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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.2 矩形中折叠问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是上一点，且，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【详解】∵，，
∴，
∵对折矩形纸片使与重合，得到折痕，
∴，，
∵将沿折叠，点的对应点恰好落在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
2．如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点G处，连接，则的长为（）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】∵，点E为的中点，是矩形，
∴，，
∴，
由折叠可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故，
∴．
故选：A．
3．如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若平分，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：在矩形中，；
由折叠知：，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：；
故答案为：．
4．如图，沿折叠矩形，使点D落在边的点F处，若，，则的长度为 ．
【答案】/2.5
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
由折叠可知：，,
又∵，
∴在中，，
∴,
设,则，
在中，，即,解得：，
∴．
故答案为．
5． 如图，矩形纸片中，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，；
当F与D重合时，最小，如图，
由折叠知，，
在中，由勾股定理得，
∴；
∴；
当E与B重合时，最大，如图，
由折叠性质得；
综上，的取值范围为： ．
故答案为：．
6．如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．
（1）若，则 °；
（2）若，且三点共线，则 ．
【答案】
【详解】解：（1）矩形中，，
∴，；
由折叠知：，
∴，；
∵平分，
∴；
故答案为：55；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
由折叠知，，；
∵E为中点，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：,
即，
解得：；
故答案为：．
7．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则折痕的长是 ．
【答案】
【详解】解：过点F作于G
∵是直角梯形的折痕
∴，．
又∵
∴
∴
，
在中，
，
在中，，
（负值已舍去）
故答案为：．
8．如图，在矩形纸片中，为上一点，将沿翻折至，若点恰好落在上，，，则长度为 ．
【答案】5.8
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
设，则，
沿翻折至，
，
在中，，
，
解得，
，
，
故答案为：5.8．
9．已知矩形，，，E是边上一点，且，将沿直线翻折得到，其中A的对应点是，连接，则的面积为 ．
【答案】12
【详解】解：如图，过点作于点F，交于点G，则，，
设，则，，
由折叠的性质得：，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
即，
∴，
矩形，，
∴，
∴．
故答案为：12
10．如图，将矩形沿折叠，点与点重合，连结并延长分别交，于点，，且．若，则 ．
【答案】/度
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴；
故答案为：．
11．如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，求的长．
【答案】3
【详解】解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上
，，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得，
．
12．问题的提出：矩形中，点是中点，连，将沿翻折，得对应，点对应点总在矩形内，延长交于点，如图．
(1)求证：；
(2)特殊的思考：若点为中点，求的值；
拓展与运用：若，直接写出（用含的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)特殊的思考：；拓展与运用：
【详解】（1）解：连接，如图所示：
在矩形中，，
点是中点，
，
将沿翻折，得对应，
，，则，，
在和中，
，
；
（2）解：特殊的思考：由（1）知，
点为中点，
，则，
设，则；设，则；
在中，，，，，
由勾股定理可得，即，
解得或（舍去），
；
拓展与运用：由特殊的思考求解过程，同理，由（1）知，
，
设，则，；设，则；
在中，，，，，
由勾股定理可得，即，
解得或（舍去），
．
13．【感知图形】
点是矩形的边上一动点，连接、，将、分别沿、翻折，得到、．
【问题探究】
（1）如图1，交于点，交于，在的右侧，求证：；
【问题拓展】
（2）将图1特殊化，当、、共线时，称点为边上的“叠合点”．如图2，在矩形中，，，点P为边上的“叠合点”，且，求的长；
【答案】（1）见详解；（2）
【详解】（1）证明：如图1中，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
同法可证，
；
（2）四边形是矩形，
，，，
设，则，
由得，则，
在 中，，
在 中，，
由折叠的性质可知，，，
，
在中，，
，
解得（舍）或，
当时，；
∴的长为．
14．如图，将矩形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．
(1)求证：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【详解】（1）证明：由翻折的性质得：，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
∵在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，即．
∴阴影部分的面积为．
15．如图，将矩形纸片沿翻折，使点与点重合．
(1)若，请判断的形状：______；
(2)若，求的值．
【答案】(1)等边三角形(2)
【详解】（1）解：由折叠的性质可得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，，
如图所示，取中点H，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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专题5.2 矩形中折叠问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是上一点，且，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则的长是（ ）
A． B． C．3 D．
2．如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点G处，连接，则的长为（）
A． B． C． D．1
3．如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若平分，则的长为 ．
4．如图，沿折叠矩形，使点D落在边的点F处，若，，则的长度为 ．
5． 如图，矩形纸片中，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，则的取值范围是 ．
6．如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．
（1）若，则 °；
（2）若，且三点共线，则 ．
7．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则折痕的长是 ．
8．如图，在矩形纸片中，为上一点，将沿翻折至，若点恰好落在上，，，则长度为 ．
9．已知矩形，，，E是边上一点，且，将沿直线翻折得到，其中A的对应点是，连接，则的面积为 ．
10．如图，将矩形沿折叠，点与点重合，连结并延长分别交，于点，，且．若，则 ．
11．如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，求的长．
12．问题的提出：矩形中，点是中点，连，将沿翻折，得对应，点对应点总在矩形内，延长交于点，如图．
(1)求证：；
(2)特殊的思考：若点为中点，求的值；
拓展与运用：若，直接写出（用含的式子表示）．
13．【感知图形】
点是矩形的边上一动点，连接、，将、分别沿、翻折，得到、．
【问题探究】
（1）如图1，交于点，交于，在的右侧，求证：；
【问题拓展】
（2）将图1特殊化，当、、共线时，称点为边上的“叠合点”．如图2，在矩形中，，，点P为边上的“叠合点”，且，求的长；
14．如图，将矩形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．
(1)求证：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
15．如图，将矩形纸片沿翻折，使点与点重合．
(1)若，请判断的形状：______；
(2)若，求的值．
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