中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程应用题七大题型
类型一 数字问题
【典例训练】
1．（2023 滨江区二模）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设AB＝a2+a+4，AC＝na，BC＝2na+1，其中n，a是常数，（ ）
A．若0＜n≤1，则点A在点B，C之间 B．若2＜n≤3，则点A在点B，C之间
C．若0＜n≤1，则点C在点A，B之间 D．若2＜n≤3，则点C在点A，B之间
2．（2023秋 营口期中）一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是 ．
3．（2023 蚌山区模拟）代数基本定理告诉我们对于形如（其中a1，a2，…，an为整数） 这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是an的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2＝0的整数根只可能为±1，±2，代入检验得x＝1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：（x﹣1）（x2+9x﹣2）＝0，进而可求得方程的所有解．请你仿照上述解法，解方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0得到的解为 ．
4．（2023春 杭州期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度v（米/秒）与时间t（秒）（0＜t≤15）之间满足一次函数关系，其图象如图所示；
（1）求v与t之间的函数关系式；
（2）已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间（该运动状态下的平均速度v＝，v1表示这段时间起始时刻的速度，v2表示这段时间结束时刻的速度）．若该车刹车后t秒内向前滑行了378米，求t的值．
5．（2022秋 丹阳市期末）【阅读】
已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以．
把代入已知方程，得．
化简，得y2+4y﹣4＝0，
故所求方程为y2+4y﹣4＝0．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
【理解】
（1）已知方程x2﹣x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为： ；
（2）已知方程x2﹣x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．则所求方程为： ；
【运用】
（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
①若m≥0，n≥0则关于x的方程的两根分别是 （用含有m、n的代数式表示）；
②一元二次方程 的两个根分别是2m，2n；
（4）方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 的两个根互为倒数．
【延伸】
（5）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为1和，那么关于y的一元二次方程c（y﹣2022）2﹣b（y﹣2）＝﹣2020b﹣a（c≠0）的两个实数根分别为 ．
类型二 传播问题
【典例训练】
6．（2023 邢台一模）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均1人传染了x人，下面所列方程正确的是（ ）
A．1+x+x2＝144 B．x（x+1）＝144
C．1+x+x（x+1）＝144 D．1+（1+x）+x（x+1）＝144
7．（2023秋 集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人．
8．（2022秋 渑池县期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ．
9．（2023秋 永善县期中）诈骗是指以非法占有为目的，用虚构事实或者隐瞒真相的方法，骗取款额较大的公私财物的行为．某诈骗组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线进行网络诈骗，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人计划发展下线多少人？
10．（2021春 长寿区校级月考）新型冠状病毒传染速度非常快，如果一人被感染不加以控制经过两轮传染后就会有225人被感染病毒．
（1）请你用所学知识分析，如果不加以控制每轮传染中平均一人传染多少人；
（2）某病源地经过两轮传染后已有225人被感染，此时引起了有关部门高度重视，迅速采取隔离措施控制传染源，减少每轮平均一人的传染人数．采取隔离措施后，首轮传染中每个已被感染者的传染人数比（1）中人均传染人数减少10a%，第二轮传染中每个已被感染者的传染人数比首轮传染中人均传染人数减少，这样从采取隔离措施后到两轮传染结束时该地共有5400人被该病毒感染，求a的值．
类型三 循环问题
【典例训练】
11．（2022秋 临清市期末）第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯的到来，某市行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝66 B．x（x﹣1）＝66
C．x（x+1）＝66 D．x（x﹣1）＝66
12．（2023秋 蒲江县校级期中）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1560 B．2x（x+1）＝1560
C．x（x﹣1）＝1560 D．
13．（2023秋 兴隆县期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．该校八年级共有（ ）个班．
A．9 B．10 C．5 D．8
14．（2023秋 东城区校级期中）参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 ．
15．（2023秋 泗洪县期中）某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛．
（1）比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？
（2）如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？
类型四 增长率问题
【典例训练】
16．（2022秋 费县期末）疫情期间，市政府为了解决市民买药贵，下调了某药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒100元下调至81元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A．100（1﹣x）2＝81 B．81（1﹣x）2＝100
C．100（1+x）2＝81 D．81（1+x）2＝100
17．（2023秋 腾冲市期末）某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2022年植树造林2000亩，计划2024年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．20% B．11% C．10% D．120%
18．（2023秋 西城区校级期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店4月份某款亚运会吉祥物的销售量为256件，6月份的销售量为400件，设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程 ．
19．（2023秋 兴隆台区期末）为了丰富大课间活动，某学校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元．
（1）求2022﹣2024年购买羽毛球拍费用的年平均增长率；
（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？
类型五 商品销售问题
【典例训练】
20．（2023 南宁一模）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450
