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第二章 一元二次方程章末总复习十大题型02
【浙教版】
题型一：增长率问题
【例题1】一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支元的A种玫瑰花，连续两次降价后每支以元的价格销售，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)将A、B两种玫瑰花（现售价和进价如下表格）共支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过元，如何搭配A、B两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？
种玫瑰花 种玫瑰花
进价（元）
售价（元）
【变式训练1-1】某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年3年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求该种植户每年投资的增长率；
(2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少万元种植中药材．
【变式训练1-2】某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【变式训练1-3】随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，据统计，截止到2022年底广东基站的数量约25万座，计划到2024年底，全省基站数量将达到36万座．
(1)按照计划，求2022年底到2024年底，全省基站数量的年平均增长率；
(2)按照这个年平均增长率，到2025年底，全省基站的数量是多少万座？
【变式训练1-4】某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克．
(1)若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？
(2)2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？
【变式训练1-5】2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨0.5元，则每天的销售量就会减少5件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
题型二：一元二次方程之利润问题
【例题2】某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件．
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
(3)该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润．
【变式训练2-1】在霍邱万达附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆50元，销售价为每盆80元的某种盆栽平均每天可售出20盆．现此店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多售出4盆，设每盆降价元．
(1)现在每天卖出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）；
(2)求当为何值时，平均每天销售这种盆栽能盈利672元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
(3)要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．
【变式训练2-2】第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（）．
(1)请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ．
(2)若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？
【变式训练2-3】某水果店以每千克2元的价格购进某种水果，然后以每千克4元的价格出售，每天可销售100千克．经市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克．为了保证每天至少售出260千克该种水果，水果店店主决定降价销售．
(1)若将该种水果每千克的售价降价x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
(2)若销售这种水果要想每天盈利300元，则应将每千克的售价降低多少元？
【变式训练2-4】某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（盈利＝销售利润+返利）
(1)若该公司当月售出5部汽车，则每部汽车的进价为______万元；
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
【变式训练2-5】某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车进价每辆均降低万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元；若当月销售量在辆以上，每辆返利万元．
(1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆，并计划当月盈利万元，那么需要销售多少辆汽车？提示：盈利=销售利润+返利)
题型三：一元二次方程之传播问题
【例题3】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式训练3-2】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
【变式训练3-3】有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？
【变式训练3-4】某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？
【变式训练3-5】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？
题型四：一元二次方程之与图形有关的问题
【例题4】如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？
【变式训练4-1】燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？
【变式训练4-2】某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．
(1)______；
(2)的长度为______m（用含有的代数式表示）；
(3)当长方形区域的面积为时，求的长度．
【变式训练4-3】如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？
【变式训练4-4】已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
(1)求线段的取值范围；
(2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【变式训练4-5】小欣想要硬化自己家的院内的一块空地，经测量后设计了如右图的图纸（单位：厘米），阴影区域为宽度相等的一条“L”形的健身鹅卵石小路，空白部分为地砖铺设区域．要使地砖铺设区域的面积为14平方米，求地砖铺设区域的长和宽．
题型五：一元二次方程之数字问题
【例题5】【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
【变式训练5-1】2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）．
【变式训练5-2】2022年10月1日是我国建国73周年纪念日．如图，在10月份月历表上用一个方框圈出四个数．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数．
