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第二章 一元二次方程章末总复习十大题型01
【浙教版】
题型一：利用定义判断一元二次方程
【例题1-1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【例题1-2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．为任意实数
【变式训练1-1】下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ）
A． B．
C． D．为任意实数
题型二：一元二次方程的一般式形式
【例题2】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9
【变式训练2-1】将方程改写成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，
【变式训练2-2】将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2，3 B．3，1 C． D．
【变式训练2-3】用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】把一元二次方程化成的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2，
【变式训练2-5】将方程化为后，的值是（ ）
A．，1， B．，1，
C．，， D．，1，
题型三：一元二次方程的解
【例题3】关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．1或-1 D．
【变式训练3-1】已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【变式训练3-2】已知a是方程 的一个根，求代数式 的值（ ）
A． B．1 C． D．3
【变式训练3-3】已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【变式训练3-4】若方程的根也是方程的根，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式训练3-5】关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（ ）
A．2024 B． C．－2024 D．
题型四：利用降次求代数式的值
【例题4】若a是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【变式训练4-1】已知m是方程的根，则式子 的值为（ ）
A．2015 B．2014 C．2013 D．2012
【变式训练4-2】已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
【变式训练4-3】若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【变式训练4-4】已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练4-5】已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个根，则m+﹣2015+的值为（ ）
A．2016 B．2015 C． D．
题型五：一元二次方程的解法
【例题5】解下列一元二次方程
(1) ；
(2)；
(3)（配方法）；
(4)（公式法）．
【变式训练5-1】选择合适的方法解方程：
(1)
(2)
【变式训练5-2】用适当的方法解下列方程．
(1)．
(2)．
【变式训练5-3】用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式训练5-4】解方程：
(1)；
(2)．
【变式训练5-5】用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
题型六：根的判别式
【例题6】已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【变式训练6-1】若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值．
【变式训练6-3】已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度．
(1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根；
(2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由．
【变式训练6-4】已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值．
【变式训练6-5】已知关于x的方程．
(1)求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个实数根是1，求p的值及方程的另一个实数根．
【变式训练6-6】已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程有一个根是，求m的值；
(2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
题型七：利用直接开方求方程的解
【例题7】已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练7-2】关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-3】关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
【变式训练7-4】关于x的方程的解是，、m、b均为常数，，则方程的解是
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练7-5】若关于x的一元二次方程的解是，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
题型八：利用特殊法解一元二次方程
【例题8】若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式训练8-2】若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【变式训练8-3】已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，则它的一个根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝ C．x＝﹣4 D．x＝2
【变式训练8-4】若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
【变式训练8-5】根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（ ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣1题型九：根与系数的关系
【例题9】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
【变式训练9-1】关于的一元二次方程．
(1)如果方程有实数根，求的取值范围；
(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．
【变式训练9-2】已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值.
【变式训练9-3】已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【变式训练9-4】已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求n的取值范围；
(2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的两个根的乘积大于1，求m的取值范围．
【变式训练9-5】已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求的值；
(2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【变式训练9-6】已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长？
题型十：配方法的应用
【例题10】小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对称；
(2)若关于的多项式关于对称，则 ；
(3)关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
【变式训练10-1】将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，
因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，
所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求式子的最大值．
(2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程)
(3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长．
【变式训练10-2】如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由．
(2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值．
【变式训练10-3】小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对称；若关于的多项式关于对称，则 ；
(2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值．
