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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题4.8 平行四边形的动点问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在平行四边形中，，且，，延长至点E，使( ，连接．若动点P从A点出发，以每秒的速度沿射线运动；动点Q从E点出发以每秒的速度沿向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）当t为 秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）使得是等腰三角形时t的值 ．
2．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
3．如图，已知，，，，动点从点出发，在线段上，以每秒1个单位的速度向点运动：动点从点出发，在线段上，以每秒2个单位的速度向点运动，点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为（秒）．
(1)当________秒时，；
(2)当________秒时，；
(3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
4．如图1，将矩形放置于平面直角坐标系中的第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取的中点M，连接，与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点．求证：点P为的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．
5．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示______cm；
(2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
6．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为．
(1)当________时，四边形为平行四边形；
(2)当时，求的值．
7．如图，在四边形ABCD中，，，，，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为．
(1)当时，__________；
(2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别是，，动点P从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以，为邻边构造在线段延长线上一动点，且满足，设点运动时间为秒．
(1)当点运动到线段中点时， ，点的坐标为 ；
(2)当点在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形；
(3)当时，求四边形的周长．
9．如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）．
(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？
(3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
10．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，请判定四边形的形状，并证明．
(2)当时，求t的值．
(3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由．
11．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示 ；
(2)当时，求的值；
(3)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．
(1)用含的代数式表示的长．
(2)当点在边上运动时，求证：．
(3)当点在内部时，求的取值范围．
(4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值．
13．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D．
(1)若设的长为x，则 ， ．
(2)当时，求的长；
(3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由．
(4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由．
14．点为正方形对角线上的一个动点，作射线，于，于，点为中点．
(1)如图①，点在上时，求证：；
(2)如图②，作射线，交所在直线于点，求证：，，，四点所围成的四边形是平行四边形；
(3)在（2）的条件下，若，，求平行四边形的面积．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足．现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A、B的对应点C、D．连接、、．
(1)写出点C、D的坐标并求出四边形的面积；
(2)在y轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点F是射线上一个动点，连接、，请直接写出、、之间的数量关系．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题4.8 平行四边形的动点问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在平行四边形中，，且，，延长至点E，使( ，连接．若动点P从A点出发，以每秒的速度沿射线运动；动点Q从E点出发以每秒的速度沿向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）当t为 秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）使得是等腰三角形时t的值 ．
【答案】 或6 或或3
【详解】解：（1）∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴当时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
当点P在点D左侧，点Q在点C右侧时，，
解得：，
当点P在点D右侧，点Q在点C的左侧，不符合题意舍去；
当点P在点D左侧，点Q在点C左侧时，，
解得：；
当点P在点D右侧，点Q在点C左侧时，，
解得：；
综上分析可知，当t为或6秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
故答案为：或6．
（2）∵，，
∴，
∴；
当时，；
当时，如图所示：
，
根据勾股定理得：，
即，
解得：；
当时，如图所示：
根据勾股定理得：，
∴，
∴；
综上分析可知：当或或3时，是等腰三角形．
故答案为：或或3．
2．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
【答案】 2 或或
【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，，
，，
如图，
，，
，
解得：，
故答案为：2；
（2）如图1，过A点作于M，则四边形是矩形，
