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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题4.7 平行四边形的折叠问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形纸片，，．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，为折痕，交于点K．若，则 °．
3．如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ．
4．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
5．如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ．
6．如图，在四边形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，EF为折痕，FH交CD于点K．若∠CKF＝35°，则∠A+∠GED＝ °．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边中点，点E是BC边上一点，将△ADE沿DE折叠，得到△FDE，使△FDE与△BDE重叠部分的面积是△AEB面积的，若AC＝3，BC＝6，则线段BE的长为 ．
8．如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．
(1)请说明：；
(2)请说明：．
9．如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
10．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
(1)求证：△ABD≌△EOD；
(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(3)如图2，将图中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
11．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF．
(1)求证：△ABE≌△；
(2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
12．已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点.
（1）求证：；
（2）连接，求证：.
13．如图，将□ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AD上.
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若，求四边形ABFE的周长.
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′＝32°．
（1）求∠D′EF的度数；
（2）求线段AE的长．
15．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB
外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题4.7 平行四边形的折叠问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，
∵∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，
∴AC＝1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，
，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝，，
∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，
∴A′D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，
∴，
∴＝
∴点与点B到DP的距离相等，
∴ A′B//DP
∵A′B＝DP，
∴四边形A'BPD是平行四边形
∴BP＝A'D＝，
故选：B
2．如图，四边形纸片，，．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，为折痕，交于点K．若，则 °．
【答案】140
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
根据翻转折叠的性质可知，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
故答案为：140．
3．如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ．
【答案】2或
【详解】解：如图1，四边形是平行四边形，
∵，点E为的中点，
∴，
由折叠得，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴ ；
如图2，四边形是平行四边形，作于点G，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴点F与点G重合，
∴，
综上所述，线段的长为2或，
故答案为：2或．
4．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案：．
5．如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：方法一、如图，延长交于G，延长，交于点M，
∵将沿折叠，得到，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
方法二、延长和相交于点H，
∵折叠，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
6．如图，在四边形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，EF为折痕，FH交CD于点K．若∠CKF＝35°，则∠A+∠GED＝ °．
【答案】145
【详解】解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
根据翻转折叠的性质可知，∠AEF＝∠GEF，∠EFB＝∠EFK，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，∠AEF＝∠EFC，
∴∠GEF＝∠AEF＝∠EFC，∠DEF＝∠EFB＝∠EFK，
∴∠GEF﹣∠DEF＝∠EFC﹣∠EFK，
∴∠GED＝∠CFK，
∵∠C+∠CFK+∠CKF＝180°，
∴∠C+∠CFK＝145°，
∴∠A+∠GED＝145°，
故答案为145．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边中点，点E是BC边上一点，将△ADE沿DE折叠，得到△FDE，使△FDE与△BDE重叠部分的面积是△AEB面积的，若AC＝3，BC＝6，则线段BE的长为 ．
【答案】
【详解】①如图1，设AB交EF于O,当DO=AB，即O点为BD的中点时，△FDE与△BDE重叠部分的面积是△AEB面积的，
作DM⊥AE于点M，DN⊥FE于点N，连接FB，
∵AC=3，BC=6，∠C=90°，
∴AB=，
∵D是AB边的中点，
∴AD=BD=，S△ADE=S△BDE，
∵∠AED=∠FED，
∴在△DME与△DNE中
∴△DME≌△DNE，
∴DM=DN，
∵
∴，即AE=2OE，
∵AE=FE，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DFBE为平行四边形，
∴FD=AD=BE=；
②如图2，当DF平分线段BE时，满足条件，
∵BD=AD，OE=OB，
∴AE∥OD，
∴∠AED=∠EDO=∠ADE，
∴AE=AD=，
在△ACE中，CE=，
∴BE=BC-CE=6-=，
综上BE的值为，
故答案为：．
8．如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．
(1)请说明：；
(2)请说明：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：∵折叠纸片使点落在上的点处，
，
折叠纸片使点落在上的点，
，
，
，
．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质的，，
，
．
9．如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：作于，
，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
平行四边形的面积为．
10．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
(1)求证：△ABD≌△EOD；
(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(3)如图2，将图中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OG=1
【详解】（1）证明：∵在△AOB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°
∴∠ABD=180°-∠OAB-∠AOB=180°-90°-30°=60°，
又∵△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，即∠ABD=∠EOD，
又∵D是OB的中点，
∴OD=BD，
又∵∠EDO=∠ADB（对顶角相等）
∴△ABD≌△EOD（ASA）
（2）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴DO=DA=DB，
又∵∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵△ABD≌△EOD，
∴△EOD也是等边三角形，
∴∠OED=60°，
由（1）得∠EOD=∠ABD=60°，
∴，即，
∵△BOC是等边三角形，
∴∠C=∠OED=60°，
∴，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（3）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，
在Rt△ABO中，∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，
∴，
∴，
在Rt△OAG中，，
，
解得：x=1，
∴OG=1．
11．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF．
(1)求证：△ABE≌△；
(2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析(2)平行四边形，证明见解析
【详解】（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，
∴CD=，CE=AE，DF=，∠CEF=∠AEF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，AB=CD，
∴AB=，
∵，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AF=CE，
又AD=BC，
∴，
∴DF=BE，
∴BE=，
在△ABE和△中，
，
∴△ABE≌△（SSS）；
（2）四边形AECF是平行四边形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
∴∠5=∠6．
∴∠4=∠6．
∴AF=AE．
∵AE=EC，
∴AF=EC．
又∵，
∴四边形AECF是平行四边形．
12．已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点.
（1）求证：；
（2）连接，求证：.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【详解】证明：（1）由折叠可知：
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∴
（2）如图，
由（1）知BE=DE，
∴AE=C'E，
∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，
同理：∠ADB=90°-∠BED，
∵∠AEC'=∠BED，
∴∠DAC'=∠ADB，
∴AC'∥BD.
13．如图，将□ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AD上.
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若，求四边形ABFE的周长.
【答案】（1）见解析；（2）12.
【详解】（1）证明：
∵将 □ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，
∴∠CFE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
∴AE∥BF，∠B=∠CFE，
∴AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形；
（2）∵将 □ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，
∴DE=EF，
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴EF=AB=ED，
∵BC=6，
∴AD=6，
∴AE+AB=AE+ED=AD=6，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+EA=12，
故四边形ABFE的周长为：12.
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′＝32°．
（1）求∠D′EF的度数；
（2）求线段AE的长．
【答案】（1）∠D'EF＝76°；（2）.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB.
∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，
∴∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，
∴∠D'EF＝∠EFB，
∵∠BGD′＝32°
∴∠D'GF＝148°
∵∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G＝360°，
，
∴∠D'EF＝76°；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，
设AE＝x，
∵AD∥BC，
∴∠HAD＝∠B＝60°，且EH⊥AB，
∴
∵点D'是AB中点，
∴
∵HE2+D'H2＝D'E2，
∴
∴x＝，
∴.
15．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB
外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
【答案】（1）见解析；（2）OG=1.
【详解】解：（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO="DA" ．
∴∠DAO=∠DOA ="30°," ∠EOA="90°" ．∴∠AEO ="60°" ．
又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO =60°．∴BC∥AE．
∵∠BAO=∠COA =90°，∴OC∥AB．
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）设OG=x，由折叠可知：AG=GC=8－x．
在Rt△ABO中，∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8，∴OA=OB·cos30°=8×=．
在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，即，解得，．
∴OG=1．
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