF为等边三角形，
∴AF＝AC＝2，
∵DE平分△ABC的周长，
∴BE＝CE+AC，
∴BE＝CE+CF＝EF，
∵BD＝DA，
∴DE＝AF＝，
故选：B．
5．（2023春 江北区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．
∵∠C＝120°，AC＝BC，
∴AM＝BM＝AB＝3，∠A＝∠B＝30°，
∴AC＝2CM，
由勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，
∴4CM2＝27+CM2，
∴CM＝3，
∴DE＝CM＝．
故答案为：．
6．（2022秋 泰山区期末）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，已知△ABC的面积为1，按此规律，则△AnBn n的面积是 ．
【分析】由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，就可求出S△A1B1C1＝，同样地方法得出S△A2B2C2＝，S△A3B3C3＝…所以就可以求出S△AnBn n的值．
【解答】解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，
∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为
∴S△A1B1C1：S△ABC＝1：4，且S△ABC＝1
∴S△A1B1C1＝．
∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
∴△A1B1C1的∽△A2B2C2且相似比为
∴S△A2B2C2＝．依此类推
∴S△A3B3C3＝…
∴S△AnBnCn＝．
故答案为：
7．（2023秋 沙坪坝区校级期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，DM⊥BC于M，则DM的长为 ．
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理得出三角形BCD是直角三角形，再根据等面积法求出DM的长即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF＝12，
∵BD2+CD2＝122+52＝132＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∵，
∴DM＝，
故答案为：．
8．（2023秋 郸城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分别是AB、AC的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t＝ 2﹣或 时，△PQF为等腰三角形．
【分析】先根据直角三角形30°角的性质和勾股定理计算AC和BC的长，由中位线定理计算EF＝，根据速度、时间可得P、Q的运动路程分别为EP和BQ的长；
分三种情况讨论：分别令△PQF任意两边相等，画图，根据等腰三角形的性质列方程可得结论．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，
∴AC＝2AB＝4cm，BC＝＝2，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF＝BC＝cm，BF＝AC＝2cm，
由题意得：EP＝t，BQ＝2t，
∴PF＝﹣t，FQ＝2﹣2t，
分三种情况：
①当PF＝FQ时，如图1，△PQF为等腰三角形．
则﹣t＝2﹣2t，
t＝2﹣；
②如图2，当PQ＝FQ时，△PQF为等腰三角形，过Q作QD⊥EF于D，
∴PF＝2DF，
∵BF＝CF，
∴∠FBC＝∠C＝30°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠PFQ＝∠FBC＝30°，
∵FQ＝2﹣2t，
∴DQ＝FQ＝1﹣t，
∴DF＝（1﹣t），
∴PF＝2DF＝2（1﹣t），
∵EF＝EP+PF＝，
∴t+2（1﹣t）＝，
t＝；
③因为当PF＝PQ时，∠PFQ＝∠PQF＝30°，
∴∠FPQ＝120°，
而在P、Q运动过程中，∠FPQ最大为90°，所以此种情况不成立；
综上，当t＝2﹣或 时，△PQF为等腰三角形．
故答案为：2﹣或．
9．（2023秋 顺德区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N．
求证：AN＝CN．
【分析】过D作DF∥AC交BN于F，根据DF∥AC和M是AD的中点，推出DF＝AN，同理得到F是BN的中点，推出DF＝CN，即可求出答案．
【解答】证明：过D作DF∥AC交BN于F．
∵DF∥AC，
∴＝，
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∴DF＝AN，
∵D是BC的中点，DF∥AC，
∴F是BN的中点，
∴DF＝CN，
∴AN＝CN．
10．（2023秋 工业园区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，AD＝AC＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°．M、N分别是对角线BD，AC的中点．
（1）请判断MN和AC的位置关系，并证明；
（2）求线段MN的长．
【分析】（1）连接MA、MC，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到MA＝MC，再根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）先根据勾股定理求出BD，再求出MA，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）MN⊥AC，
理由如下：如图，连接MA、MC，
在Rt△DAB中，M是BD的中点，
∴MA＝BD，
同理可得：MC＝BD，
∴MA＝MC，
∵N是AC的中点，
∴MN⊥AC；
（2）在Rt△DAB中，AB＝5，AD＝12，
由勾股定理得：BD＝＝＝13，
∴MA＝MC＝6.5，
∵AC＝12，N是AC的中点，
∴AN＝AC＝6，
∴MN＝＝＝2.5．
类型二 三角形中位线在四边形中的应用
【知识点睛】
四边形中中位线的构造
四边形边上有中点时，取其对角线中点构造三角形中位线;
四边形对角线上有中点时，取边的中点构造三角形中位线.
