浙教版2024年八年级下册5.2 菱形 同步练习卷 （含解析）

浙教版2024年八年级下册5.2《菱形》同步练习卷
一．选择题
1．依据所标数据，下列一定为菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　）
A．AC＝AD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AC＝BD
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，BD是菱形ABCD的一条对角线，则∠BDC的度数是（　　）
A．80° B．60° C．40° D．30°
4．已知，菱形的周长为20cm，其中一条对角线长为8cm，则菱形的面积（　　）
A．12cm2 B．15cm2 C．20cm2 D．24cm2
5．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF＝4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
6．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　）
A．四边形ABCD的周长不变
B．四边形ABCD的面积不变
C．AD＝AB
D．AB＝CD
7．如图，菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（0，8）、（﹣6，0），则点D的坐标是（　　）
A．（9，8） B．（10，8） C．（11，8） D．（12，8）
8．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（　　）
A．变大 B．先变大后变小
C．先变小后变大 D．不变
二．填空题
9．菱形的一边长为2cm，则这个菱形的周长为　 　．
10．在菱形ABCD中，AC＝6，AD＝5，则菱形的面积等于 　 　．
11．如图，在菱形ABCD中，∠C＝50°，则∠ABD的度数是 　 　．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，AC＝16，BD＝12，则DE的长为 　 　．
13．如图1是清代方胜纹暗花缎袄，如图2是缎袄上面方胜纹示意图，菱形ABCD与菱形A′B′C′D′是完全相同的两个菱形，中间四边形EB′FD也是菱形，EF、B′D相交于点M，若，B′D＝3，则菱形EB′FD的周长为 　 　．
14．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　．
三．解答题
15．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC．若DE＝CF，连结EF．求证：四边形ABFE是菱形．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点，，请分别求菱形ABCD的面积和周长．
17．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，，，连接AM，AN．
求证：△ABM≌△ADN．
18．如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）连接BE．若AB＝2，∠ABC＝60°，则BE的长为 　 　．
19．如图，在 ABCD中，O为AC的中点，点E，F分别在BC，AD上，EF经过点O，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若E为BC的中点，AE＝3，AC＝4，求AB的长．
20．如图1，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且BE＝DF．
（1）求证：∠BAE＝∠DAF；
（2）如图2，若∠EAF＝∠B，连接EF，M是EF中点，连接AM，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形．
21．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．
（1）求证：BD＝EF；
（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．
参考答案
一．选择题
1．依据所标数据，下列一定为菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A中的对角不相等，故选项A中的图形不是菱形，不符合题意；
选项B中同旁内角互补，则左右的两边平行，故该四边形是平行四边形，又由图可知四边相等，故该四边形是菱形，符合题意；
选项C中只能得到四边形的三条边的长度相等，不知道第四条边的长度，故不能判断是菱形，不符合题意；
选项D中的图形，只能判断为平行四边形，但不能判断是菱形，不符合题意；
故选：B．
2．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　）
A．AC＝AD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AC＝BD
【解答】解：对角线垂直的平行四边形为菱形．
要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是AC⊥BD．
故选：C．
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，BD是菱形ABCD的一条对角线，则∠BDC的度数是（　　）
A．80° B．60° C．40° D．30°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BDA＝∠BDC，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BDC＝∠ADC＝×80°＝40°，
故选：C．
4．已知，菱形的周长为20cm，其中一条对角线长为8cm，则菱形的面积（　　）
A．12cm2 B．15cm2 C．20cm2 D．24cm2
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，且周长是20cm，BD＝8cm，
∴AB＝5cm，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝BD＝4cm，
在Rt△OAB中，OA＝＝3（cm），
∴AC＝2OA＝6（cm），
∴菱形的面积＝＝24（cm2），
故选：D．
5．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF＝4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵点E，F分别是AC，DC的中点．
∴EF＝AD，
∵EF＝4，
∴AD＝8，
即AB＝BC＝CD＝AD＝8，
∴菱形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝8+8+8+8＝32．
故选：D．
6．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　）
A．四边形ABCD的周长不变
B．四边形ABCD的面积不变
C．AD＝AB
D．AB＝CD
【解答】解：由题意可知，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故D符合题意，
随着一张纸条在转动过程中，AD不一定等于AB，
四边形ABCD周长、面积都会改变，
故ABC不符合题意，
故选：D．
7．如图，菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（0，8）、（﹣6，0），则点D的坐标是（　　）
A．（9，8） B．（10，8） C．（11，8） D．（12，8）
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，8）、（﹣6，0），
∴OB＝6，OA＝8，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝10，AD∥BC，
∴点D坐标为（10，8），
故选：B．
8．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（　　）
A．变大 B．先变大后变小
C．先变小后变大 D．不变
【解答】解：
连接AC交BD于O，连接EO、AG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，
∵EG是AP的垂直平分线，
