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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题6.10 反比例函数综合之四边形专练（15道）
（平行四边形、特殊四边形）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，已知三点，直线与反比例函数上在第一象限的图象交于点，连接．
(1)求直线和反比例函数的表达式．
(2)点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，若以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标．
【答案】(1)，
(2)或或或
【详解】（1）设直线的解析式为，
把点代入得，
，
解得：，
故直线的解析式为，
将点代入得，解得，
故点，
将代入得，
故反比例函数的表达式为．
（2）设点，
∵以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，
故或，
解得或或或，
∴或或或．
2．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数，在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式：
(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为；
(2)存在，或或
【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，
则，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标为代入，
得，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：如图所示，过点作轴于点，
同（1）可得，
∴
∴
设直线的解析式为，则
解得：，
∵点为直线上的一动点（不与点重合），点在轴
设，，又，
①当为对角线时，
解得：， 则
当为对角线时，
解得：， 则
当为对角线时，
解得：，则
综上所述：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
3．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求不等式的解集；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，点坐标为或或
【详解】（1）解：把代入一次函数得，解得，
∴，
把代入反比例函数得，解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为，
∴联立表达式，得：，
整理得：，
，
∴或，
∴，，
∵，
∴点横坐标，
∴结合图象观察，得不等式的解集为或；
（3）解：①当与为邻边，时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，
∴点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
②当与为邻边时，点先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点，
∴点也先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点，即；
③当与为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，
∴点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即．
综上，存在，点坐标为或或．
4．一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点．
(1)求出，的值；
(2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；6
(2)
(3)或
【详解】（1）把点坐标代入一次函数解析式可得：，
，
点在反比例函数图象上，
；
（2）当时，，解得，
当时，，
一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
为线段上的点，
∴设，则，
则有，
解得，或舍去
；
∴；
（3）设点，，
由（2）可知：点，点，
∴，
由题意知，为菱形的边，
则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
由平移规则和得：
或，
解得：或，
即点的坐标为：或或或．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标；
(3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或或
【详解】（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，过点P作轴于点E，
设点P的坐标为，则，
对于，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∵，的面积等于10，
∴，
解得：（舍去），
∴点P的坐标为；
（3）解：设点D的坐标为，点Q的坐标为，
若以为对角线时，
，解得：，
∴点Q的坐标为；
若以为对角线时，
，解得：，
∴点Q的坐标为；
若以为对角线时，
，解得：，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或．
6．如图，一次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于B，D两点，且．
(1)求的值；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)若P是x轴上一点，轴交一次函数的图象于点M，交反比例函数的图象于点N，当以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【详解】（1）令，得到，
解得，
∴；
令，得，
∴；
∵，则点为的中点，设，
∴，，
解得：，
∴的坐标为，
∵点在上，
∴；
（2）由（1）知，，
则，整理，得，
解得，，
当时，，
∴；
根据图像可得，时，的图象在的上方，
∴x的取值范围是或；
（3）设，则，点，，
∵轴，
∴，
要使得O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，则，
∴，
当时，整理，得，
解得，
当时，整理，得，
解得，
∴点P的坐标为或或或．
7．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)求的面积；
(3)设直线交轴于点，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数关系式为，一次函数的关系式为；
(2)；
(3)或或或．
【详解】（1）解：把代入 得，，
∴，
∴反比例函数关系式为，
把代入得，，
∴，
将，代入得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：连接，设直线与轴的交点为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在中，令，得，
∴，
设，，而，
以为对角线时，的中点重合，
∴ ，
解得或，
∴或；
以为对角线，同理可得，
，
解得或，
∴或；
以为对角线，同理可得，
，
解得或，
∴或；
综上，点的坐标为或或或．
