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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.11 正方形的判定证明题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，直角梯形中，，，交的延长线于点G，E是边上一点，将沿折叠，C点恰好落在上的F处．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，，求的长．
2．如图，在中，是外角的平分线，于点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明．
3．如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接．
(1)当时，求证：；
(2)当，且时，求证：四边形是正方形．
4．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当时，四边形是什么特殊的四边形？并说明理由；
(3)若，，则四边形的面积是________．
5．已知平行四边形，对角线与相交于点O，点P在边上，过点P分别作，垂足分别为E、F，．
(1)如图，若，求的长；
(2)若点P是的中点，点F是的中点．求证：平行四边形是正方形．
6．已知正方形的边长为6，菱形的顶点G、H分别在正方形的边上，顶点E在射线上，．
(1)如图1，当时，求证；菱形是正方形；
(2)如图2，连接，当的面积等于1时，则的长为 ．
7．已知，如图，四边形是菱形，是锐角，于点，于点，在边上取点，使得，在边上取点，使得．连接、、、．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若度，求证：四边形是正方形．
8．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
9．如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为72，，求点F到线段的距离．
10．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为72，，求菱形的面积．
11．如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，，分别是，上的点（点不与端点，重合），且，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)当点在什么位置时，四边形的面积最小？并求四边形面积的最小值．
12．如图1，在矩形中，点分别在边上，，于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
(3)如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长．
13．已知：在中，，点、分别是、的中点，连接并延长交外角的平分线于点．
(1)求证：；
(2)连接，，当满足什么条件时，四边形为正方形？请证明你的结论．
14．如图，在中，G、H分别是、的中点，E、O、F是的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
(1)求证：；
(2)已知，，求证：四边形是正方形．
15．如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足．
(1)______（直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形；
②试说明，若，求的值．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.11 正方形的判定证明题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，直角梯形中，，，交的延长线于点G，E是边上一点，将沿折叠，C点恰好落在上的F处．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又，
∴四边形为矩形，
又，
∴四边形为正方形；
（2）解：由折叠得，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设正方形的边长为a，则，
∵
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，，
∴的长为12
2．如图，在中，是外角的平分线，于点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，四边形是一个正方形，证明见解析（答案不唯一）
【详解】（1）证明：，
．
是外角的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
（2）解：答案不唯一，如：当时，四边形是一个正方形．
证明：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
故当时，四边形是一个正方形．
3．如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接．
(1)当时，求证：；
(2)当，且时，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形，
∴．
∵，
∴；
（2）证明：如图，，，
由（1）可知四边形为平行四边形，
∴，，．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形．
∵，
∴，
∴菱形为正方形．
4．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当时，四边形是什么特殊的四边形？并说明理由；
(3)若，，则四边形的面积是________．
【答案】(1)证明见解析(2)四边形是正方形，证明见解析(3)
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）四边形是正方形．
理由如下：
当时，为等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴菱形是正方形．
（3）∵，，，为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形．
∴菱形的面积．
5．已知平行四边形，对角线与相交于点O，点P在边上，过点P分别作，垂足分别为E、F，．
(1)如图，若，求的长；
(2)若点P是的中点，点F是的中点．求证：平行四边形是正方形．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：连接，如图，
∵ ，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴；
（2）证明：∵P是中点，
∴
又∵ ，
∴．
∴．
∴ ．
∴ ．
∴平行四边形是矩形．
∵ 点P是中点，，点F是的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴平行四边形是菱形．
∴平行四边形是正方形．
6．已知正方形的边长为6，菱形的顶点G、H分别在正方形的边上，顶点E在射线上，．
(1)如图1，当时，求证；菱形是正方形；
(2)如图2，连接，当的面积等于1时，则的长为 ．
【答案】(1)见解析(2)或
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴，
∴菱形为正方形；
（2）解：当点在正方形的边上时，如图，过F作，交的延长线于点M，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
在和中，
∴，
∴，
∵
∴
∴
设则
∴
解得，
∴；
当点E在正方形外部时，如图，
同理可求出
∴，
综上，的长为或，
故答案为：或
7．已知，如图，四边形是菱形，是锐角，于点，于点，在边上取点，使得，在边上取点，使得．连接、、、．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若度，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：如图1，连接，
四边形是菱形，
，，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
同理得，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形；
（2）证明：如图2，由（1）知：四边形是矩形，
，
过点作于，交的延长线于，则四边形是矩形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形．
8．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)6
【详解】（1）解：如图，作于，于，则，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形．
（2）解：的值是定值，定值为6，理由如下：
正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是定值．
9．如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为72，，求点F到线段的距离．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵菱形的对角线和交于点O，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）∵正方形的面积为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积，
∵，
∴，
在中，，
设点F到线段的距离为h，
∴，
即，
∴．
即点F到线段的距离为．
10．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为72，，求菱形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)24
【详解】（1）证明：菱形的对角线和交于点，
，，，
∵，
∴，
即，
又，
四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形是正方形；
（2）解：正方形的面积为72，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积．
11．如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，，分别是，上的点（点不与端点，重合），且，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)当点在什么位置时，四边形的面积最小？并求四边形面积的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)当点E为线段的中点时，四边形的面积最小，最小值为4
【详解】（1）证明：连接，如图1所示．
∵为等腰直角三角形，，D是的中点，
∴，，
在和中
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∵O为的中点，，
∴，且，
∴四边形是正方形；
（2）解：过点D作于，如图2所示．
∵为等腰直角三角形，，
∴点为AC的中点，，
∴ (点E与点重合时取等号)．
∴
∴当点E为线段的中点时，四边形的面积最小，该最小值为4．
12．如图1，在矩形中，点分别在边上，，于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
(3)如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)是等腰三角形，理由见解析(3)
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形；
（2）解：是等腰三角形，
理由如下：
四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
13．已知：在中，，点、分别是、的中点，连接并延长交外角的平分线于点．
(1)求证：；
(2)连接，，当满足什么条件时，四边形为正方形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析(2)当，四边形是正方形，证明见解析
【详解】（1）
证明：，
，
，
，
平分，
，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，
；
（2）
解：当满足，四边形是正方形，
证明：连接，，
，，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
点是的中点，
，
，
，
矩形是正方形．
14．如图，在中，G、H分别是、的中点，E、O、F是的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
(1)求证：；
(2)已知，，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵G、H分别是，的中点，
∴，
∵E、O、F是对角线的四等分点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）
证明：连接，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵G、H分别是，的中点，E、O、F是对角线的四等分点，
∴点O是的中点，
∴为的中位线，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴、O、H三点共线，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴，，
∴为平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
15．如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足．
(1)______（直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形；
②试说明，若，求的值．
【答案】(1)(2)①证明见解析，②72
【详解】（1）解：
平分，平分
故答案为：；
（2）①证明：作于G，如图所示
，
，
四边形是矩形，
平分，平分
在和中，
，
同理可证明：，
，
四边形是正方形；
解：②延长至H，使，如图所示：
在和中，
，
由（1）可知，
又
，
即，
在和中，
，
，
设，
，
，
即，
化简得：
，
；
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