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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题6.11 反比例函数最值问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P是y轴上一点，若，求点P的坐标；
(3)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，
∴，
∴．
将代入，
得
∴反比例函数的表达式为
联立，
解得或，
∴；
（2）设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴点坐标为或；
（3）解：如图，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．
当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，
此时的面积最小．
联立
整理得
令
解得．
∵直线经过第二、三、四象限，
∴，即．
联立，
解得
∴，
∴．
2．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵点在一次函数图象上，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接，
∴，
当，，三点共线时，的值最小，即，
∴设直线的解析式为：，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴点．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，C，B为x轴上一动点，连接．已知当点B的坐标为时，轴，且
(1) ，
(2)将一次函数的图象向左平移个单位长度，得到的新的一次函数图象与只有一个交点，求d的值．
(3)当最小时，求点B的坐标．
【答案】(1)；(2)(3)
【详解】（1）解：点B的坐标为，轴，且
把点代入，得，
把代入反比例函数为常数且)，得，
故答案为：10；9；
（2）由（1）可得反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
设平移后的解析式为
联立
得
∵两图象只有一个交点，
，
（舍）
．
（3）联立两个函数的表达式得：
解得：或，
∴点的坐标为；
如图，作点关于轴的对称点连接，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线时，有最小值，
设直线的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的值；
(3)点P是坐标轴上一点，若求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或或或
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，
∴，
∴．
将代入，
得
∴反比例函数的表达式为
联立
解得或
∴
（2）解：如图，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．
当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，
此时的面积最小．
联立
整理得
令
解得．
∵直线经过第二、三、四象限，
∴，即．
联立，
解得
∴，
∴．
∵
∴，
；
（3）解：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为．
如图，过点A作x轴的垂线，垂足为点M．
∵，
∴
∵，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或；
②当点P在y轴上时，设点P的坐标为．
如图，过点A作y轴的垂线，垂足为点N，
∵
∴
∵，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或
综上所述，点P的坐标为或或或．
5．在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)当时，请你直接写出的取值范围．
(3)若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
【答案】(1)(2)或，(3)
【详解】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点作轴于点，
∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
（2）解：联立方程组得，
解得， ，
∴
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
（3）解：作点关于轴的对称点，连接，交x轴于点，连接交x轴于点M，则，OM=1，
连接，则的值最小，设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，
∴
∴
∴
，
∴
．
6．如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设点P是y轴上的一个动点，当△APB的周长最小时，请求出点P的坐标；
(3)将直线向下平移t个单位后，与双曲线有唯一交点，t的值为 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)或；
【详解】（1）解：根据题意，
把点代入，则
，解得；
∴，
把代入，则
，
∴；
把点、代入，则
，解得，
∴；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
∴，
∴，
此时，的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
当时，，
∴．
（3）解：根据题意，把向下平移t个单位，则，
联合与，则
，
整理得：，
∵与有唯一交点，
∴，
解得：或．
7．如图，函数的图象与函数的图象交于点，．
(1)求，的值和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标．
【答案】(1)a，b的值分别为6，3，反比例解析式为
(2)或
(3)P点坐标为
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴，，
将点代入得：，即，
∴反比例解析式为，
综上所述：a，b的值分别为6，3，反比例解析式为；
（2）由图象可知：当或时，一次函数对应的函数值比反比例函数对应的函数值大，
即不等式的解集是：或；
（3）作A关于y轴对称点，连交y轴于点P，连，
此时最小，且，
由的长为定值可知，此时周长最短，
设直线为直线的解析式是：，
把代入得：，
解得，
∴直线为直线的解析式是：，
当时，
∴，
故P点坐标为时周长最小．
8．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图像上．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积．
【答案】(1)1；(2)
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
将代入得，
∴．
（2）解：设，
当时，线段最短，
由（1）知，，
∴，
，
，
由勾定理得，
∴，
整理得：
解之得：（舍），．
∴，
∴，
，
∴．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，连接．反比例函数的图象经过线段的中点D，并与分别交于点E、F．一次函数的图象经过E、F两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数的解析式为(2)
【详解】（1）解：四边形为矩形，
∴，，，
．
∴由中点坐标公式可得点坐标为，
反比例函数的图象经过线段的中点，
，
∴反比例函数表达式为．
在中，令，则；令，则．
∴点和点F的坐标为，．
把，代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．如图．
由坐标可得对称点，
设直线的解析式为，代入点、坐标，得：，
解得：．
∴直线的解析式为，
在中，令，则．
点坐标为．
10．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，连接，一次函数与x轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，(2)的面积为8(3)
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
将代入，
∴，
∴，
将和代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
解得：，
，
，，
；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
∴，
∴，
