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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.10 正方形的性质证明题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点F，连接．
(1)若，求的长；
(2)若点是的中点，猜想、、的数量关系，并说明理由．
2．如图，已知四边形是正方形，点E、F分别在、上，与相交于点G，且．
(1)求证：；
(2)如果正方形的边长为5，，点H为的中点，连接．求的长．
3．在正方形中，点E在的延长线上，且，点F为边上一点，连接，作交射线于点G．
(1)如图1，连接，若，判断的形状，并说明理由；[提示：连接]
(2)如图2，若，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
4．如图，正方形中，点分别在上，且与相交于点P．
(1)求证：；
(2)求的大小．
5．如图，正方形的顶点B在矩形的边上运动．
(1)如图1，点C在上，求的大小；
(2)如图1，C是的中点，求证：；
(3)如图2，若，，，直接写出的长．
6．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，其中边交于H，交于I．连接．
(1)求证：；
(2)求证：矩形是正方形；
(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
7．如图，在正方形中，点是边上的一动点（不与点、重合），点关于直线的对称点为，连接，过点作交于点，交对角线于点．
(1)依据题意补全图形；
(2)如果，求的大小（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
8．如图，点E在正方形的边上，且，过点F作，垂足为M．
(1)求证：；
(2)延长至点N，使得求证：四边形是正方形．
9．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一点，连结．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连结接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)求的值；
(3)若F恰为的中点，请求出的长．
10．如图，正方形中，点是对角线上任意一点，连接，以点为垂足，过点作，交于点，连接，取的中点，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)若，求的大小（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
11．如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求正方形的边长．
12．如图，正方形的对角线相交于O，平分，于点F，交于点G，
求证：
(1)；
(2)；
(3)若M为得中点，，求的长．
13．如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，过点作，交于点．
(1)求证：．
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)作的中点，连接，若，求的长．
14．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交直线于点．
(1)求证：；
(2)探究：当线段与正方形的某条边的夹角是时，的度数是多少？直接写出结果______．
15．如图，正方形的对角线交于点O，点E是线段上一点，连接，作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，是的角平分线，求的长．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.10 正方形的性质证明题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点F，连接．
(1)若，求的长；
(2)若点是的中点，猜想、、的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：∵正方形，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为；
（2）解：，理由如下；
如图，作于，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴．
2．如图，已知四边形是正方形，点E、F分别在、上，与相交于点G，且．
(1)求证：；
(2)如果正方形的边长为5，，点H为的中点，连接．求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，点H为的中点，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵在中，，
根据勾股定理，得：
∴，
∴．
3．在正方形中，点E在的延长线上，且，点F为边上一点，连接，作交射线于点G．
(1)如图1，连接，若，判断的形状，并说明理由；[提示：连接]
(2)如图2，若，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析；(2)，证明见解析．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌（），
∴，
又，
∴是等腰直角三角形．
（2）证明：如图，过点F作，交于点H，则．
由（1）知，．
∴．
∴，．
∴．
由（1），得，
∴，
同（1），得．
在和中，
∴≌（）．
∴．
∴．
4．如图，正方形中，点分别在上，且与相交于点P．
(1)求证：；
(2)求的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴．
5．如图，正方形的顶点B在矩形的边上运动．
(1)如图1，点C在上，求的大小；
(2)如图1，C是的中点，求证：；
(3)如图2，若，，，直接写出的长．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)或．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴；
（2）证明：如图1，分别延长与交于点P．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
（3）解：过点C作于点M，作于点N，连，
则四边形为矩形，
由（1）可得，
∴，，
设：
则：，，
∴
在中，
，
解得：或．
∴或．
6．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，其中边交于H，交于I．连接．
(1)求证：；
(2)求证：矩形是正方形；
(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)的值是定值，定值为4．
【详解】（1）证明：∵点E是正方形对角线上的点，
∴，，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，作，
∴，
∵点E是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∴矩形是正方形；
（3）解：的值是定值，定值为4．
理由：∵四边形、都是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
7．如图，在正方形中，点是边上的一动点（不与点、重合），点关于直线的对称点为，连接，过点作交于点，交对角线于点．
(1)依据题意补全图形；
(2)如果，求的大小（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析(2)(3)，证明见解析
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：∵点关于直线的对称点为，
∴，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴；
（3）解：如图所示，过点作于点，则
由（1）可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
∴．
8．如图，点E在正方形的边上，且，过点F作，垂足为M．
(1)求证：；
(2)延长至点N，使得求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴,,
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴,即．
（2）证明：∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵
∴,
∵,
∴，
∴,
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形．
9．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一点，连结．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连结接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)求的值；
(3)若F恰为的中点，请求出的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：如图，作于，于．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
（2）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，，
，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
为的中点，
，
在中，，
∵四边形是正方形，
，
，即，
解得，
∴，
由（1）得，设，则．
∴，
解得(负值舍去)，即，
∴．
10．如图，正方形中，点是对角线上任意一点，连接，以点为垂足，过点作，交于点，连接，取的中点，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)若，求的大小（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析(2)(3)，证明见解析
【详解】（1）解：补全图形如下：
（2）解： 四边形为正方形
为的中点，
（3）解：
证明：连接，如图所示：
四边形为正方形
在和中，
，
为的中点，
由（2）可知
为等腰直角三角形，
11．如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求正方形的边长．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴正方形的边长为．
12．如图，正方形的对角线相交于O，平分，于点F，交于点G，
求证：
(1)；
(2)；
(3)若M为得中点，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴；
（3）解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∵点M为的中点，
∴是的中位线，
∴．
13．如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，过点作，交于点．
(1)求证：．
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)作的中点，连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)是等腰三角形，理由见解析(3)
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：如图，连接，
，，，
，
，
，
点是的中点，，
，
．
14．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交直线于点．
(1)求证：；
(2)探究：当线段与正方形的某条边的夹角是时，的度数是多少？直接写出结果______．
【答案】(1)证明见解析(2)或．
【详解】（1）证明：过点作，交的延长线于点，如图，
四边形为正方形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：当线段与边的夹角为时，即，
，
四边形的内角和为，
；
当线段与边的夹角为时，即，
此时点在的延长线上，
如图，设与交于点，
，，
，
又，
．
综上，的度数是或．
故答案为：或．
15．如图，正方形的对角线交于点O，点E是线段上一点，连接，作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，是的角平分线，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：在正方形中，、相交于，
，，
，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：是的角平分线，
，
，，
∴，
，
四边形是正方形，
∴，，
设，
∵，即，
解得，
即，
∵，
，
，
．
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