浙教版数学八年级下册5.2菱形练习（含解析）

浙教版数学八年级下册5.2菱形练习
一、选择题
1．已知四边形ABCD是菱形，则下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．∠A=∠B=∠C=∠D B．AB=BC=CD=DA
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD和∠BCD
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
3．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　）
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相等且互相垂直
4．如图，平面直角坐标系中，四边形为菱形，点，点C在x轴正半轴，则B点坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
6．已知四边形 ABCD 是平行四边形，有下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③∠ABD=∠CBD；④AC⊥BD. 从中选一个条件作为补充，能使□ABCD变为菱形的是 （　　）
A．① B．①③ C．②④ D．①③④
7．如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF 相交于点E，作EG⊥AB于点G.已知∠1=∠2，有下列结论：①AE=BE；②BF⊥AD；③AC=2BF；④CE=BF+BG.其中正确的结论是 （　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，直线l：与x轴交于点E，四边形，，，……，都是含内角的菱形，点，，，……，都在x轴上，点，，，……，都在直线l上，且，则点的横坐标是（　　）
A．47 B．49 C．95 D．97
二、填空题
9．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为　 　.
10．如图，菱形ABCD的周长16cm，则菱形ABCD的一边中点E到对角线交点O的距离为　 　.cm.
11．如图，在菱形ABCD中，若AC=12，BD=9，则菱形ABCD的面积是　 　.
12．如图，AC为菱形ABCD的对角线，若∠D=50°，则∠BAC的大小为　 　度
13．如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为4，是它的较短对角线，点E，F分别是边，上的两个动点，且，点G为的中点，点P为边上的动点，则的最小值为 　 　．
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点A，B，C，D和边上的点E均在格点上．
（1）线段的长为　 　；
（2）在线段上找一点M，连接，使得．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的．（不要求证明）　 　．
三、解答题
15．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E，若BD＝ ，菱形ABCD的周长为20，求菱形ABCD的面积.
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°.
（1）求证：△ABF≌△CDE.
（2）连结AE，CF，已知 ▲ (从条件①：∠ABD=30°.条件②：AB=BC中选择一个作为已知，填序号)，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
17．已知中，．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，连接交于点，，，求证：四边形为菱形．
18．如图1，已知O是坐标原点，点A的坐标是(5，0)，B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的点F处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的点G处.
（1）求证：四边形OECH是平行四边形.
（2）如图2，当点F，G重合时，求点B的坐标.判断四边形OECH的形状，并说明理由.
（3）当点F，G将对角线OC三等分时，求点B的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D不一定成立；此选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质依次判断即可求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 菱形、矩形的对边都平行，故不符合题意；
B、 菱形、矩形的对角线都互相平分，故不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，故符合题意；
D、菱形的对角相等、矩形的对角相等且互补，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，对角相等且互补，菱形的对边平行且四边相等，对角线互相平分且垂直，对角相等，据此逐项判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】A、 两条对角线相等不能判定四边形是菱形，故此选项不符合题意；
B、两条对角线互相垂直不能判定四边形是菱形，故此选项不符合题意；
C、两条对角线互相垂直平分能判定四边形是菱形，故此选项符合题意；
D、两条对角线相等且互相垂直不能判定四边形是菱形，只能判定是矩形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定方法依次判断即可求解.
4．【答案】C
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故答案为：A．
【分析】先利用中位线的性质求出BC＝2EF＝6，再利用菱形的周长公式求解即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：邻边相等的平行四边形是菱形，①正确；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，②不符合题意；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，③正确；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④正确；
∴满足条件的有①③④.
故答案为：D.