B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（20﹣x）（200+40x）＝8450
D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
21．（2023春 花山区校级期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
22．某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量y（个）与每个排球降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价多少元？
23．（2023秋 六盘水期中）某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查， ，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？
解：设……
根据题意，得（80﹣50﹣x）（200+×40）＝7920
……
根据上面所列方程，完成下列任务：
（1）数学问题中括号处短缺的条件是 ；
（2）所列方程中未知数x的实际意义是 ；
（3）请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程．
24．（2022秋 江北区校级期末）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
（1）求甲品牌的洗衣液的进价 元；（不要带单位）
（2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？（不要带单位）
25．（2023秋 梁园区校级期中）某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了m元时（m为正整数），月销售利润为w元．
（1）求w与m的函数关系式并直接写出自变量m的取值范围；
（2）每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？
26．（2023 渝中区校级自主招生）广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为5：2，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍．
（1）求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？
（2）为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低0.2a%（a＞0），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了a%，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了4550a元．求a的值．
类型六 图形面积问题
【典例训练】
27．（2023秋 常州期中）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（ ）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（81﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
28．（2023秋 秦淮区期中）图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为x cm，根据题意，可列方程为（ ）
A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80
B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80
C．
D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80
29．（2023秋 润州区期中）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm，若隔水的宽度为x cm，画心的面积为15200cm2，根据题意，可列方程是 ．
30．（2023秋 兴文县期中）空地上有一段长为a m的旧墙MN，工人师傅欲利用旧墙和木栏围成一个封闭的矩形菜园（如图），已知木栏总长为40m，所围成的菜园的面积为S m2．若a＝18，S＝192，则（ ）
A．只有一种围法 B．有两种围法
C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法
31．（2022春 裕华区校级期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 cm，此盒子体积是 cm3．
32．（2023 乌当区模拟）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．
33．（2023秋 细河区期末）如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为22米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽AB；
（2）能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
34．（2023秋 青铜峡市期末）如图，有一张长40厘米、宽25厘米的长方形纸片，在四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，折成一个无盖的盒子．如果纸盒的底面积是450平方厘米，那么小正方形的边长是多少？
35．（2023秋 昆都仑区期末）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为x cm，图案中三条彩条所占面积为y cm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
36．（2023秋 临颍县期中）学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；
（2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由．
类型七 动态几何问题
【典例训练】
37．（2023 西乡塘区二模）如图，一架长为10m的梯子AB斜靠在竖直的墙BC上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为6m，若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（ ）
A．（10﹣x）2＝（6+1+x）2+82
B．（10﹣x）2＝（8﹣x）2+（6+1）2
C．102＝（8﹣x）2+（6+1）2
D．（10+x）2＝（8+1﹣x）2+62
38．（2023秋 铁西区月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝12cm．点P沿射线AB方向从点A出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发， 秒后，△PBQ的面积为1cm2．
39．（2023秋 淮安区期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问：
（1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）几秒时点P点Q间的距离是10厘米？
（3）P，Q两点间距离何时最小？
40．（2022秋 青云谱区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
41．（2022秋 太和区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
42．（2023秋 顺德区校级月考）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
（1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ；
（2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的；
