浙教版八年级下册数学5.1矩形（含解析）

浙教版八年级下册数学5.1矩形
一、单选题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．要使 ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90° D．∠ABD＝∠CBD
3．如图，在矩形 中， 分别是 的中点， ，则 的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AD=AB B．AB⊥AD C．AB=AC D．CA⊥BD
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件后仍不能判定这个四边形是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
6．对角线互相平分且相等的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
8．在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是　 　.
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为　 　cm．
11．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在的位置上，交AD于点G．已知，那么　 　度．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为　 　．
13．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③∠AOE＝150°；④S△AOE＝S△BOE．则结论中正确的有　 　．
三、解答题
14．求证：矩形的对角线相等．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
15．如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF
16．已知：如图，矩形 的对角线 相交于点O， ，交 的延长线于点E.
求证： .
17．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
18．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：；
（2）求证：；
19．已知：如图，在矩形中，点在边上，以为边作矩形，其中经过点，连接、．
　　
（1）若点是的中点，求证：是的平分线；
（2）若，，，求的长；
（3）若四边形是边长为的正方形，，求出的长．
20．将一个矩形纸片OABC放置于平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（10，6），点C在y轴，在AB边上取一点D，点B恰好落在边OA上的点E处．
（1）如图1，求点D的坐标；
（2）如图2，当点P在线段OA（不包含断点A、O）上运动时，过点P作直线l⊥x轴，直线l把△CED的面积分成1：9的两部分
21．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 ，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得.
（Ⅰ）如图①，当旋转后满足 轴时，求点C的坐标.
（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 上的一点P旋转后的对应点为 ，当 取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。
【解答】矩形是一个特殊的平行四边形，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有。
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵ ABCD中，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵ ABCD中，∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵ ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用矩形的判定定理：当四边形是平行四边形时，对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此对各选项逐一判断即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：连接AC
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD=12
E、F分别是AB、BC的中点；
∴EF为△ABC的中位线；
∴EF=AC=6；
故答案为：A。
【分析】根据矩形的性质得出AC=BD=12，E、F分别是AB、BC的中点，EF为△ABC的中位线，得出EF=AC=6。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形， 当AB⊥AD 时， 四边形ABCD为矩形 ；
当 AD=AB 或 CA⊥BD 时， 四边形ABCD为菱形 .
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定方法，逐项判断即可得解.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、.∵四边形ABCD是平行四边形 ，AC=BD，
∴ 平行四边形ABCD是矩形，故A选项不符合题意；
B、由AO=CO，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴ AO=CO，BO=DO，
∵∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴ 平行四边形ABCD是矩形，故C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴ ∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∵∠ABC=∠BAD，
∴ ∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A.C根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形；D.根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，或者有三个角是直角的四边形是矩形；分别对每个选项判断即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】对角线互相平分切相等的四边形一定是矩形，故B选项符合题意；
平行四边形的对角线只是互相平分；
菱形的对角线互相平分且相等；
正方形的对角线互相平分、相等且垂直．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的性质求解即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】C
【解析】【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD，由AD=，AB=1根据特殊角的锐角三角函数值可求出∠ADB=30°，即得∠ABO=60°，从而可证得△ABO是等边三角形，即得AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，再依次分析各小题即可作出判断．
根据已知条件不能推出AF=FH，故①错误；
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=，AB=1，
∴tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，故②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，故③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
∴BE=3ED，故④正确；
∴正确的有3个，
故选C．
【点评】本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，一般是中考压轴题，难度较大，需特别注意.
9．【答案】对角线相等的平行四边形是矩形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形.
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案.
10．【答案】9
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC= = =10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD= AC= ×10=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF= OD= cm，
AF= ×8=4cm，
AE= OA= cm，
∴△AEF的周长= +4+ =9cm.
故答案为：9.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用矩形的性质，求出OA、OD的长，然后利用三角形的中位线定理及中点的定义求出EF、AF、AE的长，就可求得△AEF的周长。
11．【答案】64
【解析】【解答】解：由长方形ABCD得：AD∥BC，
∴∠CEF=∠EFG=58°，
由轴对称的性质得：∠GEF=∠CEF=58°，
∴∠BEG=180°-∠GEF-∠CEF=64°．
故答案为：64.
【分析】 根据长方形的特点可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=58°，由轴对称的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG的度数．
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
13．【答案】①②
【解析】【解答】解： ①在矩形ABCD中，OA=OB=OC=OD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°.
∵AE平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=∠DAB=45°.
∴∠AEB=∠BAE=45°.
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACB＝∠AEB -∠CAE=30°.
∴∠DCO=60°.
∴△DOC是等边三角形.①正确；
②∵∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE.
由①可知△AOB是等边三角形.
∴AB=OB.
∴OB=BE.
∴△BOE是等腰三角形.②正确；
③∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°.
∴∠OBE=30°.
∵OB=BE，
∴∠BOE＝
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE=135°. ③ 错误；
④∵OA=OC，
∴S△AOE＝S△COE.