，，
，
，
；
①当点P在线段上时，即时，如图3，
，
解得；
②当点P在线段上时，即时，如图4，
，，
，
整理得：，即，
解得：或，
，
或，
综上所述，或或，的面积为，
故答案为：或或．
3．如图，已知，，，，动点从点出发，在线段上，以每秒1个单位的速度向点运动：动点从点出发，在线段上，以每秒2个单位的速度向点运动，点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为（秒）．
(1)当________秒时，；
(2)当________秒时，；
(3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
【答案】(1)3(2)(3)或7
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，，，则，
若，则四边形是平行四边形，
∴，
∵，，则，
∴，解得：，
即：当秒时，；
故答案为：3；
（2）∵，，，
∴，，则为等腰直角三角形，
∴，
作，则为等腰直角三角形，
∴，则，即：，
若，则，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，则，
∴，解得：，
即：当秒时，；
故答案为：；
（3）∵，，，，
∴，，，，则，
∵，，则，
当时，，
若，则四边形是平行四边形，
即：，解得：；
当时，，
若，则四边形是平行四边形，
即：，解得：；
综上，当或7时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
4．如图1，将矩形放置于平面直角坐标系中的第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取的中点M，连接，与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点．求证：点P为的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）如图，连接，
∵与关于所在直线对称，
∴，
∴，
∴，
又为中点，
∴，
∴，
∴，
又在中，，
即，
∴，
即，
∴
又
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴点P为的中点；
（3）如图，连接，取的中点，
连接、．
由（2）知，点P坐标为
∵，，
∴，则，
∴点Q的坐标为，
又∵，
∴，
三角形两边之和大于第三边，即，
∴当、、三点共线时，，此时的长度最大，
则的最大值．
5．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示______cm；
(2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
（2）解：过点作，则：，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况：
①当四边形为平行四边形时：则：，
∴，
解得：；
②当四边形为平行四边形时，则：，
∴，
解得：；
综上：或．
6．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为．
(1)当________时，四边形为平行四边形；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)(2)当时，的值为秒或秒
【详解】（1）∵，
∴
当时，四边形为平行四边形；
∵，
∴，
解得，
即当时，四边形为平行四边形；
故答案为：
（2）①如图1，
过点A作交于点E，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴,
在中，，
即，
解得，
即，
解得，
②如图2，过点D作交于点E，
同理可得，，即，
解得，
∵P运动的总时间为，Q运动的总时间为，
∴，
综上，当时，的值为秒或秒
7．如图，在四边形ABCD中，，，，，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为．
(1)当时，__________；
(2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值．
【答案】(1)(2)或(3)或
【详解】（1）解：当时，，
又∵，，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
过点作，
∵，，则，，
∴，四边形是矩形，
∴，则，
∴，则，
由题意可知，，，
当时，点在点右侧，则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即：，解得：；
当时，点与点重合，符不符合题意；
当时，点在点左侧，则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即：，解得：；
综上，当或时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形；
（3）如图，当对称点落在线段上时，根据题意，得平分，
此时，由（2）可知，
∵，，平分，
∴，
∴，即：，
解得：；
如图，当对称点落在线段的延长线上时，根据题意，得的反向延长线平分，此时，由（2）可知，
∵，，平分，
∴，则，
∴，
∴为等边三角形，
∴，即：，
解得：，
综上，动点M关于直线对称的点恰好落在直线上时，或．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别是，，动点P从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以，为邻边构造在线段延长线上一动点，且满足，设点运动时间为秒．
(1)当点运动到线段中点时， ，点的坐标为 ；
(2)当点在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形；
(3)当时，求四边形的周长．
【答案】(1)； (2)见解析(3)四边形的周长为或
【详解】（1）解：点，的坐标分别是，，
，，
点运动到线段中点，
，
则，
，
，
，
则点的坐标为，
故答案为： ；．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形．
（3）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
当点C在点O上方时，
则，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，，，
，
平行四边形的周长为：．
当点在点O下方时，如图：
则，
，
，，
在中，由勾股定理得：
，
在中，，，
，
平行四边形的周长为：，
综上所述，四边形的周长为：或．
9．如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）．
(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？
(3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当或时(2)当或时(3)当的值为或或时，是等腰三角形
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
当从运动到时，
∵，
，
∴，
解得：；
当从运动到时，
∵，
，
∴，
解得：，
∴当或时，四边形是平行四边形；
（2）解：若点、分别沿、运动时，
，
即，
解得：；
若点返回时，，
则，
解得，
故当或时，以，，，为顶点的梯形面积等于；