（3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程应用题七大题型
类型一 数字问题
【典例训练】
1．（2023 滨江区二模）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设AB＝a2+a+4，AC＝na，BC＝2na+1，其中n，a是常数，（ ）
A．若0＜n≤1，则点A在点B，C之间
B．若2＜n≤3，则点A在点B，C之间
C．若0＜n≤1，则点C在点A，B之间
D．若2＜n≤3，则点C在点A，B之间
【分析】根据点A，B，C是直线上互不重合的三个点，设当点A在点B，C之间时，BC＝BA+AC恒成立；设点C在点A，B之间时，AB＝AC+CB恒成立；分别代入求解即可．
【解答】解：当点A在点B，C之间时，BC＝BA+AC恒成立，即方程至少有一解，
（2na+1）＝（a2+a+4）+（na），
化简得a2+（1﹣n）a+3＝0，
Δ＝（1﹣n）2﹣12．
若0≤n≤1，则Δ（1﹣n）2﹣12＜0，不符合条件，故A选项错误；
若2＜n≤3，则Δ（1﹣n）2﹣12＜0，不符合条件，故B选项错误；
当点C在点A，B之间时，AB＝AC+CB恒成立，即方程至少有一解，
（a2+a+4）＝（2na+1）+（na），
化简得a2+（1﹣3n）a+3＝0，
Δ＝（1﹣3n）2﹣12．
若0＜n≤1，则Δ＝（1﹣3n）2﹣12＜0，不符合条件，故C选项错误；
若2＜n≤3，则Δ＝（1﹣3n）2﹣12＞0，符合条件，故D选项正确；
故选：D．
2．（2023秋 营口期中）一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是 35或53 ．
【分析】设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（8﹣x），根据所得的新两位数与原来的两位数的乘积为1855，可列出方程求解．
【解答】解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（8﹣x），依题意得：
（10x+8﹣x）[10（8﹣x）+x]＝1855，
解这个方程得x1＝3，x2＝5，
当x＝3时，8﹣x＝5，
当x＝5时，8﹣x＝3，
∴原来的两位数是35或53．
故答案为：35或53．
3．（2023 蚌山区模拟）代数基本定理告诉我们对于形如（其中a1，a2，…，an为整数） 这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是an的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2＝0的整数根只可能为±1，±2，代入检验得x＝1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：（x﹣1）（x2+9x﹣2）＝0，进而可求得方程的所有解．请你仿照上述解法，解方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0得到的解为 x＝3或x＝﹣2+或x＝﹣2﹣ ．
【分析】本题通过题干分析，按照题干的方法可得方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0的整数根只能是±1，±3，代入检验得x＝3时等式成立，得到x＝3，然后根据方法转化原方程，得到对应的解．
【解答】解：x3+x2﹣11x﹣3＝0的整数根只可能为±1，±3，代入检验得x＝3时等式成立，
故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣3，
x3+8x2﹣11x+2＝0，
（x﹣3）（x2+4x+1）＝0，
∴x﹣3＝0，或x2+4x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2+，x3＝﹣2﹣，
故答案为：x＝3或x＝﹣2+或x＝﹣2﹣．
4．（2023春 杭州期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度v（米/秒）与时间t（秒）（0＜t≤15）之间满足一次函数关系，其图象如图所示；
（1）求v与t之间的函数关系式；
（2）已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间（该运动状态下的平均速度v＝，v1表示这段时间起始时刻的速度，v2表示这段时间结束时刻的速度）．若该车刹车后t秒内向前滑行了378米，求t的值．
【分析】（1）设v＝kt+b（0＜t≤15），直接利用待定系数即可求解；
（2）根据题意分别求出起始时刻的速度v1＝60，结束时刻的速度v2＝﹣4t+60，进而求出该运动状态下的平均速度v＝﹣2t+60，再利用向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设v＝kt+b（0＜t≤15），
将点（4，44），（12，12）代入得，，
解得：，
∴v与t之间的函数关系式为v＝﹣4t+60（0＜t≤15）；
（2）由（1）得v＝﹣4t+60，
∵v1表示这段时间起始时刻的速度，
∴v1＝60，
∵v2表示这段时间结束时刻的速度，
∴v2＝﹣4t+60，
∴该运动状态下的平均速度v＝＝＝﹣2t+60，
∵该车刹车后t秒内向前滑行了378米，
∴（﹣2t+60） t＝378，
整理得：t2﹣30t+189＝0，
解得：t1＝21，t2＝9，
∵0＜t≤15，
∴t＝9．
5．（2022秋 丹阳市期末）【阅读】
已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以．
把代入已知方程，得．
化简，得y2+4y﹣4＝0，
故所求方程为y2+4y﹣4＝0．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
【理解】
（1）已知方程x2﹣x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为： y2+y﹣3＝0 ；
（2）已知方程x2﹣x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．则所求方程为： y2+y﹣3＝0 ；
【运用】
（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
①若m≥0，n≥0则关于x的方程的两根分别是 、 （用含有m、n的代数式表示）；
②一元二次方程 ax2+2bx+4c＝0 的两个根分别是2m，2n；
（4）方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 cx2+bx+a＝0 的两个根互为倒数．
【延伸】
（5）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为1和，那么关于y的一元二次方程c（y﹣2022）2﹣b（y﹣2）＝﹣2020b﹣a（c≠0）的两个实数根分别为 2023、2018 ．
【分析】（1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（2）写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（3）①观察两个方程，得到两个方程之间根的关系，可得，
②已知两个方程的根，得到两个方程根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（4）写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（5）根据（4）可得，关于x的一元二次方程的两个实数根与关于y﹣2022的一元二次方程的两个实数根互为倒数，可求得关于y﹣2022的一元二次方程的两个实数根，可得关于y的一元二次方程的两个实数根．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝x﹣1，所以x＝y+1，
把x＝y+1代入已知方程，得（y+1）2﹣（y+1）﹣3＝0，
化简，得y2+y﹣3＝0，
故答案为：y2+y﹣3＝0；
（2）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，
把x＝﹣y代入已知方程，得（﹣y）2﹣（﹣y）﹣3＝0，
化简，得y2+y﹣3＝0，
故答案为：y2+y﹣3＝0；
（3）①设关于x的方程的根为x1，
把x1代入关于x的方程，得ax1+b+c＝0，