此类中位线的构造常出现在等对边四边形或等对角线四边形题目中，用于判断线段关系或由线段引发的角度关系。
注意∶构造出的中位线往往是相等的，且正好是等对边或等对角线的一半.
【典题练习】
11．（2023春 海阳市期中）如图，在Rt△ABM中，∠M＝90°，C，D为直角边上的点，且AD＝BC＝2，E，F分别为AB，CD的中点，则EF的长为 ．
【分析】连接AC，取AC的中点O，连接OE、OF，根据三角形中位线定理得OE＝BC＝1，OF＝AD＝1，求出∠EOF＝90°，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：连接AC，取AC的中点O，连接OE、OF，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴OE是△ABC的中位线，OF是△ACD的中位线，
∴OE＝BC＝1，OF＝AD＝1，OE∥BC，OF∥AD，
∴∠COF＝∠CAD，∠AEO＝∠B，
∵∠COE＝∠CAB+∠AEO，
∴∠COE＝∠CAB+∠B，
∴∠EOF＝∠COF+∠COE＝∠CAD+∠CAB+∠B，
∵∠M＝90°，
∴∠EOF＝∠CAD+∠CAB+∠B＝90°，
∴EF＝＝．
故答案为：．
12．（2023春 弋江区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC＝270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF＝3，则AB2+DC2的值是（ ）
A．36 B．27 C．18 D．9
【分析】连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，根据三角形中位线定理得到EM＝AB，FM＝CD，∠NMF＝90°，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，
∵∠BAD+∠ADC＝270°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM∥AB，FM∥CD，EM＝AB，FM＝CD，
∴∠MNF＝∠ABC，∠MFN＝∠C，
∴∠MNF+∠MFN＝90°，即∠NMF＝90°，
由勾股定理得，ME2+MF2＝EF2＝9，
∴AB2+CD2＝（2ME）2+（2MF）2＝36．
故选：A．
13．（2023 郧阳区模拟）如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长先增大后变小
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变．
【解答】解：连接AR．
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF＝AR，为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
14．（2022秋 淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4.9，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别交BA，CD的延长线于点M，N，且∠BMF＝∠CNF，则CD的长为 4.9 ．
【分析】连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG，根据E，G分别是AD，BD的中点，得到GE为△ABD的中位线，，同理得到GF为△BDC的中位线，，根据GE为△ABD的中位线，得到GE∥MB，推出∠GEF＝∠BMF，同理∠GFE＝∠CNF，结合∠BMF＝∠CNF，得到∠GEF＝∠GFE，GE＝GF，AB＝CD，结合AB＝4.9，即可求出CD的长．
【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG，
∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴GE为△ABD的中位线，
∴，
∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴GF为△BDC的中位线，
∴，
∵GE为△ABD的中位线，
∴GE∥MB，
∴∠GEF＝∠BMF，
∵GF为△BDC的中位线，
∴GE∥CN，
∴∠GFE＝∠CNF，
又∵∠BMF＝∠CNF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∴AB＝CD，
∵AB＝4.9，
∴CD＝AB＝4.9．
故答案为：4.9．
15．（2023秋 岱岳区期末）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 ．
【分析】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EG＝BD＝×12＝6，
FG∥AC且FG＝AC＝×10＝5，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝．
故答案为：．
16．（2023秋 衡阳期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ 3 ．
【分析】连接CF并延长交AB于G，证明△FDC≌△FBG，根据全等三角形的性质得到BG＝DC＝6，CF＝FG，求出AG，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：连接CF并延长交AB于G，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠FBG，
在△FDC和△FBG中，
，
∴△FDC≌△FBG（ASA）
∴BG＝DC＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，
∵CE＝EA，CF＝FG，
∴EF＝AG＝3，
故答案为：3．
17．（2023春 武昌区期中）如图，△ABC中，∠C＝60°，AC＞BC＞6，点D，E分别在边AC，AB上，且BE＝AD＝6，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为 3 ．
【分析】如图，作AH∥BC，连接EM，延长EM交AH于H，连接DH，作AJ⊥DH于J．首先证明AH＝DA，∠DAH＝120°，解直角三角形求出DH，利用三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】解：如图，作AH∥BC，连接EM，延长EM交AH于H，连接DH，作AJ⊥DH于J．
∵BC∥AH，
∴∠B＝∠MAH，
∵BM＝AM，∠EMB＝∠HMA，
∵△EMB≌△HMA（ASA），
∴BE＝AH，EM＝HM，
∵BE＝AD＝6，
∴BE＝AH＝AD＝6，
∵∠C+∠CAH＝180°，∠C＝60°，
∴∠DAH＝120°，
∴∠ADH＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AJ⊥DH，
∴DJ＝JH＝AD cos30°＝3，
∴DH＝2DJ＝6，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝DH＝3．
故答案为：3．
18．（2023春 淮北期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，点E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，已知BD＝6，AC＝8．则
（1）四边形ABCD的面积为 24 ；
（2）EF的长为 5 ．
【分析】（1）根据四边形的面积公式计算；
（2）根据勾股定理得到EH＝AC＝4，EH∥AC，FH＝BD＝3，FH∥BD，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，BD＝6，AC＝8，
∴S四边形ABCD＝AC BD＝×6×8＝24，
故答案为：24；
（2）取CD的中点H，连接EH、FH，
∵点E，H分别是AD，DC的中点，
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH＝AC＝4，EH∥AC，
同理可得：FH＝BD＝3，FH∥BD，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴EF＝＝＝5，
故答案为：5．
19．（2023春 常德期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，进而可得出结论．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∴△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝30°，
∴∠PEF＝∠PFE＝30°，
∴∠FPE＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
20．（2022秋 太康县期末）如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
（1）求证：∠PMN＝∠PNM．
【结论应用】
（2）如图②，在上边题目的条件下，延长图中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（3）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 29° ．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM＝BC，PN＝AD，然后求出PM＝PN，再根据等边对等角证明即可．
（2）由三角形中位线定理得出∠F＝∠PMN，∠AEN＝∠PNM，由（1）中的结论可得出答案；
（3）证出∠PNM＝∠F，由三角形内角和定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵点P，M分别是BD，DC的中点，
∴PM＝BC，
∵点P，N分别是BD，AB的中点，
∴PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
（2）证明：由（1）知MP是△BDC的中位线，
∴MP∥BF，
∴∠F＝∠PMN，
同理∠AEN＝∠PNM，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（3）解：∵NP∥AD，
∴∠A＝∠PNB，
∵∠PMN＝∠PNM，∠PMN＝∠F，
∴∠PNM＝∠F，
又∵∠F+∠NBF+∠FNB＝180°，
∴∠F+∠ABC+∠FNP+∠PNB＝180°，
∴∠F+∠ABC+∠F+∠A＝180°
∴∠F＝＝29°．
故答案为29°．
21．（2022秋 郸城县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
【分析】（1）取BD的中点P，连接EP、FP，由三角形中位线定理得PE∥AB，且PE＝5，PF∥CD，且PF＝12，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得PE∥AB，且，PF∥CD，且，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP，