8．如图，直线经过点与y轴正半轴交于B，在x轴正半轴上有一点D，且．过D点作轴交直线于C点，反比例函数经过点C．
(1)求b和反比例函数的解析式；
(2)将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形为菱形时，求出m的值，并判断点P是否在反比例函数图象上；
(3)点E是x轴上一点，且是等腰三角形，求所有点E的坐标．
【答案】(1)，
(2)反比例函数图象上存在点P，使四边形为菱形，此时点
(3)符合条件的点E坐标为或或或
【详解】（1）解：（1）∵直线经过，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
把代入，
∴，
∵反比例函数经过点C，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）如图，
∵将点B向右平移m个单位长度得到点P，
∴．
∵当四边形是菱形时，，，轴，
∴点P和点B关于对称，即点P和点B关于直线对称
∴点P的坐标为，
∵当时，，
∴点P在反比例函数图象上，
∴反比例函数图象上存在点P，使四边形为菱形，此时点．
（3）设．
∵，，
∴，，，
是等腰三角形，分三种情况：
①，则，
∴或，
∴符合条件的点E坐标为或；
②，则．
此时或（舍去）．
∴符合条件的点E坐标为；
③，则．
此时
符合条件的点E坐标是．
综上所述，符合条件的点E坐标为或或或．
9．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为．其中．
(1)四边形是____．(填写四边形的形状)
(2)当点A的坐标为时，四边形是矩形，求的值．
(3)试探究：随着k与m的变化，四边形能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)平行四边形
(2)
(3)不能，理由见解析
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数 的图象分别交于A、C两点，
∴由反比例函数的对称性可知点A与点C关于原点对称，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）解：∵，且A在反比例函数图象上，
∴，即，
∴．
∵ 四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：不能，理由如下：
∵当四边形为菱形时，则．
∵在x轴上，
∴在y轴上，
而反比例函数y=与y轴没有交点，
则随着k与m的变化，四边形不能成为菱形．
10．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点．
(1)点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)动点在第一象限内，且满足；
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；或或或．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：，；
（2）由题意知，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴的坐标为；
由知，点在直线上，设直线交轴于，
当时，若点在第一象限，
∴，
∴，
当点在第四象限时，不符合题意，舍去，
当时，
同理得，，，
当时，点，
则点与关于对称，
∴，
综上，所有点的坐标为或或或．
11．如图1，直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数表达式．
(2)将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，点的坐标为或或
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴ ，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）①∵直线与轴交于点，
当时，得，
∴，
∵将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，且点恰好落在反比例函数的图像上， 轴，
当时，得：，
∴，
∴，
∴，
当时，得：，
∴，，
∴，
∴；
②在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
理由：
设，
由①知：，，，
可分以下三种情况：
当且，以为对角线时，
即将线段向右平移个单位再向上平移个单位得到线段，此时可得平行四边形，
此时点的坐标为；
当且，以为对角线时，
即将线段向右平移个单位得到线段，此时可得平行四边形，
此时点的坐标为；
当且，以为对角线时，
即将线段向左平移个单位得到线段，此时可得平行四边形，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点的坐标分别为，点在第四象限内．
(1)点的坐标为 ；
(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向上平移，所得四边形记为正方形． 若秒后，点、的对应点、正好落在某反比例函数在第一象限内的图像上，请求出此时值以及这个反比例函数的表达式；
(3)在（2）的情况下，是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)此时的值为 ；反比例函数解析式为；
(3)存在，满足要求点的坐标为或或
【详解】（1）如图，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，则 ，
点的坐标为，的坐标为，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
所以点的坐标为；
（2）由题意，得正方形沿轴向上平移了个单位长度．
点的坐标为，的坐标为，
和的坐标分别为，，
设点，落在反比例函数的图像上，
则，解得，
所以解得，
即这个反比例函数的表达式为；
（3）存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以，，，四点为定点的四边形是平行四边形．
设，由（2）知和点的坐标分别为，，
当为平行四边形的边时，则∥，，
点的坐标为或，
把代入中，得，解得
点的坐标为，
把代入中，得，解得
点的坐标为；
当为平行四边形的对角线时，则的中点坐标为，
的中点坐标为，
点的坐标为，把点坐标带入中，得，解得，
点的坐标为，
综上所述，满足要求的点的坐标为或或
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q．
(1)求a、k的值；
(2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接．
①求的面积；
②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②，
【详解】（1）解：（1）把点代入解得，，
把代入解得，；
（2）∵，
∴反比例函数解析式为．
①设B的坐标，点A的坐标为，
∵，，
∴，把代入得：，
∴点，
∵一次函数的图象与y轴交于点Q．
∴Q的坐标为，
过点A作轴，交PQ于点H．则点H坐标，
∴，
∴，
②设点，，
∵，，点M、N、P、Q构成平行四边形；
当和为对角线时，如下图：
点可看做是将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
故点也是相应关系，即点向右平移个单位，再向上平移个单位，如下图：
故点的纵坐标为点纵坐标加：，
即，
M的坐标为；
当和为对角线时， 如下图：
点可看做是将点先再向下平移个单位，向左平移个单位得到，