【变式训练10-4】阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子：
[例]分解因式： ．
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式： ．
(2)请你运用上述配方法分解因式 ．
(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值
【变式训练10-5】仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用．比如：已知满足，求的值．我们可以这样处理：
解：∵（拆项），
∴，
∴（配方），
又∵，
∴，，
∴
上面主要是采用了拆项后配成完全平方式的方法，再利用非负数的性
质来解决问题．
请利用拆项配方解题思路，解答下列问题：
(1)若，则___________ ， ___________ ；
(2)已知满足，求，的值；
(3)直接写出的最大值．
题型梳理
知识点1
一元二次方程定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
知识点2
一元二次方程的一般形式是（，、、为常数），其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。
知识点3
一元二次方程解的定义
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根
知识点4
直接开平方法：一般地，对于方程（是最简单的一元二次方程）
配方法：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式；
公式法：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
因式分解法：一般地，对于方程。
知识点5
根的判别式
一元二次方程：（，、、为常数）
当△＞0时，方程有2个不相等的实数根；
当△=0时，方程有2个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根。
知识点6
一元二次方程：（，、、为常数）的两个根是、
注意：用根与系数的关系的前提是一元二次方程要有根。
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第二章 一元二次方程章末总复习十大题型01
【浙教版】
题型一：利用定义判断一元二次方程
【例题1-1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、未知数的次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、,是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【例题1-2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．为任意实数
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
解得：，
故选：A．
【变式训练1-1】下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A．，
整理得：，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B．，是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．，不是整式方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练1-2】下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A中，有2个未知数，不属于一元二次方程，故不符要求；
B中，不是整式，不属于一元二次方程，故不符要求；
C中，属于一元二次方程，故符要求；
D中，当时，不属于一元二次方程，故不符要求；
故选：C．
【变式训练1-3】关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ）
A． B．
C． D．为任意实数
【答案】C
【详解】将原方程化为一般式得：，
∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故选：C．
题型二：一元二次方程的一般式形式
【例题2】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9
【答案】B
【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3；；，
故选；B．
【变式训练2-1】将方程改写成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，
【答案】C
【详解】解：∵可化为，
∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7，
故选：C．
【变式训练2-2】将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2，3 B．3，1 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵
∴
∴二次项系数和一次项系数分别为
故选：D
【变式训练2-3】用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：，
移项，得，
这里，
故选：D．
【变式训练2-4】把一元二次方程化成的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2，
【答案】A
【详解】解：一元二次方程的一般形式为，
的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，1，
故选：A
【变式训练2-5】将方程化为后，的值是（ ）
A．，1， B．，1，
C．，， D．，1，
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选；C．
题型三：一元二次方程的解
【例题3】关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．1或-1 D．
【答案】D
【详解】把代入方程中，得
，
解得，
当时，原方程二次项系数，舍去，
故选：D．
【变式训练3-1】已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意得：，
即：，
故选A．
【变式训练3-2】已知a是方程 的一个根，求代数式 的值（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【详解】解：
，
∵a是方程的一个根，
∴，
即．
∴原式．
故选：D．
【变式训练3-3】已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【详解】解：是方程的一个根，
，即，
，
【变式训练3-4】若方程的根也是方程的根，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵方程的根也是方程的根，
∴存在实数m，n，使得，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
【变式训练3-5】关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（ ）
A．2024 B． C．－2024 D．
【答案】D
【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2024，
∴，
∴，
∴，
∴是方程一定有实数根．
故选：D
故选：A．
题型四：利用降次求代数式的值
【例题4】若a是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】A
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式训练4-1】已知m是方程的根，则式子 的值为（ ）
A．2015 B．2014 C．2013 D．2012
【答案】A
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴
；
故选：A
【变式训练4-2】已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】B
【详解】∵是一元二次方程的一个根，
∴
∴
∴
故选：
【变式训练4-3】若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【详解】解：可化为：
关于的一元二次方程有一个根为，
把看作是整体未知数，则
即有一根为
故选D
【变式训练4-4】已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵是一元二次方程的一个根
∴
∴
∴
故选：B．
【变式训练4-5】已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个根，则m+﹣2015+的值为（ ）
A．2016 B．2015 C． D．
【答案】C
【详解】∵m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根，
∴m2﹣2016m+1＝0，
∴m2+1＝2016m，
∴m+＝2016
∴原式＝2016﹣2015+＝，
故选：C．
题型五：一元二次方程的解法
【例题5】解下列一元二次方程
(1) ；
(2)；
(3)（配方法）；
(4)（公式法）．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：，
，
解得．
（2）解：，
，
，
解得；
（3）解：，
，
，
∴
∴，
解得；
（4）解：，
，
，
解得．
【变式训练5-1】选择合适的方法解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；(2)，．
【详解】（1）解：，
整理得，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，
即，
