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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.4 矩形的性质证明题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在矩形中，点在边上，且与相交于点，若，，且，求的长．
2．如图，在矩形中，是的中点，点在线段上（不与点重合），，连接并延长，交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若为的中点，求证：．
3．已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
4．已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
(1)尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
(2)求证：四边形为平行四边形
5．如图，在矩形中，对角线与交于点O，F是经过点B且与平行的直线上一点，且，点E在线段上，且满足，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
6．如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点．
(1)求证：；
(2)试判断线段与的位置关系，并说明理由．
7．如图，在矩形中，，，点M为边中点，连接，过B作于点．连接并延长交于点E．
(1)求证：．
(2)求的长．
8．已知四边形是矩形，是对角线，过点作于点，
(1)尺规作图：过点作垂线，使得于点（不写做法）；
(2)连接，求证：四边形是平行四边形．
9．如图，在矩形中，，点是线段上一个动点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
10．如图，四边形是矩形，点E在上，点F在的延长线上，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的值．
11．如图，在矩形中，O是的中点（不与点A重合），，交于点N．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若M为的中点，求证：．
12．如图，在矩形中，对角线交于点O，E，F是上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
13．如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
14．如图，在矩形中，对角线与交于点O，F是经过点B且与平行的直线上一点，且，点E在线段上，且满足，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
15．已知：如图，在矩形中，，G，H分别是的中点，E，F是对角线上的两个点，．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形为矩形，求的长度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.4 矩形的性质证明题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在矩形中，点在边上，且与相交于点，若，，且，求的长．
【答案】
【详解】∵在矩形中，，
∴，，
，，，
，
∴，
，，
∴，
∴．
2．如图，在矩形中，是的中点，点在线段上（不与点重合），，连接并延长，交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若为的中点，求证：．
【答案】(1)直角三角形，见解析(2)见解析
【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：
点是的中点，
．
，
．
，．
，
．
．
是直角三角形．
（2）证明：如图，延长，交于点，
是的中点，
．
，，
．
．
．
．
．
，
．
．
，，
．
．
3．已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)8
【详解】（1）证明：在矩形中，，则，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形中，，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴．
4．已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
(1)尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
(2)求证：四边形为平行四边形
【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴四边形为平行四边形．
5．如图，在矩形中，对角线与交于点O，F是经过点B且与平行的直线上一点，且，点E在线段上，且满足，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，点为中点，
若，则有，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意知，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
6．如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点．
(1)求证：；
(2)试判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)垂直，见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）垂直；
理由：∵，
∴，
∴点F在线段的垂直平分线上．
又∵，
∴点B在线段的垂直平分线上．
∴垂直平分，
∴垂直．
7．如图，在矩形中，，，点M为边中点，连接，过B作于点．连接并延长交于点E．
(1)求证：．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）证明：延长、交于点，如图，
∵点为边中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴
∴，，
∴点为中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：设，
由（1）可知，，，
∴，，，
∴在中，有，
∴，
解得，
∴．
8．已知四边形是矩形，是对角线，过点作于点，
(1)尺规作图：过点作垂线，使得于点（不写做法）；
(2)连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析
【详解】（1）解：如图所示：
垂线即为所求；
（2）证明：如图所示：
，，
，，
在矩形中，，，则，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
9．如图，在矩形中，，点是线段上一个动点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，，
．
10．如图，四边形是矩形，点E在上，点F在的延长线上，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
，即，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
在中，
，
．
11．如图，在矩形中，O是的中点（不与点A重合），，交于点N．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若M为的中点，求证：．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)见解析
【详解】（1）
解：是直角三角形，理由如下：
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形；
（2）证明：如图1，延长，交于点，
是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
12．如图，在矩形中，对角线交于点O，E，F是上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
；
（2）
解：∵，
∴．
由（1）知，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
13．如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
又∵，，
∴．
在和中，
∴．
（2）∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
14．如图，在矩形中，对角线与交于点O，F是经过点B且与平行的直线上一点，且，点E在线段上，且满足，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．已知：如图，在矩形中，，G，H分别是的中点，E，F是对角线上的两个点，．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形为矩形，求的长度．
【答案】(1)平行四边形，见解析(2)
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
，
，
分别是的中点，
，
，
，
，，
，
即，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，在矩形中，，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
当四边形为矩形时，
，
．
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