∴AG＝PG，∠AEG＝∠AOB＝90°，
∴A、E、G、O四点共圆，
∴∠PAG＝∠EOB，∠APG＝∠PAG，
∴∠EOG＝∠APG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∵AE＝PE，
∴OE∥BC，
∴∠EOB＝∠DBC＝∠ABC，
∵菱形ABCD固定，
∴∠ABC的度数固定，
即∠APG的度数不变，
故选：D．
二．填空题
9．菱形的一边长为2cm，则这个菱形的周长为　8　．
【解答】解：∵菱形的一边长为2cm，
∴这个菱形的周长为2×4＝8（cm），
故答案为：8．
10．在菱形ABCD中，AC＝6，AD＝5，则菱形的面积等于 　24　．
【解答】解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝3，BO＝DO，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴菱形的面积＝＝24，
故答案为：24．
11．如图，在菱形ABCD中，∠C＝50°，则∠ABD的度数是 　65°　．
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠C+∠ABD+∠CBD＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABD＝（180°﹣50°）＝65°，
故答案为：65°．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，AC＝16，BD＝12，则DE的长为 　9.6　．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝16，BD＝12，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝8，OB＝BD＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵S菱形ABCD＝AB DE＝AC BD＝×16×12＝96，
∴DE＝9.6．
故答案为：9.6．
13．如图1是清代方胜纹暗花缎袄，如图2是缎袄上面方胜纹示意图，菱形ABCD与菱形A′B′C′D′是完全相同的两个菱形，中间四边形EB′FD也是菱形，EF、B′D相交于点M，若，B′D＝3，则菱形EB′FD的周长为 　3　．
【解答】解：∵四边形EB'FD是菱形，且EF＝，B'D＝3．
∴B'M＝B'D＝，EM＝EF＝，
在Rt△EB'M中，EB'＝＝，
∴菱形EB'FD的周长＝4EB′＝4×＝3，
故答案为：3．
14．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　4.8　．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴×AB×PE+×PF×AD＝12，
∴×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
三．解答题
15．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC．若DE＝CF，连结EF．求证：四边形ABFE是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵DE＝CF，
∴AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点，，请分别求菱形ABCD的面积和周长．
【解答】解：∵AC＝﹣1，，
∴面积＝．
OB⊥OC，，，
，
∴菱形ABCD的周长为．
17．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，，，连接AM，AN．
求证：△ABM≌△ADN．
【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵BM＝BC，DN＝DC，
∴BM＝DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SAS）．
18．如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）连接BE．若AB＝2，∠ABC＝60°，则BE的长为 　4　．
【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BC＝2BD，
∴DE∥AB，DE＝AB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵BC＝2AB，BC＝2BD，
∴AB＝BD．
∴平行四边形ABDF是菱形；
（2）解：如图，连接AD，
由（1）可知，AB＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝CD＝BC，
∴BC＝2AB＝4，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵E是AC的中点，
∴AE＝AC＝，
∴BE＝＝＝4，
故答案为：4．
19．如图，在 ABCD中，O为AC的中点，点E，F分别在BC，AD上，EF经过点O，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若E为BC的中点，AE＝3，AC＝4，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，AE＝3，AC＝4，
∴CE＝AE＝3，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝AE＝3，
∴BC＝2BE＝6，∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，
∴∠BAC＝∠EAC+∠EAB＝×180°＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∴AB的长是2．
20．如图1，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且BE＝DF．
（1）求证：∠BAE＝∠DAF；
（2）如图2，若∠EAF＝∠B，连接EF，M是EF中点，连接AM，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△BAE与△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF；
（2）解：由（1）知，△BAE≌△DAF，
∴AE＝AF，
∵M是EF中点，
∴AM⊥EF，
∴∠AME＝∠AMF＝90°，
∴△AME，△AMF是直角三角形，
∵∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠EAF，
∴∠EAF+∠C＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵∠AEB＝∠AFD，
∴∠AEC＝∠AFC，
∴∠AEC+∠AFC＝180°＝90°，
∴△AEB和△AFD是直角三角形，
故图中的所有直角三角形是△AME，△AMF，△AEB，△AFD．
21．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．
（1）求证：BD＝EF；
（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．
【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD＝∠DAE+∠FAD，
即∠BAD＝∠FAE，
∵AB＝AF，AD＝AE，
∴△BAD≌△FAE（SAS），
∴BD＝EF．
（2）∵∠GHF＝∠BFG，
∴∠GFH＝∠GBF，
由（1）可知∠GFH＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠GBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠GBF，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）延长EA交BC于M，
∵∠DAE＝90°．
∴EM⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴EM⊥BF，
∵AB＝AF，BF＝4，
∴BM＝FM＝2，
∵∠BAF＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴EM＝AE+AM＝2+2，
∴＝＝4．