【变式训练5-3】下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题：
(1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数．
(2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由．
【变式训练5-4】一个数字和为的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是，则这个两位数是多少？
【变式训练5-5】一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．
题型六：一元二次方程之工程问题
【例题6】全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条
（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？
【变式训练6-1】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【变式训练6-2】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【变式训练6-3】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【变式训练6-4】某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
【变式训练6-5】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
题型七：一元二次方程之行程问题
【例题7】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【变式训练7-1】月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【变式训练7-2】为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
【变式训练7-3】随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值．
【变式训练7-4】匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：）
【变式训练7-5】甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
题型八：一元二次方程之电费水费等问题
【例题8】某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【变式训练8-1】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【变式训练8-2】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
【变式训练8-3】为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【变式训练8-4】根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【变式训练8-5】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
题型九：一元二次方程之素材问题
【例题9】根据以下素材，探索完成任务．
如何计算工厂生产线数量？
素材1 科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产400万个．
素材2 经调查发现，1条生产线的最大产量与生产线数量有关，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产量将减少20万个/天．
问题解决
任务1 确定最大产量 为了新生产线的适应，前三天1条生产线的产量按日平均增长率50%增加至最大产量，求1条生产线的最大产量
任务2 拟定初方案 现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，在增加一定数量生产线的同时又要节省投入（生产线越多，投入越大），求增加的生产线数量．
任务3 优化方案 该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【变式训练9-1】如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材 如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．
素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______．
目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
【变式训练9-2】根据以下素材，探索完成任务．
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景 学校手工社团小组想把一张长，宽的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）．
方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2 改进方案 改进方案中，当时，求x的值．
任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，求出y与x的等量关系，并写出y的取值范围．
【变式训练9-3】根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元/ ；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润＝草莓销售的总利润一路面造价费用一果园承包费用一新苗购置费用一其余费用， （3）经过l年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【变式训练9-4】根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大．
题型十：一元二次方程之函数问题
【例题10】5某店一型号台灯成本价为30元，若40元出售，平均每月能售出600个，经过一周试销售发现，售价在40元至60元范围内，平均每天售出的台灯数量（个）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出与的函数表达式；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
(3)正式销售后每个台灯的利润率不得高于，该店每天能否获得12250元的利润？若能，求出台灯的售价应定为多少；若不能，请说明理由．
【变式训练10-1】网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/，销售价格不高于14元/，且每售卖需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格x（元/）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数解析式．
(2)当猕猴桃的销售价格定为多少元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？
【变式训练10-2】某工厂购买的原材料的单价从前年开始进行了调整．如图，、分别表示该工厂前年和今年采购原材料的总价y（万元）与数量x（吨）之间的关系，请根据函数图象提供的信息回答下列问题：
(1)该厂前年采购原材料的单价是每吨 万元；
(2)该厂今年采购原材料的总价y关于数量x的函数解析式是 ；
(3)如果该原材料的单价从前年开始，每年的增长率都相同，那么这个增长率是 ．
【变式训练10-2】某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
【变式训练10-3】某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售盐（万支）与销售单价（元）之间存在着如图所示关系．
(1)求牙膏的日均销售量（万支）关于销售单价（元）的函数表达式（写出的取值范围）；
