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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.6 菱形的性质证明专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，菱形对角线交于点，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
2．如图，四边形是菱形．延长到点E，使得，延长到点F，使得，连接，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
3．已知：如图，在菱形中，为边的中点，与对角线交于点，过作于点，．
(1)若，求的长；
(2)求证：；
(3)求证：．
4．如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若菱形的边长为8，，求的长．
5．如图，在菱形中，延长到点E，使，连接．
(1)求证：为直角三角形；
(2)若，求的长．
6．如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F，．
(1)求证：是矩形；
(2)求的长．
7．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在边上，且，．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求和的长．
8．如图，菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，．
(1)求证： 四边形 是矩形；
(2)如果， 菱形的面积为，则 ．
9．如图所示，在菱形中，对角线，交于点，，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)连接，若，，求的长度．
10．如图，在菱形中，，点E在边上（不与点B，点C重合），线段的中垂线交对角线于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，，，求证：．
11．如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中的上找一点，连接，使得．
(2)在图2中的上找一点，连接，使得．
12．如图，矩形的对角线，相交于点，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
13．如图，在平行四边形中，为对角线上两点，，连接、，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求证：四边形为菱形；
14．如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，．
(1)求证：；
(2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由．
15．如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图．
(1)在菱形的边上找一点F，连接，使（保留画图痕迹）；
(2)在菱形的边上找点F，G，使，并作出等腰．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.6 菱形的性质证明专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，菱形对角线交于点，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积=．
2．如图，四边形是菱形．延长到点E，使得，延长到点F，使得，连接，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，，四边形是矩形，
，，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
即的长为．
3．已知：如图，在菱形中，为边的中点，与对角线交于点，过作于点，．
(1)若，求的长；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
在与中，
，
；
（3）证明：由 （2）中得，
，
，
，
，，，
，
，，
，
设，在中，，则，
，
在中，，
，，，
，
．
4．如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若菱形的边长为8，，求的长．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：四边形是菱形
，
即
四边形是平行四边形
四边形是矩形
；
（2）菱形的边长为8，
是等边三角形
由（1）知，四边形是矩形
．
5．如图，在菱形中，延长到点E，使，连接．
(1)求证：为直角三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明过程见解答(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
又，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
6．如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F，．
(1)求证：是矩形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析(2)12
【详解】（1）解：∵，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点，
，
即．
四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形
∴是的中点，
∵四边形是菱形
∴是的中点,
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴
7．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在边上，且，．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求和的长．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)，
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：，是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
四边形是菱形，
，，，
是的中位线，
，
四边形是矩形，
，
．
8．如图，菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，．
(1)求证： 四边形 是矩形；
(2)如果， 菱形的面积为，则 ．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
．
，
，
四边形是矩形．
（2）解：连接交于点，设，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
即，
解得：或舍去，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：
9．如图所示，在菱形中，对角线，交于点，，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)连接，若，，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：．
10．如图，在菱形中，，点E在边上（不与点B，点C重合），线段的中垂线交对角线于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
线段的中垂线交对角线于点F，
，
．
（2）四边形是菱形，且为对角线，
，
，
，
，，
，
，
，
即：，
，
，
线段的中垂线交对角线于点F，
，
，，，
，，
，，
，
．
11．如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中的上找一点，连接，使得．
(2)在图2中的上找一点，连接，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：如图，即为所求作；
连接、交于点，连接并延长，交于点，
四边形是菱形，
，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
即．
12．如图，矩形的对角线，相交于点，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：∵，．
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
（2）解：作于点，
四边形是矩形，，
，，
，
，
∴,
∴,
，
菱形的面积是：．
13．如图，在平行四边形中，为对角线上两点，，连接、，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求证：四边形为菱形；
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）证明：∵，四边形是平行四边形，
∴是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
14．如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，．
(1)求证：；
(2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴．
∵E为的中点，
∴.
在和中
，
∴．
（2）解：当时，四边形是矩形．
理由如下：
由（1）知，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵在菱形中，，M为的中点，
∴．
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形．
15．如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图．
(1)在菱形的边上找一点F，连接，使（保留画图痕迹）；
(2)在菱形的边上找点F，G，使，并作出等腰．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：点F即为所求作的点，此时，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
点F即为所求作的点，此时，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
（2）解：即为所求作的三角形，如图所示：
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