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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题2.7 一元二次方程的应用题专练（15道）
本卷包含利润问题、增长率问题、传播问题、图形问题、行程问题、素材类题型、动态几何问题等等
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图1所示是一块面积为的长方形铁皮，该长方形铁皮的长、宽之比为．
(1)求该长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）；
(2)将如图1所示的长方形铁皮沿虚线将四个角剪掉边长均为的正方形，制成如图2所示的无盖长方体铁皮盒子，求该无盖长方体铁皮盒子的体积．
【答案】(1)该长方形铁皮的长为，宽为
(2)该无盖长方体铁皮盒子的体积为
【详解】（1）解：设该长方形铁皮的长为，宽为．
根据题意，得．
∴．
∴，．
答：该长方形铁皮的长为，宽为．
（2）根据题意，得该无盖长方体铁皮盒子的体积为
．
答：该无盖长方体铁皮盒子的体积为．
2．油菜是我国种植的第一大油料作物，菜籽油占国产食用植物油以上，选育高产油品种是保障食用油供给的重要举措．其中“油研2013”是贵州省农业科学院、油菜研究所、油料研究所联合禾睦福种子有限公司研发的一个新品种，攻坚第一阶段实现了亩产量公斤的目标，第三阶段实现了亩产量公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照（2）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
【详解】（1）解：设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：亩产量的平均增长率为．
（2）第四阶段的亩产量为（公斤），
∵，
∴他们的目标可以实现．
3．某商店经销一种成本为每件元的时尚商品，据市场分析，若按每件元销售，一个月能售出件．若销售价每涨5元，则月销售量减少件．针对这种商品的销售情况请解答以下问题：
(1)当销售单价为每件元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)物价部门规定商品利润率不得超过，商店想使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元？
【答案】(1)月销售量为件，月销售利润为元
(2)销售单价应定为元
【详解】（1）解：由题意知，月销售量为， （件）；
∴月销售利润 （元 ．
∴当销售单价为每千克元时，月销售量为件，月销售利润为元．
（2）解：设销售单价应定为 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
当 时，利润率为 ，不合题意，舍去；
当 时，利润率为 ，符合题意．
∴销售单价应定为元．
4．已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
(1)求线段的取值范围；
(2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)自行车车棚的长和宽分别为，
(3)不能围成面积为的自行车车棚，见解析
【详解】（1）解：设线段的长为，则的长为，
根据题意得，解得，
线段的取值范围为；
（2）解：根据题意列方程，得，
解得，；
当时，，
当时，，而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，；
（3）解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下：
根据题意得，
整理得：，
，
方程无实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
5．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2012年底拥有家庭轿车64辆，2014年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
(1)若该小区2012年底到2014年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2015年底家庭轿车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？
【答案】(1)该小区到2015年底家庭轿车将达到125辆；
(2)小区最多可建室内车位21个
【详解】（1）解：设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意可得：，解得：或（舍去），
∴（辆）．
答：该小区到2015年底家庭轿车将达到125辆．
（2）解： 设该小区可建室内车位a个，则露天车位个，
根据题意可得：，解得：，
∵a为整数，
∴小区最多可建室内车位21个．
答：小区最多可建室内车位21个．
6．在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元．
(1)若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少．
(2)若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元．
(3)要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额．
【答案】(1)(2)(3)售价为元，平均每小时销售额最大为元
【详解】（1）解：设涨价的百分率是，
由题意得：，
解得： (不合题意，舍去)，
答：涨价的百分率是；
（2）设小蛋糕的售价提高元，则每小时的销售数量就会减少个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
小蛋糕的售价为：元或元，
售价不能超过元，
小蛋糕的售价为元，
答：此时小蛋糕的售价定为元．
（3）设小蛋糕的售价为元，
∴平均每小时的销售总额为：
售价不能超过元，
小蛋糕的售价为元，
当时，平均每小时的销售总额最大，最大销售额为元
答：此时小蛋糕的售价定为元，最大销售额为元．
7．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
(1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ．
(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；；；
(2)10
(3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析
【详解】（1）解：由题意得，；
∵a是正整数，
∴也是正整数，
∴当a越大时，b也越大，
根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24，
∴的最大值为；
故答案为：；；；；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
∴最小数是10；
（3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：
假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∵时，在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
8．有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人
(2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)三轮传染后患病的共有512人
【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，
解方程，得（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）根据题意，得 (人)
答：三轮传染后患病的共有512人．
9．已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？
【答案】2秒
【详解】解：设经x秒时间使的面积等于，根据题意得：
，
解得： (不符合题意，舍去)，
答：经2秒时间使的面积等于．
10．如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为．
(1)当点在射线上时，，求的值．
(2)求出关于的函数关系式．
(3)当点运动多少秒时，．
【答案】(1)
(2)
(3)4秒、6秒或12秒
【详解】（1）解：，，
为直角三角形，
，
当点在射线上时，，
点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：（舍去负值），
；
（2），点P、Q运动速度是，
当秒时，P在线段上，此时，，
，
当秒时，P在射线上，此时，，
．
关于的函数关系式为：；
（3），，
为直角三角形，
，
，
当秒时，，
整理得：，
解得，．
当秒时，，
整理得：，
解得， (不合题意，舍去)，
∴经过4秒、6秒或12秒时，．
11．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
(1)甲运动后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】(1)
(2)它们运动了秒
【详解】（1）解：当时，，
答：甲运动后的路程是；
（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，
∴，整理得，，
∴，
解得，或（舍去）．
答：它们运动了秒．
12．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析;
【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；
（2）由题意得：5a（7-a）+10=70，
解得：a=3或a=4
5a（5-a）+10=40
解得：a=3或a=2，
综上，规定用水量为3吨；
（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林．
13．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？
