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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.5 矩形的判定证明专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长．
2．如图，点A在的边上，于于于C．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
3．如图，在中，点是边的中点，和分别是和的角平分线．以为对角线向外作边和，相交于点，使，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)已知，，求四边形的面积．
4．如图，在中，，D为中点．过点D作的平行线，过点B作的平行线，两平行线相交于点E，交于点F，连接．求证：
(1)四边形是矩形；
(2)取的中点M，连接，若，，直接写出矩形的面积．
5．在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，，求证：平分．
6．如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点．
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形的形状？并说明理由．
7．在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求证：平分．
8．如图，在平行四边形 中，，过点 作交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，求的长．
9．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，，，求四边形的面积．
10．如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
11．如图，在中，于点，延长至点使，连接，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
12．如图1，已知，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)为的中点，在上取一点，使．
①如图2，若为中点，，求的长；
②如图2，若，，求的长．
13．已知：在四边形中，与交于点O，，，．
(1)如图1，求证：四边形为矩形；
(2)如图2，过点O作，交于点E，交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，使每一条线段的长度都等于线段的长度的一半．
14．如图，在中，点，，分别是边，，的中点，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求出矩形的周长．
15．平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，求矩形的面积．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.5 矩形的判定证明专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）解： 点是线段的中点，
，
，
，
，，
中，，
即，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：连接，作于点，
矩形中，，，，
，四边形是矩形，
，
，且，
，且，
即，
，
又，
，
中，，
，
中，，
，
．
2．如图，点A在的边上，于于于C．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解(2)5
【详解】（1）证明：于，于，
．
在与中，
∴，
．
．
又，，
．
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知，
，
设，则，．
在中，由得：，
解得．
．
3．如图，在中，点是边的中点，和分别是和的角平分线．以为对角线向外作边和，相交于点，使，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)已知，，求四边形的面积．
【答案】(1)见详解(2)四边形的面积为4
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
和分别是和的角平分线，
，，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：如图1，在上取一点，连接，使，
，，
，
，
，
，
，
，且，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，
，
四边形的面积为4．
4．如图，在中，，D为中点．过点D作的平行线，过点B作的平行线，两平行线相交于点E，交于点F，连接．求证：
(1)四边形是矩形；
(2)取的中点M，连接，若，，直接写出矩形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵过点D作的平行线，过点B作的平行线，两平行线相交于点E，
∴四边形是平行四边形；
∴，，
∵，D为中点．
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形；
∵
∴四边形是矩形；
（2）如图，
∵是直角三角形，的中点为M，
∴，
∵，D为中点．
∴，
∴矩形的面积为．
5．在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，，求证：平分．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【详解】（1）证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是矩形．
（2）∵，
∴在中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
6．如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点．
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形的形状？并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)矩形，见解析
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
（2）当时，四边形为矩形；理由如下：
，四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形为矩形．
7．在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求证：平分．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
，
，
即平分．
8．如图，在平行四边形 中，，过点 作交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，点E在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
的长是．
9．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)20
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积是：．
10．如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
11．如图，在中，于点，延长至点使，连接，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴．即．
∵在中，且，
∴且．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴的面积．
∴．
12．如图1，已知，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)为的中点，在上取一点，使．
①如图2，若为中点，，求的长；
②如图2，若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)①6；②
【详解】（1）证明：如图1中，
∵，
四边形是平行四边形，
∵，
，
，
，
四边形是矩形．
（2）①如图2中，延长、交于点．
，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
②如图3中，延长、交于点．
由①可知，，，
，，
设，则，
，
，
．
13．已知：在四边形中，与交于点O，，，．
(1)如图1，求证：四边形为矩形；
(2)如图2，过点O作，交于点E，交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，使每一条线段的长度都等于线段的长度的一半．
【答案】(1)见解析(2)、、、
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
四边形为矩形．
（2）解：、、、．
∵四边形是矩形，
∴且与互相平分，
∴
∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴；
又且
∴
∴
∵
∴，
又
∴
∴，
即
14．如图，在中，点，，分别是边，，的中点，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求出矩形的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接．
，分别是边，的中点，
∴，，
点是边的中点，
．
．
四边形为平行四边形；
由点，分别是边，的中点，
．
，
，
四边形为矩形；
（2）解：四边形为矩形，
，
，
，，
，
，
，，，
，
矩形的周长．
15．平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，求矩形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)20．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
在中，，，
，
矩形的面积为．
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