(2)该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由．
【变式训练10-4】于年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售．从月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
元
件
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？
【变式训练10-5】某零食商店以20元/千克的价格购进一种饼干，计划以30元/千克的价格销售，遇国庆促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足的函数关系图像如下：
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利 ；（直接填空）
(3)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？
题型梳理
知识点1
一元二次方程平均增长率问题
其中为增长前的基数，为增长后的基数，为平均增长率。
知识点2
一元二次方程销售问题
利润=售价－成本
利润率＝利润÷成本×100%
总利润=总售价-总成本=一件的利润×销售量
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第二章 一元二次方程章末总复习十大题型02
【浙教版】
题型一：增长率问题
【例题1】一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支元的A种玫瑰花，连续两次降价后每支以元的价格销售，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)将A、B两种玫瑰花（现售价和进价如下表格）共支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过元，如何搭配A、B两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？
种玫瑰花 种玫瑰花
进价（元）
售价（元）
【答案】(1)(2)搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴每次下降的百分率为；
（2）解：设A种玫瑰花的数量为，利润为，则B种玫瑰花的数量为，
依题意得，，
解得，，
，
∵，
∴当时，利润最大，
∴，
∴搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大．
【变式训练1-1】某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年3年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求该种植户每年投资的增长率；
(2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少万元种植中药材．
【答案】(1)
(2)67.5万元
【详解】（1）解：设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为，则2017年种植投资为万元，2018年种植投资为万元，
根题意得：，
解得：（舍去）或．
该种植户每年投资的增长率为；
（2）解：2019年该种植户投资额为：（万元）．
答：预测2019年该种植户投资67.5万元种植中药材．
【变式训练1-2】某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为；
(2)每千克应涨价5元
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为，
或（舍去），
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克涨价x元，
依题意得：
解得：，，
要尽快减少库存，
则，
答：每千克应涨价5元，
【变式训练1-3】随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，据统计，截止到2022年底广东基站的数量约25万座，计划到2024年底，全省基站数量将达到36万座．
(1)按照计划，求2022年底到2024年底，全省基站数量的年平均增长率；
(2)按照这个年平均增长率，到2025年底，全省基站的数量是多少万座？
【答案】(1)全省基站数量的年平均增长率为
(2)全省基站的数量是43.2万座
【详解】（1）解：设全省基站数量的年平均增长率为，
有：．
解得：，（舍）．
∴全省基站数量的年平均增长率为．
（2）按照这个年平均增长率，到2025年底，全省基站的数量为万座，
答：全省基站的数量是43.2万座．
【变式训练1-4】某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克．
(1)若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？
(2)2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？
【答案】(1)土豆平均亩产量的年增长率为
(2)该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变
【详解】（1）解：设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x．
根据题意，得．
解得，．（不合题意，舍去）
答：土豆平均亩产量的年增长率为．
（2）解：设增加土豆种植面积a亩．
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去），．
答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变．
【变式训练1-5】2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨0.5元，则每天的销售量就会减少5件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
【答案】(1)
(2)110元
【详解】（1）解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
由题意可得，，
解得，（舍去），
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为．
（2）解：设每件商品的售价应该定为元，则每件商品的销售利润为元，
每天的销售量为（件），
依题意可得，
解得，
∵要使销量尽可能大，
∴，
答：每件商品的售价应该定为110元．
题型二：一元二次方程之利润问题
【例题2】某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件．
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
(3)该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润．
【答案】(1)元(2)元(3)元
【详解】（1）解：由题意，得
元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是元；
（2）解：设每件商品应降价元，由题意，得，
化简为
解得，
∵要更有利于减少库存，
∴
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元
（3）解：由题意，得
化简为
解得（舍）
∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元
∴总利润为元．
【变式训练2-1】在霍邱万达附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆50元，销售价为每盆80元的某种盆栽平均每天可售出20盆．现此店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多售出4盆，设每盆降价元．
(1)现在每天卖出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）；
(2)求当为何值时，平均每天销售这种盆栽能盈利672元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