设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x2，
把x2代入关于x的一元二次方程，得+bx2+c＝0，
由此可见x1＝，
∵已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴关于x的方程的两根分别是、，
故答案为：、，
②由题意得，该一个一元二次方程，它的根分别是已知方程根的2倍，
设所求方程的根为x3，则x3＝2x，所以x＝，
把x＝代入已知方程，得a（）2+b（）+c＝0，
化简，得+2bx3+4c＝0，
即ax2+2bx+4c＝0，
故答案为：ax2+2bx+4c＝0；
（4）由题意得，该一个一元二次方程，它的根分别与已知方程根互为倒数，
设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝，
把x＝代入已知方程，得a（）2+b（）+c＝0，
化简，得cy2+by+a＝0，
即cx2+bx+a＝0，
故答案为：cx2+bx+a＝0；
（5）c（y﹣2022）2﹣b（y﹣2）＝﹣2020b﹣a（c≠0），
化简，得c（y﹣2022）2﹣b（y﹣2022）+a＝0，
根据（4）可得，关于x的一元二次方程的根与关于y﹣2022的一元二次方程的根互为倒数，
∴y﹣2022＝，
∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为1和，
∴关于y﹣2022的一元二次方程c（y﹣2022）2﹣b（y﹣2022）+a＝0的两个实数根分别为1和﹣4，
∴关于y的一元二次方程c（y﹣2022）2﹣b（y﹣2022）+a＝0的两个实数根分别为2023和2018，
故答案为：2023、2018．
类型二 传播问题
【典例训练】
6．（2023 邢台一模）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均1人传染了x人，下面所列方程正确的是（ ）
A．1+x+x2＝144 B．x（x+1）＝144
C．1+x+x（x+1）＝144 D．1+（1+x）+x（x+1）＝144
【分析】设每轮传染中平均1人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（x+1）人被传染，根据“某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每轮传染中平均1人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（x+1）人被传染，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝144．
故选：C．
7．（2023秋 集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 12 人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据“现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝169，
整理得：（1+x）2＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人．
故答案为：12．
8．（2022秋 渑池县期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 x（x﹣1）＝1980 ．
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1980．
故答案为：x（x﹣1）＝1980．
9．（2023秋 永善县期中）诈骗是指以非法占有为目的，用虚构事实或者隐瞒真相的方法，骗取款额较大的公私财物的行为．某诈骗组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线进行网络诈骗，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人计划发展下线多少人？
【分析】设每个人计划发展下线x人，则第一轮发展下线2x人，第二轮发展下线2x2人，根据经过两轮发展后共有成员114人，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每个人计划发展下线x人，则第一轮发展下线2x人，第二轮发展下线2x2人，
根据题意得：2+2x+2x2＝114，
整理得：x2+x﹣56＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣8（ 不符合题意，舍去）．
答：每个人计划发展下线7人．
10．（2021春 长寿区校级月考）新型冠状病毒传染速度非常快，如果一人被感染不加以控制经过两轮传染后就会有225人被感染病毒．
（1）请你用所学知识分析，如果不加以控制每轮传染中平均一人传染多少人；
（2）某病源地经过两轮传染后已有225人被感染，此时引起了有关部门高度重视，迅速采取隔离措施控制传染源，减少每轮平均一人的传染人数．采取隔离措施后，首轮传染中每个已被感染者的传染人数比（1）中人均传染人数减少10a%，第二轮传染中每个已被感染者的传染人数比首轮传染中人均传染人数减少，这样从采取隔离措施后到两轮传染结束时该地共有5400人被该病毒感染，求a的值．
【分析】（1）设如果不加以控制每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮传染中有x人被感染病毒，第二轮传染中有x（1+x）人被感染病毒，根据一人被感染不加以控制经过两轮传染后就会有225人被感染病毒，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据从采取隔离措施后到两轮传染结束时该地共有5400人被该病毒感染，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设如果不加以控制每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮传染中有x人被感染病毒，第二轮传染中有x（1+x）人被感染病毒，
依题意得：1+x+x（1+x）＝225，
解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意，舍去）．
答：如果不加以控制每轮传染中平均一人传染14人．
（2）依题意得：225×[1+14（1﹣10a%）]×[1+14（1﹣10a%）×（1﹣）]＝5400，
整理得：0.56a2﹣13a+51＝0，
解得：a1＝5，a2＝．
又∵1﹣10a%＞0，
∴a＜10，
∴a＝5．
答：a的值为5．
类型三 循环问题
【典例训练】
11．（2022秋 临清市期末）第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯的到来，某市行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝66 B．x（x﹣1）＝66
C．x（x+1）＝66 D．x（x﹣1）＝66
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得x（x﹣1）＝66．
故选：D．
12．（2023秋 蒲江县校级期中）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1560 B．2x（x+1）＝1560
C．x（x﹣1）＝1560 D．
【分析】利用全班送出的相片数＝全班人数×（全班人数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵全班有x名学生，
∴每个同学需送出（x﹣1）张相片．
根据题意得：x（x﹣1）＝1560．
故选：C．
13．（2023秋 兴隆县期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．该校八年级共有（ ）个班．
A．9 B．10 C．5 D．8
【分析】设该校八年级共有x个班，利用比赛的总场数＝参赛班级数×（参赛班级数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该校八年级共有x个班，
根据题意得：x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去），
∴该校八年级共有10个班．
故选：B．
14．（2023秋 东城区校级期中）参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝90 ．