∴或者，
∴，．
【变式训练5-2】用适当的方法解下列方程．
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
∴
∴
∴或
解得：
（2）解：
∴
∴
∴
∴或
解得：
【变式训练5-3】用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
即，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
【变式训练5-4】解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
，
∴，
则；
（2）解：，
，
，
，
，
解得．
【变式训练5-5】用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：直接开平方得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：移项得：，
因式分解得：，即，
∴或，
解得：，．
题型六：根的判别式
【例题6】已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【详解】解：
∵
∴即
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式训练6-1】若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
A、若，，不符合题意；
B、若，，不符合题意；
C、若，，符合题意；
D、若，，不符合题意．
故选：C．
【变式训练6-2】已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【详解】（1）解：∵；
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∴，
∵方程有两个互不相等的负整数根，
∴或．
【变式训练6-3】已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度．
(1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根；
(2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由．
【答案】(1)
(2)原方程有两个不相等的实数解，理由见解析
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴
即，
解得：；
（2）解：原方程有两个不相等的实数解
理由：∵是以为斜边的直角三角形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴原方程有两个不相等的实数解
【变式训练6-4】已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或
【详解】（1）证明：．
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由，
得，
即、的长为，
当时，即 ，满足三角形构成条件；
当时，，解得 ，满足三角形构成条件．
综上所述，或 ．
【变式训练6-5】已知关于x的方程．
(1)求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个实数根是1，求p的值及方程的另一个实数根．
【答案】(1)见解析
(2)，另一个实数根为
【详解】（1）解：由得，
∵，
∴无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）把代入得，，
解得
∴，
∴，
即
∴
∴
【变式训练6-6】已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程有一个根是，求m的值；
(2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）解：把代入中得：，
解得；
（2）证明：由题意得，，
∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
题型七：利用直接开方求方程的解
【例题7】已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴则方程的解是
故选：D
【变式训练7-1】若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】解：解方程（，，均为常数，），
得：，
关于的方程（，，均为常数，）的解是，，
，，
方程的解为，
，，
故选：．
【变式训练7-2】关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：（m，h，k均为常数，m≠0），
解得，
而关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，
所以，
方程的解为，
所以 ．
故选：C．
【变式训练7-3】关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
【答案】B
【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-=-3，-h+=2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．
故选：B．
【变式训练7-4】关于x的方程的解是，、m、b均为常数，，则方程的解是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】把方程看作关于的一元二次方程，
而关于x的方程的解是，，
所以，，
所以，．
故选A．
【变式训练7-5】若关于x的一元二次方程的解是，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵方程a（x＋m）2＋b＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴x＝﹣m±＝﹣3或1. a（x＋m－2）2＋b＝0可变形为x＝2－m±，所以方程a（x＋m－2）2＋b＝0的两根分别为x1＝2－3＝﹣1，x2＝2＋1＝3.故选C.
题型八：利用特殊法解一元二次方程
【例题8】若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
设，
∴，
而关于的一元二次方程有一根为，
∴有一个根为，
则，
解得，
∴一元二次方程必有一根为．
故选：D．
【变式训练8-1】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
【详解】解：对于一元二次方程即，
设t＝x＋2，则可得，
而关于x的一元二次方程的一个根是，
所以有一个根为t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程必有一根为x＝2020，
故选：A．
【变式训练8-2】若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【答案】D
【详解】由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：D．
【变式训练8-3】已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，则它的一个根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝ C．x＝﹣4 D．x＝2
【答案】A
【详解】解：A.把x=-2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a﹣2b十c＝0，所以，x=-2是方程的一个根，故选项A符合题意；
B.把x＝代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得a﹣b十c＝0，所以，x=-不是方程的一个根，故选项B不符合题意；
C.把x＝-4代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得16a﹣4b十c＝0，所以，x=-4不是方程的一个根，故选项C不符合题意；
D.把x＝2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a+2b十c＝0，所以，x=2不是方程的一个根，故选项D不符合题意；
故选：A．
【变式训练8-4】若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵a﹣b+c＝0，
∴a×12﹣b×1+c＝0，
∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1．
故选：B．
【变式训练8-5】根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（ ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣1【答案】C
【详解】∵x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0，
x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0，
∴ 1.1即方程x2 +12x﹣15=0必有一个解x满足1.1故选C．
题型九：根与系数的关系
【例题9】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：方程为：，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，
解得：，
实数的值为．
【变式训练9-1】关于的一元二次方程．
(1)如果方程有实数根，求的取值范围；
(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得，；
（2）解：由题意知，，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴的值为．
【变式训练9-2】已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值.