设OA=OC=1，则AB=BE=1，AC=2. ∴BC= 3. ∴CE= 3-1. ∴BC≠CE. ∵△BOE和△COE等高，
∴S△AOE≠S△BOE .④错误
故答案为：①②.
【分析】①先根据矩形的性质得到OC=OD，然后角平分线的性质和外角性质，得到△DOC是等边三角形；②先判断AB=BE，再根据△AOB是等边三角形判断OB=BE；③根据三角形内角和定理和外角性质，即可求解；④根据等边同高判断S△AOE＝S△COE，再根据△BOE和△COE等高，判断BC≠CE即可.
14．【答案】解：已知：四边形 是矩形， 与 是对角线，
求证： ，
证明： 四边形 是矩形，
， ，
又 ，
，
，
所以矩形的对角线相等
【解析】【分析】由“四边形 是矩形”得知， ， ，矩形的四个角都是直角，再根据全等三角形的判定原理 判定全等三角形，由此，得出全等三角形的对应边相等的结论．
15．【答案】证明：∵矩形ABCD的对角线为AC和BD，
∴AO=CO=BO=DO，
∵E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，AE=DF，
∴EO=FO，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（SAS），
∴BE=CF.
【解析】【分析】根据矩形对角线的性质，矩形对角线互相平分且相等，可知EO=FO，BO=CO，∠BOE=∠COF，可知△BOE≌△COF，即可得出BE=CF.
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴DB=CE，
∴AC=EC.
【解析】【分析】先由矩形的对角线相等得出AC=DB，再证明四边形CDBE是平行四边形，得出对边相等DB=CE，即可得出AC=CE.
17．【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一性质得出AD⊥BC，BD=CD，∠ADC=90°，由平行四边形的性质得出AE∥BD，AE=BD，得出AE∥CD，AE=CD，证出四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵EC平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接DF，
∵，F为CE的中点，∴，∴，
在矩形ABCD中，，，∴，
∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．
【解析】【分析】（1）利用平行的性质可得，再利用角平分线的定义可得，根据等量代换可得，再根据等角对等边的性质可得；
（2）连接DF，先利用“SAS”证出，可得，从而可得.
19．【答案】（1）证明：∵点是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线．
（2）解：如图1中，延长交的延长线于．
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
在中，
则有
解得：，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）解：如图2，延长交的延长线于．
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）证明，可得，可得，利用平行线的性质可得=∠ADE， 继而得解；
（2）延长交的延长线于，证明，可得，，易证EG垂直平分AT，可得EA=ET，设，在中，据此构建关于x方程并解之，从而得出， 再证四边形是平行四边形， 利用平行四边形的性质即可求解；
（3）延长交的延长线于．先求=5，由勾股定理求出AE的长，再利用面积发求出GE的长， 最后利用勾股定理求出AG即可.
20．【答案】（1）解：∵在矩形纸片OABC中，
∴B（10，6），
∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝6，
由折叠可得△DEC≌△DBC，
∴CE＝BC＝10，BD＝DE，
设AD＝x，
则BD＝DE＝AB-AD＝6-x，
在Rt△COE中，，
∴E（8，0），
∴AE＝AO-OE＝2，
在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，
∴4+x2＝（6-x）2
解得：，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵CE＝10，
∴，
∵C（0，6），，
∴直线CD为：，
又∵E（8，0），
∴直线CE为：，
∵直线l⊥x轴，若交CD于M，交CE与点N
则， ，
∴；
，
∵直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，
分两种情况：
①S△CNM：S△CED＝1：10，
∴，
解得：，
∵0＜t≤8，
∴；
②S△CNM：S△CED＝9：10，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当8＜t＜10时，如图：
由于E（8，0），，
则直线DE为：，
∵直线l⊥x轴，直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，
设交CD于 ，交DE于，
∴，
∴，
由已知得：S△MDQ：S△CDE＝1：10，
∴，
解得：，
∵8＜t＜10，
∴，
综上所述：直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，此时或.
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得BC＝OA＝10，AB＝OC＝6，根据折叠的性质可得CE＝BC＝10，BD＝DE，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OE=8，则AE=2，在Rt△ADE中，根据勾股定理列式即可求得AD的值，求得D点坐标；
（2）根据三角形的面积公式求得△CED 的面积，待定系数法求得直线CD，直线CE，直线DE的解析式，设 ，求得MN的值，根据三角形的面积公式求得△CNM的面积，根据题意列式求解；设 ，求得MQ的值，根据三角形的面积公式求得△MDQ的面积，根据题意列式求解.
21．【答案】A解：（Ⅰ）如图①中，作 轴于H.
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴
（Ⅱ）如图②中，作 于K.
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（Ⅲ）如图③中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．
由题意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．
，
∴直线A′D的解析式为 ，
点P坐标
【解析】【分析】（1）证明四边形ADCH为矩形，根据矩形的性质求出答案即可；
（2）作DK⊥AC于K，在直角三角形ADC中，求出DK和AK的值，解出答案即可；
（3）根据题意，由轴对称的性质，结合两点之间线段最短，即当点P和点P'重合时，可得到PA+PD的最小值，求出直线A'D的解析式即可。
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