(3)要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．
【答案】(1)；(2)(3)不可能每天盈利1000元，理由见解析
【详解】（1）解：由题意得，现在每天卖出盆，每盆盈利元，
故答案为：；；
（2）解：由题意得，
整理得，
解得或，
又∵要使顾客得到较多的实惠，
∴；
（3）解：不可能每天盈利1000元，理由如下：
假设能每天盈利1000元，则
整理得，
此时，则原方程无实数根，
∴不可能每天盈利1000元．
【变式训练2-2】第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（）．
(1)请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ．
(2)若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？
【答案】(1)(2)80
【详解】（1）解： 销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件；
当销售单价x元时，，即，
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得：，（因，舍去）
故文化衫单价应为80元．
答：该文化衫单价应为80元．
【变式训练2-3】某水果店以每千克2元的价格购进某种水果，然后以每千克4元的价格出售，每天可销售100千克．经市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克．为了保证每天至少售出260千克该种水果，水果店店主决定降价销售．
(1)若将该种水果每千克的售价降价x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
(2)若销售这种水果要想每天盈利300元，则应将每千克的售价降低多少元？
【答案】(1)
(2)1元
【详解】（1）解：设水果店将每千克的售价降低元，
所以每天可售出(千克)．
（2）解：根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
【变式训练2-4】某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（盈利＝销售利润+返利）
(1)若该公司当月售出5部汽车，则每部汽车的进价为______万元；
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
【答案】(1)
(2)当销售6部汽车时，当月可盈利12万元
【详解】（1）解：（万元），
故答案为：．
（2）设需要售出x部汽车，
①当销售10部以内（含10部）时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：（不合题意，舍去），
当销售6部汽车时，当月可盈利12万元；
②当销售10部以上时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：，均不合题意，应舍去
答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元．
【变式训练2-5】某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车进价每辆均降低万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元；若当月销售量在辆以上，每辆返利万元．
(1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆，并计划当月盈利万元，那么需要销售多少辆汽车？提示：盈利=销售利润+返利)
【答案】(1)(2)辆
【详解】（1）解：根据题意得：
万元，
每辆汽车的进价为万元．
故答案为：；
（2）设需要销售辆汽车，则每辆的销售利润为万元．
当时，，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)；
当时，，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)， (不符合题意，舍去)．
答：需要销售辆汽车．
题型三：一元二次方程之传播问题
【例题3】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
列方程得：，
即．
故选：C．
【变式训练3-1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8．
故选：C．
【变式训练3-2】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人．(2)．
【详解】（1）
解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
由题意得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
答：每轮传染中平均一个人传染个人．
（2）
则第三轮的患病人数为：．
故答案为：．
【变式训练3-3】有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？
【答案】1331人
【详解】解：设该传染病在每轮传染中平均一个人会传染个人，则
，
解得（舍），或，
∴经过三轮传染后染上这种病的人数为：
（人）．
答：经过三轮传染后将会有1331人染上这种病．
【变式训练3-4】某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？
【答案】5
【详解】解：设每节课一人教会x人，根据题意可得：
，
解得：（不合题意舍去）
答：每节课一人教会5人．
【变式训练3-5】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？
【答案】5个
【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意得
，
解这个方程得，（不合题意，舍去）
答：这种植物每个支干长出5个小分支．
题型四：一元二次方程之与图形有关的问题
【例题4】如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？
【答案】框边宽为2厘米
【详解】解：设框边宽为厘米．
，（不合题意，舍去）
答：框边宽为2厘米．
【变式训练4-1】燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？
【答案】
【详解】解：设每张桌面的宽为尺，
根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺，
故可得，
解得：，（舍去），
∴，
答：长桌的长为尺．
【变式训练4-2】某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．
(1)______；
(2)的长度为______m（用含有的代数式表示）；
(3)当长方形区域的面积为时，求的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，根据题意，
得四边形，四边形，四边形都是矩形，
设，，
根据题意，得，，
∴,
∴,
解得，
故
故答案为：．
（2）根据(1),得，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）根据题意，得，
整理，得，
解得，
答：的长度为．
【变式训练4-3】如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？
【答案】在矩形纸板四角切去的正方形边长是
【详解】解：设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，根据题意得，
解得：（舍去）
答：在矩形纸板四角切去的正方形边长是．
【变式训练4-4】已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
(1)求线段的取值范围；
(2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)自行车车棚的长和宽分别为，
(3)不能围成面积为的自行车车棚，见解析
【详解】（1）解：设线段的长为，则的长为，