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐项判断得出答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2 ，
∴∠CAB=∠2 ，
∴ AE=BE，故①正确；
∵AE=BE， EG⊥AB
∴AG=BG=AB，
∵F是菱形ABCD的边AD的中点
∴AF=AD，AD=AB，∠FAE=∠GAE
∴AF=AG，
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE（SAS）
∴∠EFA=∠EGA=90°，即 BF⊥AD，故②正确；
连接BD，
∵∠CAB=∠2 ，∠BFA=∠BOA=90°，AB=AB
∴△BFA≌△BOA（AAS）
∴BF=AO，
∴AC=2OA=2BF，故③正确；
∵∠2+∠EAB+∠FAE=90°，且∠2=∠EAB=∠FAE
∴∠2=∠EAB=∠FAE=30°，
∴BO=BG，
∵BE=BE，
∴Rt△EBG≌Rt△EBO（HL），
∴OE=EG，
∴CE=CO+OE=BF+EG ，故④错误.
故答案为：A.
【分析】由菱形的性质可得∠CAB=∠2=∠1 ，可得AE=BE，结合EG⊥AB，利用等腰三角形三线合一的性质可得AG=BG=AB，可证△FAE≌△GAE（SAS），可得∠EFA=∠EGA=90°，据此判断①②；连接BD，证明△BFA≌△BOA（AAS），可得BF=AO，即得AC=2OA=2BF，据此判断③；由直角三角形的性质可得∠2=∠EAB=∠FAE=30°，可得BO=BG，可证Rt△EBG≌Rt△EBO（HL），可得OE=EG，从而得出CE=CO+OE=BF+EG，据此判断④.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：过点C1作C1D⊥x轴于D，如下图：
令，则
∴，
∴
∵四边形OA1B1C1为菱形，
∴
∵
∴
∴
∴
同理得：
故答案为：A.
【分析】过点C1作C1D⊥x轴于D，根据已知信息求出点E坐标，进而得到：再根据勾股定理和含30 °角的直角三角形的性质得到OD和C1D的长，进而得到C1坐标，依次类推即可.
9．【答案】20
【解析】【解答】解：如图，根据题意得AO= ×8=4，BO= ×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.
∴△AOB是直角三角形.
∴ .
∴此菱形的周长为：5×4=20
故答案为：20.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.
10．【答案】2
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长16cm
∴BC=16÷4=4cm
∵O和E分别是AC和AB的中点
∴OE==2cm
故答案为：2.
【分析】根据菱形的四边相等，已知周长，可求出菱形的边长；根据菱形的对角线互相平分可得点O事AC的中点，再根据三角形的中线定理，可得OE的长.
11．【答案】54
【解析】【解答】解：S菱形ABCD=×12×9=54
故答案为：54.
【分析】根据菱形的面积等于乘以两个对角线的长，计算即可.
12．【答案】65
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD， ∠BAC= ∠BAD，
∴ ∠BAD+∠D=180°，
∴∠BAD=180°-∠D=180°-50°=130°，
∴∠BAC=× 130°=65°.
【分析】根据菱形的性质得出AB∥CD， ∠BAC= ∠BAD，再根据平行线的性质求出∠BAD=130°，即可得出∠BAC=65°.
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，作点O关于AB的对称点O'，延长O'O交CD于点H，连接OP，O'P，O'D，
∴PO'=PO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∴OG=EF=1，
∵OG+PG≥OP，
∴PG的最小值为OP-1，
∵PD+PG≥PD+PO-1=PD+PO'-1≥O'D-1，
∴PD+PG的最小值为O'D-1，
∵四边形ABCD是菱形，O'O⊥AB，
∴O'H⊥CD，
∵四边形ABCD是“完全菱形”ABCD的边长为4，
∴AD=AB=BD=4，OD=2，
∴∠ODH=∠ABD=60°，
在Rt△ODH中，DH=1；OH=，
再由轴对称的性质及菱形的性质可得O'H=3OH=，
在Rt△O'DH中，
由勾股定理可得：，
∴的最小值为，
故答案为：.
【分析】作点O关于AB的对称点O'，延长O'O交CD于点H，连接OP，O'P，O'D，先利用解直角三角形的方法求出DH=1；OH=，再利用勾股定理求出O'D的长，再结合PD+PG≥PD+PO-1=PD+PO'-1≥O'D-1，可得的最小值为.
14．【答案】（1）
（2）如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求；
【解析】【解答】解：（1）由题意得：在Rt△ADE中，AD=5，DE=2，
∴AE=，
故答案为：.
