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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题4.5 平行四边形的性质证明专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任作直线分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)若，，，求四边形的周长．
2．已知，如图，平行四边形中，，分别是和的平分线，，相交于点．
(1)求证：．
(2)试判断与有何数量关系、并说明理由．
3．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为12，求四边形的周长．
4．在平面四边形中，点E是上任意一点，延长交的延长线于点F．
(1)在图1中，当时，求证：是的平分线；
(2)根据（1）的条件和结论，如图2，若，点G是的中点，请求出的度数．
5．如图，在平行四边形的边、上分别截取、，使得，连接，点M、N是线段上两点，且，连接、.
(1)求证：；
(2)若，，求的大小.
6．将平行四边形纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．
(1)求证：；
(2)若的面积等于8，，试求的面积．
7．如图，在平行四边形中，、分别平分、，交于点E、G．
(1)求证：，；
(2)过点E作，垂足为F．若的周长为56，，求的面积．
8．如图，E是平行四边形内一点，，，．
(1)求证：；
(2)求证：是为等腰直角三角形；
(3)判断的数量关系并说明理由．
9．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为12，求四边形的周长．
10．如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
11．如图，在 平行四边形中，平分 ，交 于点 ，，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
12．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
13．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
14．如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E、．
(1)求证：≌；
(2)若与交于点O，求证：．
15．如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别与交于点．
(1)求证：；
(2)记四边形的面积为，平行四边形的面积为，用等式表示和的关系．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题4.5 平行四边形的性质证明专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任作直线分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)若，，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析(2)15
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
∴
，
四边形的周长．
2．已知，如图，中，，分别是和的平分线，，相交于点．
(1)求证：．
(2)试判断与有何数量关系、并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，分别是和的平分线，，
∴，
∴，
即；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
同理，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
3．如图，的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为12，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析(2)24
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的周长为12，
，
四边形的周长为24．
4．在平面四边形中，点E是上任意一点，延长交的延长线于点F．
(1)在图1中，当时，求证：是的平分线；
(2)根据（1）的条件和结论，如图2，若，点G是的中点，请求出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图1，，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴是的平分线．
（2）如图2，连接，
∵在平行四边形中，，
，，
，
，
又，
∴是等腰直角三角形，即：，
由（1）可得：，
，
又∵是的中点，
，，，
，
∴，，
∴，
是等腰直角三角形，
∴．
5．如图，在平行四边形的边、上分别截取、，使得，连接，点M、N是线段上两点，且，连接、.
(1)求证：；
(2)若，，求的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．将纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．
(1)求证：；
(2)若的面积等于8，，试求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，
由折叠可知
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图，连接，
由（1）知，，
，
，
，即，
，
，
．
7．如图，在中，、分别平分、，交于点E、G．
(1)求证：，；
(2)过点E作，垂足为F．若的周长为56，，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)84
【详解】（1）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）
如图，过E作于H．
∵，平分，
∴．
∵的周长为56，
∴，
∴．
8．如图，E是平行四边形内一点，，，．
(1)求证：；
(2)求证：是为等腰直角三角形；
(3)判断的数量关系并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长交于F，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：，
理由如下：由（2）可得是等腰直角三角形，
∴，，
由（2）可得，
∴，
∵，
∴．
9．如图，的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为12，求四边形的周长．
【答案】(1)见详解(2)24
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴四边形的周长为24．
10．如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
11．如图，在 中，平分 ，交 于点 ，，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴；
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴是直角三角形，且；
（2）解：∵，，，
∴，
在中，由勾股定理得：．
12．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解．(2)13
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
13．如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)18
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
由（1）知，
，
，
，
即的周长为18．
14．如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E、．
(1)求证：≌；
(2)若与交于点O，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）证明：，
，即，
，，
，
，
；
（2）连接，交于点O，
≌，
，
∴，
，
四边形是平行四边形，
15．如图，的对角线交于点过点且分别与交于点．
(1)求证：；
(2)记四边形的面积为，平行四边形的面积为，用等式表示和的关系．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
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