根据题意得，解得，
线段的取值范围为；
（2）解：根据题意列方程，得，
解得，；
当时，，
当时，，而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，；
（3）解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下：
根据题意得，
整理得：，
，
方程无实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
【变式训练4-5】小欣想要硬化自己家的院内的一块空地，经测量后设计了如右图的图纸（单位：厘米），阴影区域为宽度相等的一条“L”形的健身鹅卵石小路，空白部分为地砖铺设区域．要使地砖铺设区域的面积为14平方米，求地砖铺设区域的长和宽．
【答案】地砖铺设区域的长为4米，宽为米
【详解】解：设小路的宽为x米，则地砖铺设区域的长为米，宽为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴（米），（米）；
答：地砖铺设区域的长为4米，宽为米．
题型五：一元二次方程之数字问题
【例题5】【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
【答案】(1)
(2)这两个正整数分别是4和5
【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3，
∴较大的数是4，
∴它们的平方之和为；
（2）设较小的整数是，则较大的整数是，
由题可得：，
方程可化为：，
把方程左边因式分解，得：，
解得：，（舍去），
答：这两个正整数分别是4和5．
【变式训练5-1】2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）．
【答案】这个最小数为5
【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意，
得．
解得或（不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【变式训练5-2】2022年10月1日是我国建国73周年纪念日．如图，在10月份月历表上用一个方框圈出四个数．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数．
【答案】这个最小数是6
【详解】设这个最小数为，则最大数为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：， (不符合题意，舍去)．
答：这个最小数是6．
【变式训练5-3】下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题：
(1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数．
(2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由．
【答案】(1)6
(2)不能，理由见解析
【详解】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为，
，
解得：（舍去），
∴最小的数为6．
（2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为，
，
解得：（舍去），
由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数，
∴最小数与最大数的乘积不能为33．
【变式训练5-4】一个数字和为的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是，则这个两位数是多少？
【答案】或
【详解】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为，
根据题意得：
，
解得：或，
这个两位数是或．
【变式训练5-5】一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数为26．
【详解】解：设原来的两位数的十位数字为，
，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：原来的两位数为26．
题型六：一元二次方程之工程问题
【例题6】全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条
（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？
【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线．
【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天
故答案为：；
（2）根据题意，得，
解得，，
该工厂引进了27条或13条生产线．
【变式训练6-1】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米
【详解】选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
经检验：是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
（舍）
经检验：是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
【变式训练6-2】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元
(2)的值为
【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，
∴，解得，，
∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，
∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元，
∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去），
∴的值为．
【变式训练6-3】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)的值为10
【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，
，
解得：，
则，
答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值为10．
【变式训练6-4】某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米(2)18
【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得
，
解得，
米，
所以A型设备每小时铺设的路面110米；
（2）根据题意得：，
解得，（舍去），
答：m的值是18．
【变式训练6-5】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
题型七：一元二次方程之行程问题
【例题7】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小美每分钟跑360米
(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，
根据题意，得，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米．
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
【变式训练7-1】月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时；(2)．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时；
（2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时，
由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：的值为．
【变式训练7-2】为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟；