【答案】(1)详见解析(2)
【详解】（1）证明：∵
，
∵，
∴，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵，，，
∴，
解得，
故m的值为．
【变式训练9-3】已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【答案】(1)详见解析(2)或
【详解】（1）证明：
，
这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：解方程得，，
即，或，，
，，分别是一个直角三角形的三边长，
或，
解方程得，（舍去），
解方程得，（舍去）．
即的值为或．
【变式训练9-4】已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求n的取值范围；
(2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的两个根的乘积大于1，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，，
∴n的取值范围为；
（2）解：由题意知，，
设方程的两根为，
依题意得，，即，
解得，或，
∴m的取值范围为或．
【变式训练9-5】已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求的值；
(2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】(1)m的值为6
(2)这个三角形的周长为17
【详解】（1）解：根据题意得判别式，解得，
，，
，即，
，
整理得，解得，，
而，
的值为6；
（2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
【变式训练9-6】已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长？
【答案】(1)见详解(2)5
【详解】（1）证明：
，
∵无论取什么实数值，，
，
所以无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2）
∵恰好是这个方程的两个实数根，
设
当、为腰，则，而，所以这种情况不成立，
当、为腰，则，解得，
此时三角形的周长．
题型十：配方法的应用
【例题10】小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对称；
(2)若关于的多项式关于对称，则 ；
(3)关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得．
【变式训练10-1】将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，
因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，
所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求式子的最大值．
(2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程)
(3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长．
【答案】(1)有最大值
(2)，见解析
(3)这个三角形的周长为17
【详解】（1）解：．
∵，
∴，
∴当时，有最大值．
（2）∵，
∴．
由（1）可得，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
∵a，b是等腰三角形的两边，且，
∴等腰三角形的三边分别为3、7、7，
∴这个等腰三角形的周长为．
【变式训练10-2】如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由．
(2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值．
【答案】(1)该方程是“和美方程”，见解析
(2)最小值为
【详解】（1）解：该方程是“和美方程”，理由如下，
∵当时，方程左边，右边，
∴左边=右边，
∴是该方程的解，
∴该方程是“和美方程”；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【变式训练10-3】小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对称；若关于的多项式关于对称，则 ；
(2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值．
【答案】(1)；．(2)17．
【详解】（1）解：，
该多项式关于对称；
，
关于对称，
；
故答案为：；．
（2），
关于对称，
，
，
当时，多项式的值为5，
，
，
时，
．
【变式训练10-4】阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子：
[例]分解因式： ．
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式： ．
(2)请你运用上述配方法分解因式 ．
(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
．
（3），
，
，
，
，
．
又 为正整数，
时，的周长最大，最大值为 ．
答： 长的最大值为13．
【变式训练10-5】仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用．比如：已知满足，求的值．我们可以这样处理：
解：∵（拆项），
∴，
∴（配方），
又∵，
∴，，
∴
上面主要是采用了拆项后配成完全平方式的方法，再利用非负数的性
质来解决问题．
请利用拆项配方解题思路，解答下列问题：
(1)若，则___________ ， ___________ ；
(2)已知满足，求，的值；
(3)直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值
【详解】（1）解：∵（拆项），
∴，
∴（配方），
又∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
（2）∵（拆项），
∴，
∴（配方），
又∵，
∴，，
∴．
（3）解：∵，
∴的最大值为5．
题型梳理
知识点1
一元二次方程定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
知识点2
一元二次方程的一般形式是（，、、为常数），其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。
知识点3
一元二次方程解的定义
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根
知识点4
直接开平方法：一般地，对于方程（是最简单的一元二次方程）
配方法：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式；
公式法：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
因式分解法：一般地，对于方程。
知识点5
根的判别式
一元二次方程：（，、、为常数）
当△＞0时，方程有2个不相等的实数根；
当△=0时，方程有2个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根。
知识点6
一元二次方程：（，、、为常数）的两个根是、
注意：用根与系数的关系的前提是一元二次方程要有根。
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