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝10，CD＝24，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，且，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：，
即EF的长为13；
（2）证明：由（1）可知，PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴，
∴AB2+CD2＝4EF2．
类型三 中位线的构造方法总结
（一）利用角平分线和垂直构造中位线
22．（2023秋 顺平县期中）如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【分析】延长AM交BC于N，证明△AMB≌△NMB，根据全等三角形的性质得到AM＝NM，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：延长AM交BC于N，
在△AMB和△NMB中，
，
∴△AMB≌△NMB（ASA），
∴AM＝NM，
∴S△AMB＝S△NMB，S△AMC＝S△NMC，
∴S△BMC＝S△ABC＝2，
∵D为BC中点，
∴S△BMD＝S△BMC＝1，
故选：A．
23．（2023春 宣汉县期末）如图，△ABC的周长是24，点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．3
【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA＝BE，CA＝CD，由△ABC的周长为28，及BC＝10，可得DE＝8，利用中位线定理可求出PQ．
【解答】解：∵△ABC的周长是24，BC＝10，
∴AB+AC＝24﹣10＝14，
∵∠ABC的平分线垂直于AE，
在△ABQ和△EBQ中，
，
∴△ABQ≌△EBQ（ASA），
∴AQ＝EQ，AB＝BE，
同理，AP＝DP，AC＝CD，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝14﹣10＝4，
∵AQ＝DP，AP＝DP，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴PQ＝DE＝2．
故选：C．
24．（2023秋 九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（ ）
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
【分析】延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到PQ的长；再根据三角形中位线定理，即可得到DG的长等于PQ的长的一半．
【解答】解：如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，
∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，
∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG，
又∵AD⊥CF，AG⊥BE，
∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB，
∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q，
∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9，
又∵BC＝7，
∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10，
∵AC＝PC，CD平分∠ACP，
∴点D是AP的中点，
同理可得，点G是AQ的中点，
∴DG是△APQ的中位线，
∴DG＝PQ＝5，
故选：B．
（二）倍长法构造三角形中位线
25．（2018 越秀区校级二模）如图，△ABC、△BEF为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BEF＝90°，BA＝BC，EB＝EF，
连接AF、CF，M为AF的中点．
（1）如图1，当A、F、B共线时，求证：ME＝CF；
（2）如图2，当A、F、B不共线时，求证：ME＝CF；
（3）设BC＝2，请直接写出BF+AF+CF的最小值．
【分析】（1）如图2中，延长FE到D，使ED＝EF，连接AD、BD，判断出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BD＝BF，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ME＝AD，从而得到ME＝CF．
（2）如图2中，延长FE到D，使ED＝EF，连接AD、BD，判断出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BD＝BF，再求出∠CBF＝∠ABD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBF全等，即可解决问题．
（3）如图3中，以CF为边在CF的右侧作等边△CFM，将△CFB绕点C逆时针旋转60°得到△CME，连接AE，作EH⊥AC于H，在EH上取一点D，使得CD＝DE，连接DC．由CF＝FM，FB＝ME，推出AF+CF+FB＝AF+FM+ME，由AE≤AF+FM+ME，推出当A，F，M，E共线时，AF+FC+BF的值最小，求出AE即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长FE到D，使ED＝EF，连接AD、BD，