(2)小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
原方程的解为，
∴小凤的跑步速度为每分钟，
答：小凤的跑步速度为每分钟；
（2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分，
则小凤从地到地所用时间为（分钟）．
设小凤从地到地用时分钟，
根据题意，得，
解得或（舍去），
则（分钟）．
答：小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【变式训练7-3】随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值．
【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米
(2)的值为
【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得
解得
∴（米）
所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米；
（2）解：依题意，得
整理得
解得（舍），
答：的值为．
【变式训练7-4】匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
【变式训练7-5】甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70，
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70，
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
题型八：一元二次方程之电费水费等问题
【例题8】某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
【变式训练8-1】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【答案】(1)x（90－x）元
(2)50度
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【变式训练8-2】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3．
【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；
（2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70，
解得：a＝3或a＝4
5a（5﹣a）+10＝40
解得：a＝3或a＝2，
综上，规定用水量为3吨．
则规定用水量a的值为3．
【变式训练8-3】为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，
1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(元)，
即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100．
即y
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【变式训练8-4】根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
【变式训练8-5】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析;
【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；
（2）由题意得：5a（7-a）+10=70，
解得：a=3或a=4
5a（5-a）+10=40
解得：a=3或a=2，
综上，规定用水量为3吨；
（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林．
题型九：一元二次方程之素材问题
【例题9】根据以下素材，探索完成任务．
如何计算工厂生产线数量？
素材1 科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产400万个．
素材2 经调查发现，1条生产线的最大产量与生产线数量有关，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产量将减少20万个/天．
问题解决
任务1 确定最大产量 为了新生产线的适应，前三天1条生产线的产量按日平均增长率50%增加至最大产量，求1条生产线的最大产量
任务2 拟定初方案 现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，在增加一定数量生产线的同时又要节省投入（生产线越多，投入越大），求增加的生产线数量．
任务3 优化方案 该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】任务1：900万个；任务2：增加的生产线数量为4条；任务3：每天生产一次性注射器不能达到10900万个，理由见解析；
【详解】解：任务1：（万个），
答：1条生产线的最大产量为900万个；
任务2：设增加的生产线数量为x条，根据题意得：
，
解得：，，
∵生产线越多，投入越大，
∴在增加一定数量生产线的同时又要节省投入，舍去，
答：增加的生产线数量为4条；
任务3：设增加的生产线数量为y条，根据题意得：
，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，
∴每天生产一次性注射器不能达到10900万个．
【变式训练9-1】如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材 如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．
素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______．
目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
【答案】目标1：，目标2：（1）储物盒的容积为立方厘米（2）玩具机械狗不能完全放入该储物
【详解】（1）解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图中的四角裁去小正方形的边长为，
则收纳盒的宽小正方形的边长，
由图知，设上下宽为，左右宽为，
两个长方形之间的部分为，
，，
则，
所以收纳盒的高为，体积为，
答：储物盒的容积为立方厘米；
设盒子的另一底边长为，
盒子的底面积为，
，
，
收纳盒的高为，
此时，之间还有一段空隙，在此种情况下
，
玩具机械狗不能完全放入该储物；
当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为
玩具机械狗也不能完全放入该储物；
综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物．
答：玩具机械狗不能完全放入该储物．
【变式训练9-2】根据以下素材，探索完成任务．
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景 学校手工社团小组想把一张长，宽的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）．
方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2 改进方案 改进方案中，当时，求x的值．
任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，求出y与x的等量关系，并写出y的取值范围．
【答案】任务1：初始方案是不可行；任务2：x的值为4；任务3：；
【详解】解：任务1：根据题意得：，
解得：，
此时长方体盒子的长为：，
∵，
∴初始方案是不可行；
任务2：当时，根据题意得：，
解得：或，
当时，盒子的长为，符合题意；
当时，盒子的长为，不符合题意；
∴x的值为4；
任务3：根据题意得：，
整理得：，
∵纸盒的长不小于，
∴，
解得：，
∴，
把代入得：，
把代入得：，
∴．
