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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.13 四边形中线段最值问题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．
(1)若点E为的中点，求证：F点为的中点；
(2)若点E为的中点，，，求的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________．
【答案】(1)见解析(2)2(3)
【详解】（1）解：证明：如图1中，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
点为的中点；
（2）延长到，使得，连接，
，
，
又，分别是，的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（3）取的中点，连接，，
，
，
，
、、共线时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
2．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
【答案】(1)(2)①；②
【详解】（1）解：．
，，
解得，，
点的坐标为；
（2）①与关于所在直线对称，
，，，
如图，连接，
，
，，
设，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
∴；
②取的中点，连接，．
，点是的中点，
．
，
，
，
由中点坐标可知：点的坐标为，
，
，
，
当点、、三点共线时，的长度最大，
则的最大值，
，，
，
的最大值．
故答案为：．
3．如图，正方形中，点P是线段上的动点．
(1)当交于E时，
①如图1，求证：．
②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长．
【答案】(1)①见解析；②(2)
【详解】（1）
解：①如图1，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，，理由是：
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
如图，连接交于点O，
∵四边形是正方形，边长为4，
∴，，
∴当点P与点O重合时，的最小值为，
∵的最小值为，
∴的最小值为，
∴当点P与点O重合时，，如图，
∴，
∵M为中点，
∴Q为中点，
∴．
4．如图，在平行四边形中，，P是射线上一点，连接，沿将折叠，得．
(1)如图1所示，当时，=_____度；
(2)如图2所示，当时，求线段的长度；
(3)当点P为中点时，点F是边上不与点A，B重合的一个动点，将沿折叠，得到，连接，求周长的最小值．
【答案】(1)85；(2)；(3)
【详解】（1）如图1中，
∵，
∴，
由翻折的性质可知：．
故答案为85．
（2）如图2中，作于H．
在Rt中，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图3中，作于H，连接．
∵，
∴，
∵，
∴＝＝，
由翻折可知：，
∴的周长＝，
∴当的长度最小时，的周长最小，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为．
5．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，．
(1)取的中点，连接，，求的值．
(2)如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：根据题意可知：，
的中点，
，
，
，
．
（2）
解：如图，取的中点E，连接，，，
在中，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
当、、共线时，，
点P到原点的最大距离是．
6．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，
垂直平分，
，
四边形为菱形，
和关于对角线对称，
，
；
（2）解：连接，
和分别是和的中点，点为中点，
，即
当点与菱形对角线交点重合时，最小，
即此时最小，
菱形边长为，，
为等边三角形，，
即的最小值为．
7．如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）证明：∵正方形的对角线，相交于，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）由（1）知：，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（3）解：在中，为中点，
∴，
由（2）知：，
∴，
要长的值最小，则长的值最小，
∵点在上，正方形边长为，，，
∴当时，长的值最小，
此时是的边上的中线，
∴，
∴长的最小值为．
故答案为：．
8．如图，正方形的边长为，点、分别在、上．将该纸片沿折叠，使点落在边上的点处，折痕与相交于．
(1)请判断与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点为的中点，随着折痕位置的变化，请求出周长的最小值．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，交于点，交于点．
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
由折叠性质可知，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
∴．
（2）如图2，取的中点，连接、、，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∵点为的中点，
由折叠的对称性可知，，，，
∵点为中点，为直角三角形，
∴，
∴的周长为：，
由勾股定理得：，
∴当且仅当、、共线时的周长取得最小值，最小值为．
∴周长的最小值为．
9．如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形，证明见解析(3)
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形．
理由：∵∠ADB=90°，又E为边AB的中点，
∴ED=EB，又四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；
（3）连接EF，连接EM交BD于P，
∵四边形DEBF是菱形，
∴点E和点F关于BD轴对称，此时PF+PM的值最小，
∵四边形DEBF是菱形，∠DEB=120°，
∴∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，又BE=2，
∴EM=，即PF+PM的最小值为．
10．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．
(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；
(2)求出△BPE周长的最小值．
【答案】(1)见解析(2)12
【详解】（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．
理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，
∵AP′=AP′，
∴△ABP′≌△ADP′，
∴BP′=DP′，
∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE，
即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小；
（2）解：由（1）得：B P′=DP′，
∴P′B＋P′E＝DE．
∵BE＝2，AE＝3BE，
∴AE＝6．
∴AD＝AB＝8．
∴DE＝＝10．
∴PB＋PE的最小值是10．
∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12．
11．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．
(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；
(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：如图1中，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得．
由（1）可知，，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是菱形，