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝45°，BE⊥DF，
∴BE垂直平分DF，
∴∠BDE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD＝BF，∠DBF＝90°，
在△ABD和△CBF中，
，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴AD＝CF，
∵M为AF的中点，DE＝EF，
∴ME是△ADF的中位线，
∴ME＝AD，
∴ME＝CF．
（2）证明：如图2中，延长FE到D，使ED＝EF，连接AD、BD，
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝45°，BE⊥DF，
∴BE垂直平分DF，
∴∠BDE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD＝BF，∠DBF＝90°，
∵∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，
∠ABD+∠ABF＝∠DBF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABD，
在△ABD和△CBF中，
，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴AD＝CF，
∵M为AF的中点，DE＝EF，
∴ME是△ADF的中位线，
∴ME＝AD，
∴ME＝CF．
（3）解：如图3中，以CF为边在CF的右侧作等边△CFM，将△CFB绕点C逆时针旋转60°得到△CME，连接AE，作EH⊥AC于H，在EH上取一点D，使得CD＝DE，连接DC．
∵CF＝FM，FB＝ME，
∴AF+CF+FB＝AF+FM+ME，
∵AE≤AF+FM+ME，
∴当A，F，M，E共线时，AF+FC+BF的值最小，
∵∠ACB＝45°，∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝45°+60°＝105°，
∴∠ECH＝75°，
∵∠H＝90°，
∴∠CEH＝15°，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠CED＝15°，
∴∠CDH＝∠DCE+∠DEC＝30°
设CH＝a，则DC＝DE＝2a，DH＝a，EH＝a+2a，
在Rt△ECH中，∵EC2＝CH2+EH2，
∴22＝a2+（a+2a）2，
∴a＝＝（负根已经舍弃），
在Rt△AEH中，AH＝2+＝，EH＝，
∴AE＝＝＝+．
（三）已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线
26．（2023秋 北碚区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，E是CA延长线上一点，且AE＝AC．
（1）如图1，若BC＝4，AC＝2，求DE的长；
（2）如图2，点F是DE的中点，求证：BD＝2AF．
【分析】（1）如图1，取AC中点K，连接DK，得到AK＝1，而D是AB中点，得到DK是△ABC的中位线，推出DK＝BC＝2，DK∥BC，得到∠EKD＝∠C＝90°，求出EK＝AE+AK＝3，由勾股定理即可求出DE＝＝；
（2）如图2，连接CD，得到AF是△EDC的中位线，推出CD＝2AF，由直角三角形斜边中线的性质推出BD＝CD，即可证明BD＝2AF．
【解答】（1）解：如图1，取AC中点K，连接DK，
∴AK＝AC＝×2＝1，
∵D是AB中点，
∴DK是△ABC的中位线，
∴DK＝BC＝×4＝2，DK∥BC，
∴∠EKD＝∠C＝90°，
∵EK＝AE+AK＝2+1＝3，
∴DE＝＝；
（2）证明：如图2，连接CD，
∵点F是DE的中点，AE＝AC，
∴AF是△EDC的中位线，
∴CD＝2AF，
∵∠ACB＝90°，D是AB中点，
∴CD＝AB，
∴BD＝CD，
∴BD＝2AF．
（四）已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
27．（2023秋 张店区期末）如图，已知Rt△ABC，延长直角边BC至点D，使BD＝6，E为直角边AC上的点，且AE＝2，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则PQ＝ ．
【分析】连接AD，取AD中点K，连接PK，QK，由三角形中位线定理推出PK∥BC，PK＝BD，KQ∥AC，KQ＝AE，得到PK⊥KQ，求出PK＝×6＝3，KQ＝×2＝1，由勾股定理即可求出PQ的长．
【解答】解：连接AD，取AD中点K，连接PK，QK，
∵P，Q分别为AB，ED的中点，
∴PK是△ABD的中位线，KQ是△DAE的中位线，
∴PK∥BC，PK＝BD，KQ∥AC，KQ＝AE，
∵AC⊥BC，
∴PK⊥KQ，
∵BD＝6，AE＝2，
∴PK＝×6＝3，KQ＝×2＝1，
∴PQ＝＝．
故答案为：．
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三角形的中位线专题探究
类型一 三角形中位线定理
【知识点睛】
当题目中出现2个及以上的中点时，一般都需要应用中位线定理了。
三角形中位线定理的应用类型：
（1）证明平行问题;
（2）证明一边是另一边的2倍
（3）解决"中点问题".
注意∶在处理这些问题时，必须出现三角形及其中位线，当中位线不能用时，常见辅助线有：
①有中点连线而无三角形，要作辅助线产生三角形;
②有三角形而无中位线，要作中点的连线或过中点作平行线.