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝90．
故答案为：x（x﹣1）＝90．
15．（2023秋 泗洪县期中）某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛．
（1）比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？
（2）如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？
【分析】（1）设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设需要y天完成比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，结合比赛的总场数不超过每天比赛的场数×比赛的天数，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝4×7，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）．
答：比赛组织者应计划邀请8个队参赛；
（2）设需要y天完成比赛，
根据题意得：5y≥×（8+2）×（8+2﹣1），
解得：y≥9，
∴y的最小值为9．
答：至少需要9天完成比赛．
类型四 增长率问题
【典例训练】
16．（2022秋 费县期末）疫情期间，市政府为了解决市民买药贵，下调了某药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒100元下调至81元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A．100（1﹣x）2＝81 B．81（1﹣x）2＝100
C．100（1+x）2＝81 D．81（1+x）2＝100
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣这种药品平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得100（1﹣x）2＝81，
故选：A．
17．（2023秋 腾冲市期末）某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2022年植树造林2000亩，计划2024年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．20% B．11% C．10% D．120%
【分析】利用计划2024年植树造林的面积＝2022年植树造林的面积×（1+植树造林面积的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴x的值为20%．
故选：A．
18．（2023秋 西城区校级期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店4月份某款亚运会吉祥物的销售量为256件，6月份的销售量为400件，设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程 256（1+x）2＝400 ．
【分析】利用该款吉祥物6月份的销售量＝该款吉祥物4月份的销售量×（1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：256（1+x）2＝400．
故答案为：256（1+x）2＝400．
19．（2023秋 兴隆台区期末）为了丰富大课间活动，某学校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元．
（1）求2022﹣2024年购买羽毛球拍费用的年平均增长率；
（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？
【分析】（1）根据“2022年该校用于购买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元”列方程求解；
（2）2025年购买羽毛球拍的费用＝2024年购买羽毛球拍的费用+2024年增长的购买羽毛球拍的费用计算即可．
【解答】解：（1）设2022年到2024年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为x，
则：2000（1+x）2＝2880，
解得：x＝0.2，或x＝﹣2.2（舍去），
答：2022年到2024年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为20%；
（2）2880×（1+20%）＝3456（元），
答：2025需要抽出3456元资金用于购买羽毛球拍．
类型五 商品销售问题
【典例训练】
20．（2023 南宁一模）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450
B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（20﹣x）（200+40x）＝8450
D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
【分析】当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每星期可卖出（200+8x）件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每星期可卖出（200+8x）件，
根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450．
故选：D．
21．（2023春 花山区校级期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【分析】利用商店销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，即可确定每件商品的售价．
【解答】解：依题意得：（a﹣18）（320﹣10a）＝400，
整理得：a2﹣50a+616＝0，
解得：a1＝22，a2＝28．
又∵物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，
∴售价不能超过18×（1+25%）＝22.5（元）．
∴a＝22．
故选：A．
22．某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量y（个）与每个排球降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价多少元？
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总利润＝每个排球的销售利润×销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入（60﹣x）中，即可求出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（1，110），（3，130）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝1760，
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴60﹣x＝60﹣12＝48．
答：这种排球每个的实际售价是48元．
23．（2023秋 六盘水期中）某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查， 售价每降低2元时，月销售量可增加40件 ，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？
解：设……
根据题意，得（80﹣50﹣x）（200+×40）＝7920
……
根据上面所列方程，完成下列任务：
（1）数学问题中括号处短缺的条件是 单价每降低2元时，月销售量可增加40件 ；
（2）所列方程中未知数x的实际意义是 单价降低了x元 ；
（3）请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程．
【分析】（1）根据所列方程，可得出题干中缺失的条件；
（2）根据所列方程，可找出未知数x的实际意义；