故点也是相应关系，即点是点再向下平移个单位，再向左平移个单位得到，如下图：
故点的纵坐标为，，
，
故此时点坐标为：；
综上，点的坐标为：，，
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积；
(3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)3
(3)点的坐标为或．
【详解】（1）
解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，
，
，
，
反比例函数的表达式为，
解得，，
；
（2）直线交反比例函数的图象于另一点，
点与点关于原点对称，
，
，；
过作轴，过作于，过作于，
，，
的面积四边形的面积的面积；
（3）
，；
中点的坐标为，，
设点，点，
以，，，为顶点的四边形是菱形，
①当为菱形的对角线时，，，
，
，
解得，
；
②当为菱形的对角线时，，，
，
解得或（此时，点在直线上，不合题意舍去）
；
③当为菱形的对角线时，，
，
此方程组无实数根，这种情况不存在，
综上所述，点的坐标为或．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当时，根据图象直接写出自变量x的取值范围；
(3)我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”．设C是第一象限内反比例函数图象上一点，点在x轴上方，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
(2)或
(3)当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，，或或
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为.
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴.
将点代入得
解得
∴一次函数的表达式为；
（2）解：或；
当时，，即一次函数的图象在反比例函数图象的下方，观察图象可知，此时x的取值范围是或.
（3）解：设
①如图①，当为边，为对角线时，由题意知，
∴
∴，
整理得，
∴或（舍），
∴
∵四边形为平行四边形，
∴即
解得
∴；
②如图①，当为边，为对角线时，
同①可得.
∵四边形ABDC为平行四边形，
∴即
解得
∴
③如图②，当为边，为对角线时，由题意得.
联立解得或
∴.
∵四边形为平行四边形，
∴
即解得
∴.
综上所述，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，，或或
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专题6.10 反比例函数综合之四边形专练（15道）
（平行四边形、特殊四边形）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，已知三点，直线与反比例函数上在第一象限的图象交于点，连接．
(1)求直线和反比例函数的表达式．
(2)点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，若以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标．
2．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数，在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式：
(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求不等式的解集；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点．
(1)求出，的值；
(2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标；
(3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
6．如图，一次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于B，D两点，且．
(1)求的值；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)若P是x轴上一点，轴交一次函数的图象于点M，交反比例函数的图象于点N，当以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
7．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)求的面积；
(3)设直线交轴于点，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
8．如图，直线经过点与y轴正半轴交于B，在x轴正半轴上有一点D，且．过D点作轴交直线于C点，反比例函数经过点C．
(1)求b和反比例函数的解析式；
(2)将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形为菱形时，求出m的值，并判断点P是否在反比例函数图象上；
(3)点E是x轴上一点，且是等腰三角形，求所有点E的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为．其中．
(1)四边形是____．(填写四边形的形状)
(2)当点A的坐标为时，四边形是矩形，求的值．
(3)试探究：随着k与m的变化，四边形能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点．
(1)点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)动点在第一象限内，且满足；
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
11．如图1，直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数表达式．
(2)将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点的坐标分别为，点在第四象限内．
(1)点的坐标为 ；
(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向上平移，所得四边形记为正方形． 若秒后，点、的对应点、正好落在某反比例函数在第一象限内的图像上，请求出此时值以及这个反比例函数的表达式；
(3)在（2）的情况下，是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q．
(1)求a、k的值；
(2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接．
①求的面积；
②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积；
(3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当时，根据图象直接写出自变量x的取值范围；
(3)我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”．设C是第一象限内反比例函数图象上一点，点在x轴上方，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点的坐标．
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