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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.9 正方形中折叠问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在边长为7的正方形中，为边上一点，为边上一点，连接、，将沿折叠，使点恰好落在边上的处，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
沿折叠，使点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
在中，，
，
，
故选：C．
2．四边形是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上．下列说法：
① ② ③是等边三角形 ④
正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，
，，
沿折叠，使点落在上的点处，
，，
，
在中，，
∴，
；故②正确
在中
∵,
∴,
∴故①不正确
∵
∴,
∴
∴是等边三角形，故③正确；
∴
而
∴
故④正确
故选：C
3．如图，在边长为2的正方形中，E是边上一点，将沿翻折，得到．若为等边三角形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在正方形中，，
由折叠可知，，，，
∴，
过点作，交于，则四边形是矩形，
∵为等边三角形，
∴，则，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
在中，，即：，
解得：，
故选：A．
4．四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，， 则的长为（ ）
A．1.8 B．2 C．2.3 D．
【答案】B
【详解】解：连接、，如图所示：
，
四边形是边长为9的正方形纸片，
，，
设，则，
在中，，即；
，
，
在中，，即；
，即，解得，
故选：B．
5．如图，已知正方形的边长为4，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，则的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】
解：四边形是边长为的正方形，
，，
，
由翻折得：，
，
，
设，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
故选A．
6．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．五边形的周长是44 D．的面积是60
【答案】BCD
【详解】解：B、由折叠可知：，，，
，
在和中，
，
，
，
，
由折叠可得，，
，故符合题意；
C、正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，
∴，选项A错误，不符合题意；
五边形的周长是：，故符合题意；
D、的面积是：，正确，符合题意；
故选：BCD
7．如图，已知是正方形的边中点，将正方形沿翻折，使点落在处，延长交于，若正方形边长为6，则的长是 ．
【答案】2
【详解】解：是正方形的边中点，正方形边长为6，
，
由折叠可得，，，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得，
故答案为：2．
8．如图，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，则 ．
【答案】9
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
作于P，连接，
则四边形是矩形，
∴，，
由翻折知，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：9．
9．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是 ．
【答案】/
【详解】解：连接，由已知，且，
，
，
，
，是的中点，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得，即．
故答案为：．
10．如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与点C，D重合），将沿翻折得到，延长交于点M．当点E是边的三等分点时，的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
由折叠得：，，
∵在正方形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，E是的三等分点，
∴，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得，即，
故答案为：3．
11．如图，现有边长为的正方形纸片，点为边上的一点不与点点重合，将正方形纸片沿折叠，使点落在处，点落在处，交于，连结、，下列结论：
；当为中点时，三边之比为：：；；周长等于．其中正确的是 写出所有正确结论的序号
【答案】①②③④
【详解】解：如图，过点作于点，
四边形为正方形，
，，
，
四边形为矩形，
，，
由折叠可知，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确；
由折叠可知，，
设，则，
为中点，
，
在中，，
，
解得：，
，，
：：：：：：，
即三边之比为：：，故②正确；
由折叠可知，，，
，，
，
，故③正确；
如图，过点作于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，故④正确．
综上，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
12．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ．
【答案】9
【详解】解：四边形是正方形，
，，
作于，连接，
则四边形是矩形，
，
由翻折知，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：9．
13．如图，点在正方形边上，且，点是线段上一动点（点不与点重合），连接，将沿所在直线折叠，点的对应点为，过作于点，当点落在正方形的对角线上时，线段的长为 ．
【答案】或1
【详解】解：，
，，
，
四边形为正方形，
，，
由折叠的性质可得，，，，，
①当点在对角线上时，
如图，以点为原点建立直角坐标系，连接，
则点，，，
设所在直线解析式为，
，
解得：，
所在直线解析式为，
设点的坐标为，
，，
，
解得：或（舍去），
，
，
；
②当点在对角线上时，此时点与点重合，
如图，连接，
，
，
，
四边形为正方形，
，
．
综上，线段的长为或1．
故答案为：或1．
14．如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：，
；
由折叠可知，，，
，，
；
；
四边形是正方形．
（2）四边形是正方形，
，
又，，，
设的长为，则，．
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
，．
15．如图，将边长为9的正方形沿折叠，使顶点C落在边的P点处，点D的对应点为O，连接、，若，
(1)问：线段、相等吗？
(2)求的长；
(3)直接写出四边形的周长．
【答案】(1)，理由见解析(2)
(3)
【详解】（1）解：由折叠可得，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形的边长为9，，
∴，
设，则，
在中，，
即，解得：，
故；
（3）解：设，则，
∵，
∴，即，
解得：，
过点E作于点，则为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
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专题5.9 正方形中折叠问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在边长为7的正方形中，为边上一点，为边上一点，连接、，将沿折叠，使点恰好落在边上的处，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
2．四边形是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上．下列说法：
① ② ③是等边三角形 ④
正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在边长为2的正方形中，E是边上一点，将沿翻折，得到．若为等边三角形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，， 则的长为（ ）
A．1.8 B．2 C．2.3 D．
5．如图，已知正方形的边长为4，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，则的长是（ ）
A． B． C．1 D．
6．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．五边形的周长是44 D．的面积是60
7．如图，已知是正方形的边中点，将正方形沿翻折，使点落在处，延长交于，若正方形边长为6，则的长是 ．
8．如图，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，则 ．
9．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是 ．
10．如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与点C，D重合），将沿翻折得到，延长交于点M．当点E是边的三等分点时，的长为 ．
11．如图，现有边长为的正方形纸片，点为边上的一点不与点点重合，将正方形纸片沿折叠，使点落在处，点落在处，交于，连结、，下列结论：
；当为中点时，三边之比为：：；；周长等于．其中正确的是 写出所有正确结论的序号
12．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ．
13．如图，点在正方形边上，且，点是线段上一动点（点不与点重合），连接，将沿所在直线折叠，点的对应点为，过作于点，当点落在正方形的对角线上时，线段的长为 ．
14．如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，，求的长．
15．如图，将边长为9的正方形沿折叠，使顶点C落在边的P点处，点D的对应点为O，连接、，若，
(1)问：线段、相等吗？
(2)求的长；
(3)直接写出四边形的周长．
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