（3）利用月销售总利润＝每件的销售利润×月销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合要让顾客得到更大的实惠，可确定x的值，再将其代入（80﹣x）中，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据所列方程，可知问题中括号处短缺的条件是：单价每降低2元时，月销售量可增加40件．
故答案为：单价每降低2元时，月销售量可增加40件．
（2）根据所列方程，可知所列方程中未知数x的实际意义是单价降低了x元．
故答案为：单价降低了x元；
（3）根据题意，得（80﹣50﹣x）（200+×40）＝7920，
整理，得x2﹣20x+96＝0，
解之，得x1＝8，x2＝12，
又∵要让顾客得到更大的实惠，
∴x＝12，
∴80﹣x＝80﹣12＝68．
答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到7920元．
24．（2022秋 江北区校级期末）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
（1）求甲品牌的洗衣液的进价 30 元；（不要带单位）
（2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为 80 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？（不要带单位）
【分析】（1）设甲品牌的洗衣液的进价为x元，则乙品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为y元，则乙种品牌的洗衣液的每瓶销售利润为（y﹣30﹣10）元，每天的销售量为（240﹣2y）瓶，利用总利润＝每瓶的销售利润×日销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲品牌的洗衣液的进价为x元，则乙品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
∴甲品牌的洗衣液的进价为30元．
故答案为：30；
（2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为y元，则乙种品牌的洗衣液的每瓶销售利润为（y﹣30﹣10）元，每天的销售量为140﹣2（y﹣50）＝（240﹣2y）瓶，
根据题意得：（45﹣30）×100+（y﹣30﹣10）（240﹣2y）＝4700，
整理得：y2﹣160y+6400＝0，
解得：y1＝y2＝80，
∴当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
故答案为：80．
25．（2023秋 梁园区校级期中）某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了m元时（m为正整数），月销售利润为w元．
（1）求w与m的函数关系式并直接写出自变量m的取值范围；
（2）每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据总利润＝单件利润×数量，即可列出函数关系式；
（2）把w＝2520代入（1）中得出的函数关系式，算出自变量的值，即可解答；
（3）将（1）中的关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合自变量取值范围，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得w＝（32+m﹣22）（230﹣10m）＝﹣10m2+130m+2300，
∵每件纪念品售价不能高于40元，且m为正整数，
∴自变量的取值范围为0＜m≤8，且m为正整数．
（2）当w＝2520时，﹣10m2+130m+2300＝2520，
解得：m1＝2，m2＝11（不合题意，舎去）．
则32+m＝34（元），
答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元．
（3）由题意得w＝﹣10m2+130m+2300＝﹣10（m﹣6.5）2+2722.5，
∵﹣10＜0，0＜m≤8，且m为正整数，
∴当m＝6时，32+m＝38，w＝2720，
当m＝7时，32+m＝39，w＝2720，
答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元．
26．（2023 渝中区校级自主招生）广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为5：2，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍．
（1）求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？
（2）为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低0.2a%（a＞0），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了a%，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了4550a元．求a的值．
【分析】（1）设9月试营业期间轮渡票价格为5x元/张，摆渡车票价格为2x元/张，利用数量＝总价÷单价，结合预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，再将其代入5x，2x中，即可求出结论；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合十月份轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了4550a元，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设9月试营业期间轮渡票价格为5x元/张，摆渡车票价格为2x元/张，
根据题意得：+＝18000，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴5x＝5×10＝50，2x＝2×10＝20．
答：9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张；
（2）根据题意得：50×（1﹣0.2a%）×+（20﹣a）××（1﹣a%）＝2×200000+200000﹣4550a，
整理得：25a2﹣750a＝0，
解得：a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝30．
答：a的值为30．
类型六 图形面积问题
【典例训练】
27．（2023秋 常州期中）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（ ）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（81﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
【分析】根据铁栅栏的总长及AB的长，可得出BC＝（84﹣4x）米，根据仓库总面积为440平方米，即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵铁栅栏的总长为81米，且AB＝x米，
∴BC＝81+3﹣4x＝（84﹣4x）（米），
根据题意得：x（84﹣4x）＝440．
故选：D．
28．（2023秋 秦淮区期中）图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为x cm，根据题意，可列方程为（ ）
A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80
B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80
C．
D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80
【分析】根据各边之间的关系，可得出折成的有盖长方体盒子的底面是长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm的矩形，结合折成的有盖长方体盒子的底面积为80cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且折成的有盖长方体盒子的高为x cm，
∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm的矩形．