此时，的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴．
11．如图，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于点，．
(1)请求出，，的值；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集：________；
(3)点是轴上一动点，连接，，当周长最小时，点的坐标为________．
【答案】(1)，，；
(2)或；
(3)．
【详解】（1）∵直线和反比例函数图象过点，
∴，，解得：，，
∴反比例函数解析式为，
∵点在图象上，
∴，
综上可知：，，；
（2）由（）得：，
∴点，
当，即直线图象在图象上方，
根据图象可得，或，
故答案为：或；
（3）如图，点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，
∴，
利用得到，则根据两点之间线段最短，点为所求点，此时周长最小，
设直线解析式为，且过点，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，则当时，，
∴点，
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，连接．已知，的面积为．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)若为线段上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）解：过点作于点，如解图1所示，则．
∵，
∴．
又∵，
∴．
由反比例函数中的几何意义，可知，
∴（正值已舍去）．
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：或．
（3）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，如解图2所示．
把点，分别代入，得，，即点，．
∴．
易得直线的解析式为．
∴．
13．如图，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为，点，过点作的平行线与过点的垂线交于点，与双曲线交于点，若．
(1)求反比例函数和直线的函数表达式；
(2)求的长；
(3)若为轴上的一个动点，当最小时，求点坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）解：由题意可设点，
∵，
∴，
∵，则，解得，即，
∴反比例函数的解析式为；
设直线的函数解析式为，把代入得，
∴直线的函数解析式为；
∵直线，
∴设直线的函数解析式为，把点代入得，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：∵点，
∴当时，代入得；代入得；
∴、，
∴；
（3）解：根据动点最值问题中的将军饮马模型：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，如图所示：
设直线的函数解析式为，将，代入得，解得，
∴直线的函数解析式为，
由题意，结合图像知是直线与轴的交点，令，则，解得，
∴．
14．如图，一次函数与反比例函数相交于点，与x轴交于点B，
(1)求反比例函数解析式
(2)点P是y轴上一动点，连接，当的值最小时，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下，C为直线的动点，连接，将点C绕点P逆时针旋转得到点D，在C运动过程中，求的最小值．
【答案】(1)反比例函数解析式为；
(2)P点坐标为；
(3)的最小值为．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小，
令，则，解得，
∴点，点，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴P点坐标为；
（3）解：由旋转的性质知，当时，有最小值，此时的值最小，
设直线交y轴于点E，
令，则，
，点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)若点，点B的横坐标为4．
①求反比例函数的解析式；
②已知点P在y轴上，当最小时，求点P的坐标；
(2)求证：．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【详解】（1）解：①将点代入得：
∴反比例函数的解析式为：
②作关于轴的对称点，连接交轴于点，
∵点B的横坐标为4，
∴，
∵点，
∴关于轴的对称点，
设直线的解析式为：，
则：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令则，
∴；
（2）证明：将，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
令则，
故，
令则，
故，
,，
∴．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题6.11 反比例函数最值问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P是y轴上一点，若，求点P的坐标；
(3)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度．
2．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，C，B为x轴上一动点，连接．已知当点B的坐标为时，轴，且
(1) ，
(2)将一次函数的图象向左平移个单位长度，得到的新的一次函数图象与只有一个交点，求d的值．
(3)当最小时，求点B的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的值；
(3)点P是坐标轴上一点，若求点P的坐标．
5．在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)当时，请你直接写出的取值范围．
(3)若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
6．如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设点P是y轴上的一个动点，当△APB的周长最小时，请求出点P的坐标；
(3)将直线向下平移t个单位后，与双曲线有唯一交点，t的值为 ．
7．如图，函数的图象与函数的图象交于点，．
(1)求，的值和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图像上．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，连接．反比例函数的图象经过线段的中点D，并与分别交于点E、F．一次函数的图象经过E、F两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．
10．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，连接，一次函数与x轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点P的坐标．
11．如图，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于点，．
(1)请求出，，的值；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集：________；
(3)点是轴上一动点，连接，，当周长最小时，点的坐标为________．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，连接．已知，的面积为．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)若为线段上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
13．如图，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为，点，过点作的平行线与过点的垂线交于点，与双曲线交于点，若．
(1)求反比例函数和直线的函数表达式；
(2)求的长；
(3)若为轴上的一个动点，当最小时，求点坐标．
14．如图，一次函数与反比例函数相交于点，与x轴交于点B，
(1)求反比例函数解析式
(2)点P是y轴上一动点，连接，当的值最小时，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下，C为直线的动点，连接，将点C绕点P逆时针旋转得到点D，在C运动过程中，求的最小值．
15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)若点，点B的横坐标为4．
①求反比例函数的解析式；
②已知点P在y轴上，当最小时，求点P的坐标；
(2)求证：．
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