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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.8 求正方形折叠面积问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定
2．如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．18
3．如图，在边长为2的正方形中，，分别为与的中点，一个三角形沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点恒在直线上，当点运动到线段的中点时，点，恰与，两边的中点重合．设点到的距离为，三角形与正方形的公共部分的面积为，则当时，的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
4．如图，点在正方形的对角线上，且，正方形的两边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
6．如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（ ）
A．b2 B．b2 C．b2 D．2b2
7．将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（ ）.
A．2 B．3 C．6 D．8
8．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是( )
A． B． C．1- D．-1
9．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长都为2．若正方形A1B1C1O绕点O转动，则两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．16 B．4 C．1 D．2
11．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2
12．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
13．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ．
14．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，Q，在同一条直线l上，当，Q两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题：
(1)当Q在线段上时，___________；当Q在线段延长线上时，___________（用含t的代数式表示）．
(2)当秒时，求S的值．
(3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围．
(4)当点P到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出t的值．
15．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题：
(1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）．
(2)当秒时，求的值．
(3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围．
(4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.8 求正方形折叠面积问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，
∴∠DOC＝∠EOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△COF和△DOE中，
，
∴△COF≌△DOE（ASA），
∴S△COF＝S△DOE，
∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝，
故选：B．
2．如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．18
【答案】C
【详解】解：∵正方形具有中心对称性，则每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，
∴
=
=14
故选：C．
3．如图，在边长为2的正方形中，，分别为与的中点，一个三角形沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点恒在直线上，当点运动到线段的中点时，点，恰与，两边的中点重合．设点到的距离为，三角形与正方形的公共部分的面积为，则当时，的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】A
【详解】解：∵在边长为2的正方形EFGH中，如图所示，当A运动到MN的中点时，点E、F恰好与AB、AC的中点重合，即AM=EM=FM=1，且MNEF，
∴AME和AMF均为等腰直角三角形，可得：ABC也是等腰直角三角形，其中AB=AC=，BC=4，
设A到EF的距离AM=x，
①当x<1时，此时图形的位置如下图所示，AB与EF交于P点，AC与EF交于Q点，
∵AM=x，且△APQ为等腰直角三角形，
∴，解得：，但是与前提条件x<1相违背，故不存在该情况；
②当1∵公共部分面积为，正方形剩余部分，∴，四边形ANHP是直角梯形，当AM=x，则AN=2-x，PE=x-1，HP=3-x，NH=1，
∴，解得：；
③当2＜x＜3时，此时图形的位置如下图所示，AB与EH交于K点，AB与HG交于I点，AC与FG交于L点，AC与HG交于J点，BC与EH交于P点，BC与GF交于Q点，
∵公共部分面积为，∴，
且，解得：或（舍），
④当x=3时，H,G分别是AB,AC的中点，此时重合的部分的面积为2，不符合题意；
⑤当x≥3时，重合的面积小于2，也不符合题意；
所以，满足条件的AM的值为或，
故选：A．
4．如图，点在正方形的对角线上，且，正方形的两边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵四边形是正方形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，，
∴△EPM=△EQN(ASA)，
∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=a，
∵，
∴EC=，
∴EP=PC=，
∴正方形PCQE的面积=×=，
四边形EMCN的面积=，
故选：A．
5．如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】解：连接，，如图所示：
三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点，
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中
，
两个正方形阴影部分的面积，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
．
故选：．
6．如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（ ）
A．b2 B．b2 C．b2 D．2b2
【答案】B
【详解】解：∵将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起，
∴CM＝AF＝FG＝a，BG＝CG＝CH＝BH＝b，
∴三角形ABC的面积S＝S正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMB﹣S△AFC﹣S△BHC
＝a2+b2+ （b﹣a）﹣ （a+b）﹣b b
＝a2+b2+﹣﹣﹣﹣
＝，
故选：B．
7．将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（ ）.
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【详解】解：如图，
连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，
则，，
，
，
≌，
四边形AENF的面积等于的面积，
而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的．
8．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是( )
A． B． C．1- D．-1
【答案】D
【详解】绕顶点顺时针旋转，
，
，
，
，
，
，
正方形重叠部分的面积是.
故选：.
9．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：作MH⊥DE于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=1，∠B=∠BAD=∠ADC=90°，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，
∴AE=AB=1，∠1=30°，∠AEF=∠B=90°，
∴∠2=60°，
∴△AED为等边三角形，
∴∠3=∠4=60°，DE=AD=1，
∴∠5=∠6=30°，
∴△MDE为等腰三角形，
∴DH=EH=，
在Rt△MDH中，MH=DH=×=，
∴S△MDE=×1×=．
故选D．
10．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长都为2．若正方形A1B1C1O绕点O转动，则两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．16 B．4 C．1 D．2
【答案】C
【详解】在正方形ABCD中，OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，
∵∠AOE+∠BOE=90°，∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE与△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
则四边形OEBF的面积
=S△BOE+S△BOF= S△BOE +S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD==1.
故选C.
11．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2
【答案】B
【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2．
故选：B．
12．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【答案】
【详解】∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ．
【答案】1
根据题意可得：，所以，从而可求得其面积．
【详解】解：如图，
正方形和正方形的边长都是，
，，，
∴，
在和中，
，
，
；
则图中重叠部分的面积是，
故答案为：1．
14．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，Q，在同一条直线l上，当，Q两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题：
(1)当Q在线段上时，___________；当Q在线段延长线上时，___________（用含t的代数式表示）．
(2)当秒时，求S的值．
(3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围．
(4)当点P到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出t的值．
【答案】(1)；(2)(3)(4)或或或13
【详解】（1）解：当点在上时，
，
当在的延长线时，
．
（2）解：如图1，
作于，
，，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
；
（3）解：当点和点重合时，点在上，此时，
当点和重合时，此时，
当点和和点重合时，此时，
当点在上时，此时，
当时，如图2，
，
，
，
，
当时，如图3，
，
，
，
当时，如图4，
此时是五边形或三角形，
；
（4）解：设点到的距离是，到的距离是，
当点在的右侧时，
，
，
，
此时，
当点在和之间时，
当时，
，
，
此时，
当时，
，
，
此时，
当点在的左侧时，
，，
，
此时，
综上所述：或或或13．
15．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题：
(1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）．
(2)当秒时，求的值．
(3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围．
(4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)或或或13
【详解】（1）解：当点在上时，，
当在的延长线时，，
故答案是或；
（2）如图1，
作于，
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当点和点重合时，点在上，此时，
当点和重合时，此时，
当点和和点重合时，此时，
当点在上时，此时，
∴当时，如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，如图3，
∵，
∴，∴，
当时，如图4，
此时是五边形或三角形，
∴；
（4）设点到的距离是，到的距离是，
当点在的右侧时，
∵，
∴，
∴，
此时，
当点在和之间时，
当时，
∵，
∴，
此时，
当时，
∵，
∴，
此时，
当点在的左侧时，
∵，，
∴，
此时，
综上所述：或或或13．
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