根据题意得：（28﹣2x）（16﹣2x）＝80．
故选：D．
29．（2023秋 润州区期中）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm，若隔水的宽度为x cm，画心的面积为15200cm2，根据题意，可列方程是 （1000﹣2×100﹣4x）（40﹣2x）＝15200 ．
【分析】若隔水的宽度为x cm，则画心的长为（1000﹣2×100﹣4x）cm，宽为（40﹣2x）cm，根据画心的面积为15200cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若隔水的宽度为x cm，则画心的长为（1000﹣2×100﹣4x）cm，宽为（40﹣2x）cm，
根据题意得：（1000﹣2×100﹣4x）（40﹣2x）＝15200．
故答案为：（1000﹣2×100﹣4x）（40﹣2x）＝15200．
30．（2023秋 兴文县期中）空地上有一段长为a m的旧墙MN，工人师傅欲利用旧墙和木栏围成一个封闭的矩形菜园（如图），已知木栏总长为40m，所围成的菜园的面积为S m2．若a＝18，S＝192，则（ ）
A．只有一种围法 B．有两种围法
C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法
【分析】设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，根据围成的菜园的面积为192 m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长18m，即可确定结论．
【解答】解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，
根据题意得：x（40﹣2x）＝192，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
当x＝8时，40﹣2x＝40﹣2×8＝24＞18，不符合题意，舍去；
当x＝12时，40﹣2x＝40﹣2×12＝16＜18，符合题意，
∴只有一种围法．
故选：A．
31．（2022春 裕华区校级期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 2 cm，此盒子体积是 48 cm3．
【分析】设剪去的正方形的边长为x cm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣x）cm，根据长方体铁盒的底面积是24cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设剪去的正方形的边长为x cm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为＝（6﹣x）cm，
依题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得：x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）．
∴该纸盒的体积为2×4×6＝48（cm3）；
故答案为2，48．
32．（2023 乌当区模拟）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝ （36﹣3x） 米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．
【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出长BC为（36﹣3x）米；
（2）根据围成的菜地面积为96平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵篱笆的总长为34米，菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，且菜地的宽AB为x米，
∴长BC为34+2﹣3x＝（36﹣3x）米．
故答案为：（36﹣3x）；
（2）根据题意得：x（36﹣3x）＝96，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x1＝4，x2＝8．
当x＝4时，36﹣3x＝36﹣3×4＝24＞22，不符合题意，舍去；
当x＝8时，36﹣3x＝36﹣3×8＝12＜22，符合题意．
答：当围成的菜地面积为96平方米时，宽AB为8米．
33．（2023秋 细河区期末）如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为22米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽AB；
（2）能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由篱笆的总长度可得出花圃的长AD为（34+2﹣3x）米，根据花圃面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的最大可用长度为22米，即可得出结论；
（2）不能围成面积为120平方米的花圃，根据花圃面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣48＜0，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为120平方米的花圃．
【解答】解：（1）∵花圃的宽AB为x米，
∴花圃的长AD为（34+2﹣3x）米．
依题意得：x（34+2﹣3x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝8．
当x＝4时，34+2﹣3x＝24＞22，不合题意，舍去；
当x＝8时，34+2﹣3x＝12＜22，符合题意．
答：此时宽AB为8米；
（2）不能围成面积为120平方米的花圃，理由如下：
依题意得：x（34+2﹣3x）＝120，
整理得：x2﹣12x+40＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×1×40＝﹣16＜0，
∴该方程无实数根，
即不能围成面积为120平方米的花圃．
34．（2023秋 青铜峡市期末）如图，有一张长40厘米、宽25厘米的长方形纸片，在四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，折成一个无盖的盒子．如果纸盒的底面积是450平方厘米，那么小正方形的边长是多少？
【分析】设小正方形的边长是x厘米，则折成一个无盖的盒子的底面是长为（40﹣2x）厘米，宽为（25﹣2x）厘米的长方形，根据纸盒的底面积是450平方厘米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小正方形的边长是x厘米，则折成一个无盖的盒子的底面是长为（40﹣2x）厘米，宽为（25﹣2x）厘米的长方形，
根据题意得：（40﹣2x）（25﹣2x）＝450，
整理得：2x2﹣65x+275＝0，
解得：x1＝5，x2＝（不符合题意，舍去）．
答：小正方形的边长是5厘米．
35．（2023秋 昆都仑区期末）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为x cm，图案中三条彩条所占面积为y cm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
【分析】（1）根据横、竖彩条的宽度之间的关系，可得出横彩条的宽度为x cm，利用长方形的面积计算公式，即可找出y与x之间的函数关系式；
（2）根据图中三条彩条所占面积是图案面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x中取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵横、竖彩条的宽度比为3：2，竖彩条的宽度为x cm，
∴横彩条的宽度为x cm，
∴图案中三条彩条所占面积y＝2×12x+20×x﹣2×x x，
即y＝﹣3x2+54x．
（2）依题意得：﹣3x2+54x＝20×12×，
整理得：3x2﹣54x+96＝0，
解得：x1＝2，x2＝16，
当x＝2时，x＝×2＝3；
当x＝16时，x＝×16＝24＞12，不符合题意，舍去．
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
36．（2023秋 临颍县期中）学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；