【变式训练9-3】根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元/ ；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润＝草莓销售的总利润一路面造价费用一果园承包费用一新苗购置费用一其余费用， （3）经过l年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【答案】（1）；（2）不符合，详见解析；（3）可以达到预期，详见解析
【详解】（1）因为 ，且
所以
（2）当 时， ，
解得：，都不满足 ，
所以不符合
（3）
化简得：
解得：（舍去）
所以可以达到预期．
【变式训练9-4】根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大．
【答案】任务1：网上毛利润为元，实体店毛利润为元；任务2：该商品的网上销售价是每件58元或56元；任务3：57
【详解】（1）网上毛利润为：元
实体店毛利润为：元
（2）设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：
实体店毛利润为：
总毛利润为：
根据题意得，
解得，；
∴或56
答：该商品的网上销售价是每件58元或56元
（3）
∵
∴
∴网上销售价每件下降3元，每天销售这种小商品的总毛利润最大
此时销售价为：（元）
故答案为：57
题型十：一元二次方程之函数问题
【例题10】5某店一型号台灯成本价为30元，若40元出售，平均每月能售出600个，经过一周试销售发现，售价在40元至60元范围内，平均每天售出的台灯数量（个）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出与的函数表达式；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
(3)正式销售后每个台灯的利润率不得高于，该店每天能否获得12250元的利润？若能，求出台灯的售价应定为多少；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)50元
(3)不能，理由见解析
【详解】（1）解：由图可知，平均每天售出的台灯数量（个）与售价上涨（元）之间满足的函数关系可设为，且过点和，
将点和代入可得，解得，
售价在40元至60元范围内，
，
与的函数表达式为；
（2）解：由题意可得，即，则，解得或（超过，舍去），
元，
为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元；
（3）解：不能，
理由如下：
由（2）可知，当该店每天获得12250元的利润时，，即，则，解得，
每个台灯的利润率不得高于成本价的，
，即，
，
不可能满足题意．
【变式训练10-1】网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/，销售价格不高于14元/，且每售卖需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格x（元/）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数解析式．
(2)当猕猴桃的销售价格定为多少元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？
【答案】(1)
(2)元/
【详解】（1）解：设与的函数解析式为，
将代入得:
，解得：，
∴与的函数解析式为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵销售价格不高于元/，
∴．
答：当销售单价定为元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为元．
【变式训练10-2】某工厂购买的原材料的单价从前年开始进行了调整．如图，、分别表示该工厂前年和今年采购原材料的总价y（万元）与数量x（吨）之间的关系，请根据函数图象提供的信息回答下列问题：
(1)该厂前年采购原材料的单价是每吨 万元；
(2)该厂今年采购原材料的总价y关于数量x的函数解析式是 ；
(3)如果该原材料的单价从前年开始，每年的增长率都相同，那么这个增长率是 ．
【答案】(1)3(2)(3)
【详解】（1）解：由图可知，该厂前年采购原材料的单价是每吨（万元），
故答案为：3；
（2）解：设该厂今年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
即该厂今年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是，
故答案为：；
（3）解：设每年的增长率是a，
根据题意得：，
解得，（舍去），
∴该原材料的单价从前年开始，每年的增长率是，
故答案为：．
【变式训练10-2】某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
【答案】(1)
(2)9元
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：，
把和代入得，，
解得：，
∴设与之间的函数关系式为：．
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
为了让顾客获得更大实惠，所以，
故这种干果每千克应降价9元．
【变式训练10-3】某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售盐（万支）与销售单价（元）之间存在着如图所示关系．
(1)求牙膏的日均销售量（万支）关于销售单价（元）的函数表达式（写出的取值范围）；
(2)该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由．
【答案】(1)
(2)达不到，理由见详解．
【详解】（1）解：设牙膏的日均销售量y(万支)关于销售单价（元）的函数表达式为，
将，代入，
得∶
解得∶，
∴牙膏的日均销售量y(万支)关于销售单价（元）的函数表达式为：
．
（2）该超市日均销售利润不可能达到13万元，理由如下：
假设该超市日均销售利润能达到13万元，
根据题意得：，
整理得：，
∵
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该超市日均销售利润不可能达到13万元．
【变式训练10-4】于年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售．从月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
元
件
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元，则售价应定为50元
【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为，把，；，代入可得，
解得，
即y关于x的函数解析式为；
（2）依题意得，，
解得，（不合题意，舍去）
答：商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是元，则售价应定为元．
【变式训练10-5】某零食商店以20元/千克的价格购进一种饼干，计划以30元/千克的价格销售，遇国庆促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足的函数关系图像如下：
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利 ；（直接填空）
(3)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)；
(2)435元；
(3)饼干的销售价应定为每千克24元．
【详解】（1）解：设销售量与每千克降价的函数关系式为：
将和代入得
解得
∴销售量与每千克降价的函数关系式．
（2）解：当时，，
所以，若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利（元）
故答案为：元；
（3）解：设商店获利元需降价元，则单件利润为元，销售量为千克．
由题意得：
解得，（舍去）．
∴（元）
∴饼干的销售价应定为每千克元．
题型梳理
知识点1
一元二次方程平均增长率问题
其中为增长前的基数，为增长后的基数，为平均增长率。
知识点2
一元二次方程销售问题
利润=售价－成本
利润率＝利润÷成本×100%
总利润=总售价-总成本=一件的利润×销售量
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