（3）解：当时，
如图，作于，则，
∵，
由得，
解得：；
当时，，
∵，
∴，
解得：；
当时，
∵，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无实根，
当点从向运动时，观察图形可知，只有，
由题意：，
解得：，
综上所述，当的值为或或时，是等腰三角形．
10．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，请判定四边形的形状，并证明．
(2)当时，求t的值．
(3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)四边形是平行四边形．理由见解析
(2)或时，
(3)存在，当为4或者或者时，为等腰三角形
【详解】（1）解：结论：四边形是平行四边形．理由：根据题意有：，，
∵，，
∴，，
当时，，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）当，四边形PQCD是平行四边形时，
即有：，则，解得，；
当时，四边形PQCD是等腰梯形时，
过P点作于M，过D点于N，如图，
根据，，，可得四边形是矩形，
则，，
即，，
∵梯形为等腰梯形，于M，
∴，，
根据（1）有，，，，
∴，
∴，解得，
综上所述：或时，．
（3）存在，理由如下：
根据（1）有，，，，
根据（2）有，
当为等腰三角形，且时，过D点于H，如图，
根据（2）可知：时，
∵为等腰三角形，∴，
∴，解得，即此时；
当为等腰三角形，且时，如图，
∴，解得，即此时；
当为等腰三角形，且时，
过D点于P，过Q点于G，如图，
根据（2）同理可知四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，∴，
在中，，
∴，解得：，
综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形．
11．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示 ；
(2)当时，求的值；
(3)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)或．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵点从点出发，以速度沿射线运动，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点作于，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴ ，，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
当为边时，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴，
当为对角线时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的值为或．
12．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．
(1)用含的代数式表示的长．
(2)当点在边上运动时，求证：．
(3)当点在内部时，求的取值范围．
(4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)或；(2)见解析；(3)；(4)1或．
【详解】（1）解：，，，
，
，
．
四边形为平行四边形，
．
①当时，，
②当时，
（2）证明：连接，如图，
在中，为对角线的中点，
经过点，，
四边形为平行四边形，
，
．
在和中，
，
，
（3）解：①当点与点重合时，如图，
由题意得：为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
②当点落在边上时，如图，
由题意得：为等边三角形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
．
．
在和中，
，
，
，
，
，
，
当点在内部时，的取值范围为：
（4）①当点在边上运动时，经过点时，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②当点在边上运动时，如果，则，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，
，
，
．
综上，当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为1或．
13．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D．
(1)若设的长为x，则 ， ．
(2)当时，求的长；
(3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由．
(4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)(2)2(3)(4)3
【详解】（1）解：是边长为6的等边三角形，
设，则，
故答案为∶；
（2）当时，
是等边三角形，
，
解得∶，
；
（3），理由如下∶
，
，
又，
，
；
（4）的长度不变．
连接，如图：
，
，且
四边形是平行四边形
14．点为正方形对角线上的一个动点，作射线，于，于，点为中点．
(1)如图①，点在上时，求证：；
(2)如图②，作射线，交所在直线于点，求证：，，，四点所围成的四边形是平行四边形；
(3)在（2）的条件下，若，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)35
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）证明：∵，，
∴．
∴，
∵点O为中点．
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图：
∵，，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足．现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A、B的对应点C、D．连接、、．
(1)写出点C、D的坐标并求出四边形的面积；
(2)在y轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点F是射线上一个动点，连接、，请直接写出、、之间的数量关系．
【答案】(1)，，
(2)存在，点E的坐标为或
(3)或
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，即，且轴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积；
（2）存在；
设，
①当点E在y轴正半轴时，如图1，过点D作轴于H，则，
∵，
∴，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
解得：或（舍去），
∴此时点E的坐标为；
②当点E在y轴负半轴时，如图2，
则，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
解得：，
∴此时点E的坐标为；
综上，点E的坐标为或；
（3）当点F在线段上时，作，如图3，
∵，
∴，
∴，，
∴；
当点F在线段的延长线上时，作，如图4，
∵，
∴，
∴，，
∴；
综上，若点F是射线上一个动点，则或．
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