【典题练习】
1．（2023秋 隆回县期末）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是10，则△ABC的周长是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
2．（2023秋 六安期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，，若E，F分别为AB，BC的中点，则EF＝ ．
3．（2023秋 电白区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝16cm，AC＝10cm，则DF＝ cm．
4．（2023秋 淄川区期末）如图，在△ABC中，，∠CAB＝120°，D是AB的中点，E是BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春 江北区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
6．（2022秋 泰山区期末）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，已知△ABC的面积为1，按此规律，则△AnBn n的面积是 ．
7．（2023秋 沙坪坝区校级期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，DM⊥BC于M，则DM的长为 ．
8．（2023秋 郸城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分别是AB、AC的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t＝ 时，△PQF为等腰三角形．
9．（2023秋 顺德区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N．
求证：AN＝CN．
10．（2023秋 工业园区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，AD＝AC＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°．M、N分别是对角线BD，AC的中点．
（1）请判断MN和AC的位置关系，并证明；
（2）求线段MN的长．
类型二 三角形中位线在四边形中的应用
【知识点睛】
四边形中中位线的构造
四边形边上有中点时，取其对角线中点构造三角形中位线;
四边形对角线上有中点时，取边的中点构造三角形中位线.
此类中位线的构造常出现在等对边四边形或等对角线四边形题目中，用于判断线段关系或由线段引发的角度关系。
注意∶构造出的中位线往往是相等的，且正好是等对边或等对角线的一半.
【典题练习】
11．（2023春 海阳市期中）如图，在Rt△ABM中，∠M＝90°，C，D为直角边上的点，且AD＝BC＝2，E，F分别为AB，CD的中点，则EF的长为 ．
12．（2023春 弋江区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC＝270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF＝3，则AB2+DC2的值是（ ）
A．36 B．27 C．18 D．9
13．（2023 郧阳区模拟）如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长先增大后变小
14．（2022秋 淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4.9，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别交BA，CD的延长线于点M，N，且∠BMF＝∠CNF，则CD的长为 ．
15．（2023秋 岱岳区期末）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 ．
16．（2023秋 衡阳期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ ．
17．（2023春 武昌区期中）如图，△ABC中，∠C＝60°，AC＞BC＞6，点D，E分别在边AC，AB上，且BE＝AD＝6，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为 ．
18．（2023春 淮北期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，点E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，已知BD＝6，AC＝8．则
（1）四边形ABCD的面积为 ；
（2）EF的长为 ．
19．（2023春 常德期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．
20．（2022秋 太康县期末）如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
（1）求证：∠PMN＝∠PNM．
【结论应用】
（2）如图②，在上边题目的条件下，延长图中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（3）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．
21．（2022秋 郸城县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
类型三 中位线的构造方法总结
（一）利用角平分线和垂直构造中位线
22．（2023秋 顺平县期中）如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
23．（2023春 宣汉县期末）如图，△ABC的周长是24，点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．3
24．（2023秋 九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（ ）
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
（二）倍长法构造三角形中位线
25．（2018 越秀区校级二模）如图，△ABC、△BEF为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BEF＝90°，BA＝BC，EB＝EF，
连接AF、CF，M为AF的中点．
（1）如图1，当A、F、B共线时，求证：ME＝CF；
（2）如图2，当A、F、B不共线时，求证：ME＝CF；
（3）设BC＝2，请直接写出BF+AF+CF的最小值．
（三）已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线
26．（2023秋 北碚区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，E是CA延长线上一点，且AE＝AC．
（1）如图1，若BC＝4，AC＝2，求DE的长；
（2）如图2，点F是DE的中点，求证：BD＝2AF．
（四）已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
27．（2023秋 张店区期末）如图，已知Rt△ABC，延长直角边BC至点D，使BD＝6，E为直角边AC上的点，且AE＝2，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则PQ＝ ．
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