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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.7 菱形的判定证明专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明:
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线, 相交于点，
，
∴四边形是菱形;
（2）∵四边形是矩形,
，
∴，
，
∵四边形是菱形,
∴菱形的面积．
2．如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
3．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
4．如图，在中，点E是对角线上一点，过点E作，交边于点P，交边于点Q，连接．
(1)当点E是的中点时，求证：四边形是菱形；
(2)求证：四边形的面积为．
(3)若，，则的最小值为______．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵点E是的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴
∴
即四边形的面积为．
（3）过点A作且，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
将的最小值转化为的最小值，当M、P、C三点共线时，的最小，
∵，，
∴，
在中，；
即的最小值为．
故答案是：．
5．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是每秒个单位长度，连接，，设点，运动的时间为秒．
(1)当为何值时，四边形是矩形？
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)整个运动当中，线段扫过的面积是多少？
【答案】(1)8(2)四边形为菱形，理由见解析(3)64
【详解】（1）解：在矩形中，，，
，．
由已知可得，
∴，
在矩形中，，，
∴当时，四边形为矩形，
∴，
解得，
当时，四边形是矩形．
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
当时，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）解：连接，，与相交于点，则整个运动当中，线段扫过的面积是的面积的面积，．
，
整个运动当中，线段扫过的面积
．
6．如图，中，D是上一点，于点E，F是的中点，于点G，与交于点H，若平分，连接．
(1)判断形状，并说明理由；
(2)猜想线段是否成立，若不成立，请写出正确的线段关系，若成立，请写出证明过程；
(3)若，探究四边形是否为特殊平行四边形，并说明理由．
【答案】(1)是直角三角形，见解析(2)猜想成立，见解析
(3)四边形是菱形，见解析
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
，
，
平分，
，
，
，
又，
，
是直角三角形；
（2）猜想成立
证明：连接，过点G作，
平分，
，
在和中，
，
，
，
由（1）得，，
，即，
在中，F是的中点，
，
又，
为中点，
是线段的垂直平分线，
∵点G在上，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：四边形是菱形，理由如下：
，
，
，
在中，，
，
又，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形．
7．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)菱形，理由见解析(3)6
【详解】（1）为的中点
，
．
在和中，
，
，
，
为中线，
，
；
（2）四边形的形状是菱形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，
，
为中线，
，
平行四边形是菱形；
（3）由（2）知，
∵，
由勾股定理得：
，
答：四边形的面积为6．
8．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，且平分，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，交于点，若，则__________．
【答案】(1)见解析(2)60
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：，
，
平行四边形是菱形，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：60．
9．如图，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，平行线与间的距离为，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)菱形的面积是32
【详解】（1）∵是的中点，
∴．
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
∵是边中线，，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）作于点G，则，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
10．在中，，是的中点，E是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，，
又是的中点，
∴
∴，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）连结，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
则，
∴．
11．如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．
(1)如图1，当点落在边边上时，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若，，，当，，三点共线时，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)6
【详解】（1）证明：如图1，由翻折得，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图2，作于点，则，
由翻折得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为6．
12．在中，M是斜边的中点，点D在直线外，且，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，E是边上一点，且，，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【详解】（1）证明：∵M是斜边的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
13．如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
，
，
∴在中，根据勾股定理得：
，
∵，为直角三角形，
∴．
14．如图，在中，为的中点，为的中点．过点A作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，菱形的面积为40，求的长．
【答案】(1)见解析(2)10
【详解】（1）证明：∵，
，，
点是的中点，
，
，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
∴，
点是的中点，
∴，
∴，
，
，
，
的长为10．
15．如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，，，当的长为 时，四边形是菱形．
【答案】(1)证明过程见详解；(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：作于点G，作于点H，
,
四边形是矩形，
,
，
,
,
，
,
在中，，
设,
，则,
在中，，
，
解得：，
∴当时，四边形是菱形．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.7 菱形的判定证明专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
2．如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
3．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
4．如图，在中，点E是对角线上一点，过点E作，交边于点P，交边于点Q，连接．
(1)当点E是的中点时，求证：四边形是菱形；
(2)求证：四边形的面积为．
(3)若，，则的最小值为______．（直接写出答案）
5．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是每秒个单位长度，连接，，设点，运动的时间为秒．
(1)当为何值时，四边形是矩形？
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)整个运动当中，线段扫过的面积是多少？
6．如图，中，D是上一点，于点E，F是的中点，于点G，与交于点H，若平分，连接．
(1)判断形状，并说明理由；
(2)猜想线段是否成立，若不成立，请写出正确的线段关系，若成立，请写出证明过程；
(3)若，探究四边形是否为特殊平行四边形，并说明理由．
7．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．
8．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，且平分，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，交于点，若，则__________．
9．如图，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，平行线与间的距离为，求菱形的面积．
10．在中，，是的中点，E是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
11．如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．
(1)如图1，当点落在边边上时，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若，，，当，，三点共线时，求的长．
12．在中，M是斜边的中点，点D在直线外，且，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，E是边上一点，且，，求证：四边形是菱形．
13．如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，求的长．
14．如图，在中，为的中点，为的中点．过点A作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，菱形的面积为40，求的长．
15．如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，，，当的长为 时，四边形是菱形．
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