（2）理由如下：取格点F，连接，如图，
则，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）取点F得菱形AEGF，根据菱形对称性得MF=ME，由BF=DE=2，即可求得点M就是要求的点.
15．【答案】解： 菱形 的周长为20， ，
， ， ， ，
，
，
菱形 的面积 .
【解析】【分析】利用菱形的性质可求出BD的长，同时可得到AB和EB的长；利用勾股定理求出EA的长，即可得到AC的长；然后利用菱形的面积公式求出此菱形的面积.
16．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵ BE=EF=FD，
∴BF=DE，
在△ABF和△CDE中
∴ △ABF≌△CDE（AAS）
（2）解：①或②，四边形 AECF 是菱形，
如图，
已知①即 ∠ABD=30° ，
理由：
∵△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ABD=30°，∠BAF=90°，BE=EF，
∴AE=BF，AF=BF，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，利用已知可得到BF=DE，再利用AAS可证得结论.
（2）已知①即 ∠ABD=30° ，利用全等三角形的性质及平行线的性质可证得AF=CE，AF∥CE，由此可推出四边形AECF是平行四边形；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半去证明AE=AF，据此可证得四边形AECF是菱形.
17．【答案】（1）证明：∵四边形的平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）证明：∵，，即，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴平行四边形是菱形．
18．【答案】（1）证明：∵四边形OBCA为矩形，
∴OB//CA，BC//OA，
∴∠BOC=∠OCA，
由折叠的性质可得：∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，
∴∠EOC=∠OCH，
∴OE//CH，
又∵BC//OA，
∴四边形OECH是平行四边形；
（2）解：四边形OECH是菱形．理由如下：
由折叠的性质可得∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，
∵点F，G重合，
∴EH⊥OC，
又∵四边形OECH是平行四边形，
∴平行四边形OECH是菱形，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，
又∵∠EOC=∠BOE，
∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，
点A的坐标是（5，0），
∴OA=5，
由直角三角形的性质可得：OB=
∴点B的坐标是（0，）；
（3）解：当点F在点O，G之间时，如图3，
由折叠性质得：OF=OB，CG=CA，
而OB=CA，
∴OF=CG，
∵点F，G将对角线OC三等分，
∴AC=OF=FG=GC，
设AC=m，则OC=3m，
在Rt△OAC中，OA=5，
由勾股定理得：AC2+OA2=OC2，
即：m2+52=（3m）2，解得m=，
∴OB=AC=，
∴点B的坐标是（0，）；
当点G在O，F之间时，如图4，
同理可得OF=CG=AC，
设OG=n，则AC=GC=2n，
在Rt△OAC中，OA=5，
由勾股定理得：AC2+OA2=OC2，
即：（2n）2+52=（3n）2，解得n=，
∴AC=OB=2，
∴点B的坐标是（0，2）．
故B的坐标是（0，）或（0，2）．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得OB∥CA，BC∥OA，再利用平行线的性质得∠BOC=∠OCA，然后根据折叠的性质得到∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，所以∠EOC=∠OCH，根据平行线的判定定理得OE∥CH，根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证；
（2）先根据折叠的性质得∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，由点F，G重合得到EH⊥OC，根据菱形的判定方法：对角线垂直的平行四边形是菱形，得到四边形OECH是菱形，则EO=EC，所以∠EOC=∠ECO，而∠EOC=∠BOE，根据三角形内角和定理可计算出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，在Rt△OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=，于是得到点B的坐标是（0，）；
（3）分类讨论：当点F在点O，G之间时，如图3，根据折叠的性质得OF=OB，CG=CA，则OF=CG，所以AC=OF=FG=GC，设AC=m，则OC=3m，在Rt△OAC中，根据勾股定理得m2+52=（3m）2，解得m=，则点B的坐标是（0，）；当点G在O，F之间时，如图4，同理可得OF=CG=AC，设OG=n，则AC=GC=2n，在Rt△OAC中，根据勾股定理得（2n）2+52=（3n）2，解得n=，则AC=OB=2，所以点B的坐标是（0，2），即可得解.
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