（2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由．
【分析】（1）由移动围栏的总长及座椅的行数，可得出每行的座椅数为（140﹣2x）个，结合足球场宽度为72m，即可求出x的取值范围，进而可得出x的最小值；
（2）座位够坐，利用座位总数＝观众席内座椅的行数×每行的座椅数，结合座椅总数为2400人，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，进而可得出座位够坐．
【解答】解：（1）∵移动围栏的总长为140m，且观众席内有x行座椅，
∴每行的座椅数为（140﹣2x）个．
∵140﹣2x≤72，
∴x≥34，
∴x的最小值为34．
（2）座位够坐，理由如下：
依题意得：x（140﹣2x）＝2400，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40，
∴若全校师生共2400人，那么座位够坐．
类型七 动态几何问题
【典例训练】
37．（2023 西乡塘区二模）如图，一架长为10m的梯子AB斜靠在竖直的墙BC上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为6m，若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（ ）
A．（10﹣x）2＝（6+1+x）2+82
B．（10﹣x）2＝（8﹣x）2+（6+1）2
C．102＝（8﹣x）2+（6+1）2
D．（10+x）2＝（8+1﹣x）2+62
【分析】首先利用勾股定理求得BC＝8米，然后再次根据勾股定理列出方程即可．
【解答】解：在直角△ABC中，AB＝10米，AC＝6米，则BC＝＝8米．
根据题意，得102＝（8﹣x）2+（6+1）2．
故选：C．
38．（2023秋 铁西区月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝12cm．点P沿射线AB方向从点A出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发， 7﹣或7或7+ 秒后，△PBQ的面积为1cm2．
【分析】当运动时间为t秒时，PB＝|8﹣t|cm，BQ＝|12﹣2t|cm，根据△PBQ的面积为1cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝|8﹣t|cm，BQ＝|12﹣2t|cm，
根据题意得：PB BQ＝1，
即×|8﹣t|×|12﹣2t|＝1．
当0≤t＜6时，（8﹣t）（6﹣t）＝1，
整理得：t2﹣14t+47＝0，
解得：t1＝7﹣，t2＝7+（不符合题意，舍去）；
当6＜t＜8时，（8﹣t）（t﹣6）＝1，
整理得：t2﹣14t+49＝0，
解得：t1＝t2＝7；
当t＞8时，（t﹣8）（t﹣6）＝1，
整理得：t2﹣14t+47＝0，
解得：t1＝7﹣（不符合题意，舍去），t2＝7+．
综上所述，7﹣或7或7+秒后，△PBQ的面积为1cm2．
故答案为：7﹣或7或7+．
39．（2023秋 淮安区期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问：
（1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）几秒时点P点Q间的距离是10厘米？
（3）P，Q两点间距离何时最小？
【分析】（1）表示出PB和CQ，利 用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过Q作QM⊥AB于M，如果设出发x秒后，QP＝10厘米．那么可根据路程＝速度×时间，用未知数表示出PM、PQ的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值；
（3）在直角三角形PMQ中，PM为0时，PQ就最小，那么可根据这个条件和（1）中用勾股定理得出的PQ的式子，令PM＝0，得出此时时间的值．
【解答】解：（1）当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，
依题意，得：，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）设出发x秒后P、Q两点间的距离是10厘米．
则AP＝3x，CQ＝2x．
作QM⊥AB于M，
则PM＝|16﹣2x﹣3x|＝|16﹣5x|，
（16﹣5x）2+62＝102，
解得：或，
∴P、Q出发1.6或4.8秒时，P，Q间的距离是10厘米；
（3）∵，
∴当16﹣5x＝0时，即时，PQ最小．
40．（2022秋 青云谱区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，根据△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等（即△PCQ的面积是△ABC面积的），即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可得出该方程没有实数根．进而可得出△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，
根据题意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，
整理得：t2﹣4t+4＝0，
解得：t1＝t2＝2．
答：t的值为2．
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，
根据题意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，
整理得：t2﹣4t+8＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根．
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
41．（2022秋 太和区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为×4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；
（2）当S△PCQ＝S△ABC时，
t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
42．（2023秋 顺德区校级月考）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
（1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ；
（2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的；
（3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）．
【分析】（1）等量关系为：AB﹣AP＝CQ，即16﹣2t＝t；
（2）四边形PBCQ为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间；
（3）需要分类讨论：BP＝QP，BP＝BQ和QP＝BQ三种情况．
【解答】解：（1）设两动点经过t秒时，使得BP＝CQ．
则16﹣2t＝t，
解得 t＝．
答：两动点经过秒时，使得BP＝CQ；
（2）设两动点经过x秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的．则
（CQ+BP） BC＝AB AD，即×（x+16﹣2x）×6＝×16×6，
解得 x＝．
答：两动点经过秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的；
（3）两动点经过k（0≤k≤8）秒，使得△BQP是等腰三角形
①当BP＝QP时，过点Q作QH⊥BP于点H．
则PQ＝，
所以 16﹣2k＝，
整理 得5k2﹣32k+36＝0，
解得 k1＝，k2＝；
②当BP＝BQ时，BQ＝．
则16﹣2k＝，
整理 得3k2﹣64k+220＝0．
解得k＝
③当QP＝BQ时，＝，即＝，
整理 得，（16﹣3k）2＝k2，
解得 k3＝4，k4＝8（与点B重合，舍去）．
综上所述，当两动点经过秒或秒或4秒或秒时，使得△BQP是等腰三角形
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