，关于对称，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接
，
，
点在以为直径的圆上运动，
四边形是菱形，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
过点作于点，过点作于，交于点，交于点．
，，
，
，
，
的最小值，
是等边三角形，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的最小值为．
12．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：四边形是矩形
与相等且互相平分
关于的对称图形为
，
四边形是菱形
（2）解：作于，交于，则如图所示：
沿所在直线折叠，得到
，
在中，
即的最小值为．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC＝OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD＝ED，EC＝OC，
∴OD＝ED＝EC＝OC，
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2．
∵四边形OCED是正方形，
∴∠COD＝90°．
在直角△COD中，由勾股定理得：
OC +OD ＝2 ，
∵OD＝OC，
∴OC＝；
（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
此时PE+PQ的值最小为；理由如下：
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，
∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，
∵AC＝BD＝3，
∴OC＝OD＝，
∴∠DCO＝∠ACD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠OCQ＝60°，
∴∠COQ＝30°，
∴CQ＝，
即PE+PQ的最小值为．
14．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．
（1）求AB的长度；
（2）重叠部分的面积为 ；
（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．
【答案】（1）12cm；（2）cm2；（3）
【详解】解：（1）∵△BCE是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，CD∥AB，
∴∠EDB=∠DBA，
由翻折可知，∠ABD=∠DBF，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB=EC，
∴∠DCB=90°，
∵AD∥BC，
∴BD⊥AF，
∴A，D，F共线，AD=DF=6cm，
∵BA=BF，∠A=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=AF=12cm；
（2）∵∠DBC=90°，BC=AD=6cm，∠C=60°，
∴BD=BC=cm，
∵DE=EC，
∴S△DEB=S△DCB=××6×=cm2；
（3）由平移可知：BC=B′C′，BC∥B′C′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD=B′C′，AD∥B′C′，
∴四边形ADC′B′是平行四边形，
∴C′F=B′D，
作点D关于AB的对称点D′，
则B′D=B′D′，即C′F+B′F=B′D′+B′F，
当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴AG=3，DG===D′G，
过F作FH⊥DG，垂足为H，同理可求：GH=，
∴HD′=HG+D′G=，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDE=∠F=60°，
∴HF=DF=3，
∴D′F==，即C′F+B′F的最小值为．
15．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
【答案】（1）；（2）DG=BF，证明见解析；（3）
【详解】解：（1）如图1，过点作于点，
四边形是边长为2的正方形，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
又，，
，，
，，
设，则，
由勾股定理得，
又，
，
，即，
，
中，，
由勾股定理得：；
（2）①，理由如下：
如图2，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上，
，
在和中，，
分别由勾股定理得：
，，
，
；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，
，为中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
当、、三点共线时，最小，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
此时，，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.13 四边形中线段最值问题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．
(1)若点E为的中点，求证：F点为的中点；
(2)若点E为的中点，，，求的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________．
2．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
3．如图，正方形中，点P是线段上的动点．
(1)当交于E时，
①如图1，求证：．
②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长．
4．如图，在平行四边形中，，P是射线上一点，连接，沿将折叠，得．
(1)如图1所示，当时，=_____度；
(2)如图2所示，当时，求线段的长度；
(3)当点P为中点时，点F是边上不与点A，B重合的一个动点，将沿折叠，得到，连接，求周长的最小值．
5．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，．
(1)取的中点，连接，，求的值．
(2)如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？
6．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
7．如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
8．如图，正方形的边长为，点、分别在、上．将该纸片沿折叠，使点落在边上的点处，折痕与相交于．
(1)请判断与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点为的中点，随着折痕位置的变化，请求出周长的最小值．
9．如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值．
10．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．
(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；
(2)求出△BPE周长的最小值．
11．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．
(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；
(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．
12．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
14．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．
（1）求AB的长度；
（2）重叠部分的面积为 ；
（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．
15．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
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