任务2 设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为________元，补进灯管的总价为____________（用含x的代数式表示）；
任务3 若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？
【答案】任务1：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共元；任务2：；任务3：补进镇流器件
【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元，
答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共元
任务2：设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为（元）
补进灯管的总价为：（元）
故答案为：．
任务3：依题意，
解得：,
∵
∴
答：补进镇流器件
14．根据以下素材，探索完成任务．
如何估算游客人数和门票收入？
素材 今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．
素材 若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． 购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 和
门票价格 元人 元人 元人
问题解决
任务 确定增长率 求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．
任务 预计门票收入 若丙种门票价格下降元，求景区月份的门票总收入．
任务 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？
【答案】任务1: ;任务2: 万元；任务3: 元或元
【详解】解：任务设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长；
任务根据题意得：
元，
元万元．
答：景区月份的门票总收入万元；
任务设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：丙种门票价格下降元或元时，景区月份的门票总收入有万元．
15．
安全驾驶：合理车距的保持艺术
素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）．
素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米．
《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志．
问题解决
任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米．
任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性．
【答案】任务一： ，36；任务二：车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生；任务三： 见解析
【详解】解：任务一：∵反应距离为，
制动距离为：，
∴汽车的停车距离；
当时，
∴；
任务二：（2）由题意可得，
∴，
解得 ，（负根舍去），
∴ 车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
任务三：当时，
∴，
当，
∴，
∴道路交通安全法规定合理．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题2.7 一元二次方程的应用题专练（15道）
本卷包含利润问题、增长率问题、传播问题、图形问题、行程问题、素材类题型、动态几何问题等等
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图1所示是一块面积为的长方形铁皮，该长方形铁皮的长、宽之比为．
(1)求该长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）；
(2)将如图1所示的长方形铁皮沿虚线将四个角剪掉边长均为的正方形，制成如图2所示的无盖长方体铁皮盒子，求该无盖长方体铁皮盒子的体积．
2．油菜是我国种植的第一大油料作物，菜籽油占国产食用植物油以上，选育高产油品种是保障食用油供给的重要举措．其中“油研2013”是贵州省农业科学院、油菜研究所、油料研究所联合禾睦福种子有限公司研发的一个新品种，攻坚第一阶段实现了亩产量公斤的目标，第三阶段实现了亩产量公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照（2）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现．
3．某商店经销一种成本为每件元的时尚商品，据市场分析，若按每件元销售，一个月能售出件．若销售价每涨5元，则月销售量减少件．针对这种商品的销售情况请解答以下问题：
(1)当销售单价为每件元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)物价部门规定商品利润率不得超过，商店想使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元？
4．已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
(1)求线段的取值范围；
(2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
5．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2012年底拥有家庭轿车64辆，2014年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
(1)若该小区2012年底到2014年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2015年底家庭轿车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？
6．在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元．
(1)若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少．
(2)若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元．
(3)要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额．
7．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
(1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ．
(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
8．有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人
(2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？
9．已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？
10．如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为．
(1)当点在射线上时，，求的值．
(2)求出关于的函数关系式．
(3)当点运动多少秒时，．
11．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
(1)甲运动后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
12．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
13．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？
任务2 设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为________元，补进灯管的总价为____________（用含x的代数式表示）；
任务3 若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？
14．根据以下素材，探索完成任务．
如何估算游客人数和门票收入？
素材 今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．
素材 若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． 购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 和
门票价格 元人 元人 元人
问题解决
任务 确定增长率 求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．
任务 预计门票收入 若丙种门票价格下降元，求景区月份的门票总收入．
任务 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？
15．
安全驾驶：合理车距的保持艺术
素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）．
素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米．
《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志．
问题解决
任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米．
任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性．
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